Вывод уравнения теплопроводности

Я думаю, что очень хорошая интуиция о том, что «делает» лапласиан, состоит в том, чтобы посмотреть на способ его реализации в вычислительном моделировании, например, на реализации его метода конечных разностей. Поскольку это сумма вторых неперекрещенных производных, если система аппроксимируется квадратной сеткой с шагом$h$, лапласиан аппроксимируется как (вы можете подумать об этом сами, так как это довольно просто, или просто погуглите):

$$\Delta u(x,y) \approx \frac{u(x-h, y) + u(x+h, y) + u(x, y-h)+ u(x, y+h) - 4u(x,y)}{h^2}$$

Если внимательно посмотреть на это выражение, то получится вычислить сумму разностей между всеми соседними сторонами. Представьте теперь, что существует градиент тепла$u$слева направо. Это будет означать, что разница$u(x-h, y)-u(x, y)$положителен, пока$u(x+h, y)-u(x, y)$отрицательно. Таким образом, новое значение через некоторое время$dt$на сайте$(x,y)$будет баланс между теплом, поступающим слева, и теплом, выходящим справа. Итак, в основном то, что делает лапласиан, — это «гомогенизация» значения$u$в космосе. Вот почему вы найдете оператор Лапласа в любом уравнении, которое включает диффузию.

В случае, когда в системе отсутствуют источники или стоки ($f(x,y) = 0$,$\forall(x,y)$), уравнение в основном становится$\partial_t u = \Delta u$(уравнение диффузии), и система распределяет тепло максимально однородно. С источниками или приемниками система пытается, но источники/приемники$f(x,y)$удержать их от этого полностью.

Эта тема обычно рассматривается в книгах по дифференциальным уравнениям в частных производных, обычно это один из первых (интересных) представленных случаев. Это позволяет хорошо познакомиться с рядом Фурье (исторически возникшим в задаче) и функциями Грина. В книге Дж. Дэвида Логана (Springer) рассматривается этот вопрос, и вы можете найти конечно-разностные приближения в последней главе.