Диффузия тепла в печи

Question

Диффузия тепла в печи

Физика
распространение
Тепловой двигатель
термодинамика
теплопроводность
теплопроводность

ЯВЛЯЮСЬ

У меня есть эта проблема, когда я предварительно разогреваю духовку, чтобы достичь $n^\circ$ . Итак, скажем, в духовке внизу есть нагревательный элемент, который, в свою очередь, нагревает остальную часть духовки. Предполагая, что воздух в духовке ведет себя как стандартный проводник (не учитывать конвекцию) как можно измерить температуру в данной точке $T$ и какой будет равновесная температура в данной точке?

Что я сделал до сих пор, так это сделал некоторые предположения о системе.

Стены идеально утеплены
Печь 1-мерная( $z$ направление)
Духовка имеет длину $L$ и выходная мощность $q$
Нагревательный элемент находится в $z=0$

Исходя из этих предположений, мне удалось сформулировать приведенное ниже уравнение, используя уравнение диффузии тепла, где $\alpha$ температуропроводность воздуха, $c$ - удельная теплоемкость воздуха, $\rho$ это плотность и $\delta$ – дельта-функция Дирака.

{ты}_{т} "=" α {ты}_{г г} + \frac{д}{с р} дельта (г)

$u_t=\alpha u_{zz}+\frac{q}{c\rho}\delta(z)$ И это уравнение будет иметь следующие начальные и граничные условия, где

T_{0}

$T_0$ - начальная комнатная температура духовки.

ты (г, 0) "=" Т_{0}

$u(z,0)=T_0$

{ты}_{г} (0, т) "=" {ты}_{г} (л, т) "=" 0

$u_z(0,t)=u_z(L,t)=0$ Это тот момент, когда я не уверен, что сделал правильный подход, поскольку кажется неправильным иметь

u_{z} (0, t) = 0

$u_z(0,t)=0$ а также наличие нагревательного элемента в

z = 0

$z=0$ . Может быть, я мог бы разместить нагревательный элемент в

z = ϵ

$z=\epsilon$ вместо этого, но я не уверен, как это решить, и я бы предпочел, чтобы это было в

z = 0

$z=0$ . Я попытался решить уравнение, используя методы, которые я нашел здесь , но, похоже, у меня возникли проблемы с

q

$q$ так как это не может быть записано как сумма в

X_{n} (x)

$X_n(x)$ и

Q_{n} (t)

$Q_n(t)$ поскольку это просто константа с единственной пространственной зависимостью, являющейся дельта-функцией Дирака.

Я также попытался найти равновесные температуры, предполагая стационарное состояние с $u_t=0$ что приводит к большему количеству проблем, поскольку я не уверен, как найти неопределенный интеграл дельта-функции Дирака (не уверен, существует ли он вообще). Я попытался просто использовать определение определенного интеграла, но это дает противоречивые результаты.

Если бы кто-нибудь мог дать подробный ответ о том, как решить проблему, или даже указать в правильном направлении, я был бы признателен, поскольку я обдумывал это пару дней, но даже не могу придумать решение.

ммессер314

У вас проблемы с вашими предположениями. Стены идеально изолируют, а это означает, что любое тепло, которое проникает внутрь, остается внутри. Нагревательный элемент увеличивает напор навсегда. Это означает, что у вас будет духовка, которая становится все горячее и горячее, так и не достигнув равновесной температуры.

Адриан Ховард

Также у вас не может быть воздуха или тепла в 1 измерении.

Чет Миллер

Использовать

- k \frac{\partial u}{\partial z} = q

$-k\frac{\partial u}{\partial z}=q$ при z = 0, где q — тепловой поток, и теряют дельта-член Дирака в дифференциальном уравнении.

Ответы (1)

Диффузия тепла в печи

У вас проблемы с вашими предположениями. Стены идеально изолируют, а это означает, что любое тепло, которое проникает внутрь, остается внутри. Нагревательный элемент увеличивает напор навсегда. Это означает, что у вас будет духовка, которая становится все горячее и горячее, так и не достигнув равновесной температуры.
Также у вас не может быть воздуха или тепла в 1 измерении.
Использовать $-k\frac{\partial u}{\partial z}=q$ при z = 0, где q — тепловой поток, и теряют дельта-член Дирака в дифференциальном уравнении.

