Является ли это возможным выводом уравнения электромагнитной волны?

Некоторый фон:

Я пытался понять электромагнитные волны, как они распространяются и как они возникают. После некоторого поиска в Google и Википедии (поиск?) я узнал, что мы используем уравнения электромагнитных волн для моделирования того, как они распространяются. Однако каждый вывод, который я видел в Интернете, делает что-то вроде этого:

$$\nabla\times{E}=-\frac{\partial_t\mathbf{\vec B}}{\partial t}$$ $$\nabla\times{B}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial_t\mathbf{\vec E}}{\partial t}$$

Возьмите завиток с обеих сторон

$$\nabla\times\nabla\times{B}=\nabla\times\frac{1}{c^2}\frac{\partial_t\mathbf{\vec E}}{\partial t}$$

Замена для$\nabla\times E$

$$-\nabla^2B=\frac{1}{c^2}\frac{\partial_t}{\partial t}(\nabla\times E)=-\frac{1}{c^2}\frac{\partial_t^2\mathbf{\vec B}}{\partial t^2}$$

После небольшой перестановки у нас теперь есть волновое уравнение, описывающее магнитную составляющую электромагнитной волны...

$$\frac{\partial_t^2\mathbf{\vec B}}{\partial t^2}=c^2\nabla^2B$$

Хотя этот вывод очень прост и элегантен, поскольку я новичок в этой области математики и физики, я не очень понимаю физический мыслительный процесс вокруг каждого действия, которое мы предпринимаем. Например, я могу физически понять завиток, но завиток завитка для меня полная загадка.

По этой причине я пытался найти другой вывод, позволяющий легко проследить физический мыслительный процесс, стоящий за каждым шагом. Немного повозившись, я думаю, что у меня есть что-то:

Вывод:

$$\nabla\times{E}=-\frac{\partial_t\mathbf{\vec B}}{\partial t}$$ $$\nabla\times{B}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial_t\mathbf{\vec E}}{\partial t}$$

Эти два уравнения Максвелла описывают поведение электрического и магнитного полей в трехмерном пространстве (без зарядов и токов). В общем, они говорят, что изменяющееся магнитное поле будет иметь электрическое поле, «вращающееся» или закручивающееся вокруг него, а изменяющееся электрическое поле будет иметь закручивающееся магнитное поле.

Теперь давайте нарисуем схему ситуации, когда у нас есть изменяющееся магнитное поле. Для простоты предположим, что магнитное поле направлено только вверх (направление y), электрическое поле направлено за пределы экрана (направление z), а волна будет распространяться только в одном измерении (ось x):

В результате этих упрощений мы можем переписать два уравнения так, чтобы убрать движение по осям y и z:

Обозначение завитка ($\nabla\times F)$согласно Википедии:

Электрический компонент:

$$\nabla\times{E}=-\frac{\partial_t\mathbf{\vec B}}{\partial t}$$ Поскольку магнитное поле увеличивается только в направлении y, компоненты x и z$\nabla\times E$будет равно нулю:

$$0i + \left(\frac{\partial E_x}{\partial z}-\frac{\partial E_z}{\partial x}\right)j + 0k=-\frac{\partial_t\mathbf{\vec B}}{\partial t}$$

Поскольку мы рассматриваем только движение по оси X, член$\frac{\partial E_x}{\partial z}$удаляется, и у нас остается:

$$0i + \left(-\frac{\partial E_z}{\partial x}\right)j + 0k=-\frac{\partial_t\mathbf{\vec B}}{\partial t}$$

Глядя только на величину:

$$\frac{\partial E_z}{\partial x}=\frac{\partial_t B}{\partial t}$$

Мы можем сделать то же самое для$\nabla\times B$и тогда у нас есть два уравнения в 1-D форме:

$$\partial E=\frac{\partial_t B}{\partial t}\partial x$$ $$\partial B=\frac{1}{c^2}\frac{\partial_t E}{\partial t}\partial x$$

Допустим, в начале координат есть магнитное поле,$B_0$, y-компонента которого увеличивается со скоростью$\frac{\partial_tB_0}{\partial t}$.

Уравнение:$\partial E=\frac{\partial_t B_0}{\partial t}\partial x$, говорит нам, что когда мы перемещаемся на бесконечно малое расстояние по оси x ($\partial x$) вдали от$B_0$, электрическое поле увеличится на$\frac{\partial_t B}{\partial t}\partial x$. Это означает, что это увеличивающееся магнитное поле будет индуцировать перпендикулярное возрастающее электрическое поле.$E_1$что равно$\int{\partial E}$:

Второе уравнение,$\partial B=\frac{1}{c^2}\frac{\partial_t E_1}{\partial t}\partial x$, говорит нам, что это увеличивающееся электрическое поле также будет индуцировать магнитное поле:

Теперь у нас есть хорошая картина того, как возрастающее магнитное поле индуцирует возрастающее электрическое поле и наоборот. У нас также есть эти два уравнения, описывающие взаимодействие между ними:

$$\partial E=\frac{\partial_t B_0}{\partial t}\partial x$$ $$\partial B=\frac{1}{c^2}\frac{\partial_t E_1}{\partial t}\partial x$$

Замена$\int{\partial E}=\int{\frac{\partial_t B_0}{\partial t}\partial x}$для$E_1$получаем, как меняется магнитное поле со временем:

$$\partial B=\frac{1}{c^2}\frac{\partial_t}{\partial t}\left(\int{\frac{\partial_t B_0}{\partial t}\partial x}\right)\partial x$$

Чтобы получить волновое уравнение, мы просто берем производную от обеих частей, исключая интеграл:

$$\partial^2 B=\frac{1}{c^2}\frac{\partial_t^2 B_0}{\partial t^2}\partial x^2$$ На очень малых расстояниях$B = B_0=B_2$, и после небольшой перестановки получаем одномерное уравнение, описывающее магнитную составляющую электромагнитной волны.

$$\frac{\partial^2B}{\partial t^2}=c^2 \frac{\partial^2B}{\partial x^2}$$

Мы можем сделать то же самое для электрического компонента:

$$\frac{\partial^2E}{\partial t^2}=c^2 \frac{\partial^2E}{\partial x^2}$$

Мой вопрос:

Верен ли этот вывод/объяснение? Имеет ли это смысл и правильна ли математика в своих шагах? Если да, то полезен ли он для объяснения или есть другие производные, которые лучше дают интуитивное/концептуальное представление о том, что происходит?

Я надеюсь, что это так, поскольку, хотя он и длинный, я чувствую, что он дает хорошую картину того, что происходит физически, а не просто выполняет операции векторного исчисления над уравнениями Максвелла. Для меня самой сложной частью была попытка визуализировать распространение электромагнитных волн, и каждый виденный мной вывод просто пропускал физическое объяснение и переходил к математике, которая не давала интуитивного объяснения. Любой вклад будет принят с благодарностью :)