Физический смысл потенциала в уравнении теплопроводности

Уравнение теплопроводности, как вы его написали, моделирует поток энергии посредством теплопроводности (тепло) через некоторую область с четко определенными граничными условиями. Вам еще предстоит указать особенности пограничного региона, поэтому мой ответ останется общим и расплывчатым.

The $\alpha$- это «коэффициент диффузии», который является изотропной формой (только диагональные члены) тензора диффузии - увы, уравнение теплопроводности является частным случаем уравнения диффузии. Таким образом, этот коэффициент говорит нам о том, насколько термически рассеян материал, из которого состоит область (насколько диффузно распределена материя, через которую проходит тепло?).

физический смысл коэффициента$a$

Извините, сначала я неправильно понял уравнение (сначала я думал, что это просто принудительный термин). А затем, во-вторых, я принял его за конвективный член, но это неверно, поскольку конвективный член обычно пропорционален$\frac{\partial u}{\partial x}$(см. уравнение 27 здесь ). Я обнаружил, что термин,$a(x)u$, может представлять приблизительный радиационный член, зависящий от положения (для малых радиационных потерь), т.е. см. здесь последнее уравнение . В таком случае,$a$определяет силу излучения, испускаемого проводником, в зависимости от положения. Этот член радиации имеет смысл только для колебаний температуры в стержне, которые малы по сравнению с температурой окружающей среды, а в случае больших колебаний необходимо использовать$u^4$зависимость вместо этого (в соответствии с законом Стефана-Больцмана).

Вот очень хорошая статья о неоднородных тепловых проблемах.

Как обсуждалось здесь в разделе «Учет боковой теплопередачи» (отказ от ответственности: мой сайт), если вы рассматриваете проблему одномерного нестационарного теплообмена, предложенную переменными$x$и$t$, то уравнение

представляет осевую проводимость с теплопроводностью$k$, линейное боковое рассеивание тепла (за счет теплопроводности, конвекции и/или слабого излучения) с пространственно-зависимым коэффициентом$h(x)$, и накопители энергии с удельной теплоёмкостью$c$и плотность$\rho$.$T(x,t)$отклонение температуры от некоторого значения окружающей среды.

Квалификация «слабого» излучения заключается в обеспечении линейности$T(x,t)$в этом термине. Для конвекции,$h$просто коэффициент конвекции. Как обсуждалось в ссылке,$h$может также представлять собой боковую проводимость к соседнему температурному стоку (например, для подвесной балки из микроконструкции).

Если мы изменим переменные из$T(x,t)$к$u$и разделить на$c\rho$, то имеем

с$\alpha$являющийся коэффициентом температуропроводности , который соответствует вашему уравнению и указывает, что$a(x)$соответствует пространственно изменяющемуся коэффициенту поперечной теплоемкости, деленному на удельную теплоемкость и плотность. Это физическая интерпретация этого параметра для данного типа системы ( здесь я решаю уравнение ).

Правильное физическое название вашего уравнения — уравнение диффузии с исходным членом . Уравнение можно преобразовать в уравнение неразрывности -$u_t-\alpha u_{xx} = Q$. Для$Q=0$можно показать, что решение, зависящее от времени, имеет независимую от времени норму, что является проявлением локального закона сохранения массы. Исходный термин означает, что частицы могут создаваться и уничтожаться локально, в соответствии с$Q(x)$вариация.
Уравнение неразрывности является переформулировкой закона Гаусса - при заданном бесконечно малом объеме изменение числа частиц в объеме точно равно количеству частиц, пересекших его поверхность в/из этого объема. Вы можете получить некоторую физическую интуицию, изучая сжимаемый аспект уравнения Навье-Стокса . Сжимаемость – это как раз нарушение уравнения неразрывности.

Решение в закрытой форме дано здесь . Этот странный документ кажется связанным, однако не нашел рецензируемых статей.

При изучении теплопередачи внутри радиатора у нас есть член вида a * (T-Text), который соответствует кондуктивно-конвективному обмену между радиатором и окружающим его воздухом: он пропорционален разнице температур в соответствии с законом Ньютона. Первый член в альфа соответствует теплопроводности внутри материала. Плотность теплового тока пропорциональна первой пространственной производной температуры, а изменение этой плотности приводит ко второй производной (лапласиану). Альфа в уравнении представляет собой коэффициент температуропроводности (проводимость/мк*C).

Уравнение описывает поток тепла при наличии источников или стоков. Первый член в правой части представляет собой член нормальной диффузии. Второй термин можно рассматривать как термин источника или стока. Подробнее см.: https://www.math.ubc.ca/~peirce/M257_316_2012_Lecture_19.pdf .