итлу · Answer 1

Для вашего случая может быть установлена простая модель. Решить простое уравнение диффузии для плотности тепловой энергии $u(z, t)$

\begin{matrix} (1) & \frac{\partial ты}{\partial т} "=" Д \frac{\partial^{2} ты}{\partial г^{2}} . \end{matrix}

$\tag{1} \frac{\partial u}{\partial t} = D \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}.$ Где

D

$D$ константа диффузии. И накладываем граничные условия:

Д {[\frac{\partial ты}{\partial г}]}_{л} "=" 0; Д {[\frac{\partial ты}{\partial г}]}_{0} "=" - п

$D \left[ \frac{\partial u}{\partial z} \right]_L = 0;\\ D \left[ \frac{\partial u}{\partial z} \right]_0 = - P$ где

P

$P$ является источником энергии, нагревающим проводом. Я подробно остановлюсь на следующем.

effects of boundary condition

Чтобы изучить, как граничное условие связано с мощностью нагрева, давайте проинтегрируем уравнение (1) относительно $z$ .

\begin{matrix} (2) & \int_{0}^{л} г г {\frac{\partial ты}{\partial т} "=" Д \frac{\partial^{2} ты}{\partial г^{2}}} \end{matrix}

$\tag{2} \int_0^L dz \left\{ \frac{\partial u}{\partial t} = D \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} \right\}$

Определять $U(t) = \int_0^L u(z, t) dz$ . После интегрирования уравнение (2) оказывает:

\begin{matrix} (3) & \frac{\partial U (т)}{\partial т} "=" Д {[\frac{\partial ты}{\partial г}]}_{л} - Д {[\frac{\partial ты}{\partial г}]}_{0} \end{matrix}

$\tag{3} \frac{\partial U(t)}{\partial t} = D \left[ \frac{\partial u}{\partial z} \right]_L - D \left[ \frac{\partial u}{\partial z} \right]_0$ Это уравнение дает динамический смысл производной

u

$u$ на границах: производные обозначают скорость изменения полной энергии.

The $z=L$ является изолирующим средством для установки $\left[ \frac{\partial u}{\partial z} \right]_L = 0$ , все тепловые энергии достигают $z$ отражаются - там наклон пропадает, а энергия сохраняется.

Удалите границу в $z=L$ , уравнение (3) становится

\begin{matrix} (4) & \frac{\partial U (т)}{\partial т} "=" - Д {[\frac{\partial ты}{\partial г}]}_{0} \end{matrix}

$\tag{4} \frac{\partial U(t)}{\partial t} = - D \left[ \frac{\partial u}{\partial z} \right]_0$ Где

U (t)

$U(t)$ полная теплоемкость за время

t

$t$ . Поэтому отстой:

\begin{matrix} (5) & \frac{\partial U (т)}{\partial т} "=" - Д {[\frac{\partial ты}{\partial г}]}_{0} "=" тарифное изменение общей тепловой энергии. \end{matrix}

$\tag{5} \frac{\partial U(t)}{\partial t} = - D \left[ \frac{\partial u}{\partial z} \right]_0 = \text{ rate chage of total heat energy.}$

В заключение, вам нужно зафиксировать граничные условия Неймана:

Д {[\frac{\partial ты}{\partial г}]}_{л} "=" 0

$D \left[ \frac{\partial u}{\partial z} \right]_L = 0$

Нулевая производная означает границу отражения. Теплоизоляционная перегородка будет отражать в нее весь тепловой поток.

И граничное условие Неймана при $z=0$ :

Д {[\frac{\partial ты}{\partial г}]}_{0} "=" - п

$D \left[ \frac{\partial u}{\partial z} \right]_0 = - P$

P – мощность теплогенератора.

Установите эти два условия, затем решите простое уравнение диффузии. Вы получите то, что ожидаете.

Диффузия тепла в печи

ЯВЛЯЮСЬ

ммессер314

Адриан Ховард

Чет Миллер

Ответы (1)

итлу

Переходная теплопроводность с переменным тепловым потоком в 1D

Может ли тепловая машина охладить источник тепла?

Каков температурный профиль горячих и холодных жидкостей для двухтрубного прямоточного теплообменника?

Вывод уравнения теплопроводности

Путаница с законом Фурье

Вычисление времени, необходимого для достижения теплового равновесия

Кубик дробленого льда и обычный кубик льда имеют разную потенциальную энергию?

Физический смысл потенциала в уравнении теплопроводности

Лучистый теплообмен внутри непрозрачных твердых тел?

Изолированные концы стержня