Взаимный или одинаковый набор собственных функций, если два эрмитовых оператора коммутируют

Предположения: я буду говорить только об эрмитовых (в более общем случае самосопряженных) операторах. Это означает, что я буду предполагать, что рассматриваемые операторы имеют множество собственных векторов, охватывающих гильбертово пространство. Как упоминалось tomaszв комментарии, это не совсем необходимо, поскольку можно сделать более общие утверждения, но, поскольку мы имеем дело с базовым QM, я считаю, что это упрощение разумно.

Вопросы 1 и 2

Утверждение состоит в том, что если два оператора коммутируют, то существует базис пространства, который одновременно является собственным базисом для обоих операторов. Однако, если (например) один из операторов имеет два собственных вектора с одинаковым собственным значением, любая линейная комбинация этих двух собственных векторов также является собственным вектором этого оператора, но эта линейная комбинация может не быть собственным вектором второго оператора .

Показательный пример: мы рассматриваем состояния$|l,m\rangle = |1,1\rangle$и$|l,m\rangle = |1,-1\rangle$. Оба являются собственными векторами$\hat{L}^2$и$\hat{L}_z$. Собственные значения$\hat{L}_z$являются$\hbar$и$-\hbar$соответственно, но состояние

$$|1,1\rangle + |1,-1\rangle$$ явно не является собственным вектором $\hat{L}_z$, но это все еще собственный вектор $\hat{L}^2$. Вероятно, поэтому мы используем термин «взаимный», а не «такой же». Наконец, мы формируем линейные комбинации $|1,m\rangle$государства, чтобы получить $l=1$состояния, которые являются собственными векторами, скажем, $\hat{L}_y$.

В качестве прямого примера рассмотрим следующие две матрицы:

$$L = \left[ {\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}} \right]$$ и $$Z = \left[ {\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{array}} \right].$$ Векторы $(1,0,0)$, $(0,1,0)$, и $(0,0,1)$являются собственными векторами обоих операторов. Последние два являются собственными векторами $L$с тем же собственным значением (а именно $1$), но они являются собственными векторами $Z$с разными собственными значениями (а именно, $1$и $-1$). Если мы вместо этого используем векторы $(0,1,1)$и $(0,1,-1)$, это все еще собственные векторы $L$с собственным значением $1$, но они уже не являются собственными векторами $Z$, как вы можете убедиться.

Вопрос 3

Как умно указано Chris Whiteв комментарии, оператор тождества коммутирует с каждым другим оператором , и все же есть операторы, которые не коммутируют друг с другом. Это самый простой контрпример вашей интуиции. Коммутативность не является транзитивным свойством.

Я не знаю, была ли ваша интуиция по поводу проблемы математической или физической. Если это было физическое, то к этому нужно просто привыкнуть, потому что это часть природы, что все работает таким образом. Если он математический, то, возможно, приведенный выше контрпример поможет.

В качестве простого примера добавьте к приведенным выше матрицам матрицу

$$X = \left[ {\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}} \right]$$ Этот оператор коммутирует с $L$но нет $Z$.

Вопрос 4

Это, безусловно, нормально для двух операторов, которые не коммутируют, чтобы иметь общий собственный вектор. Фактически,$\hat{L}_x$,$\hat{L}_y$, и$\hat{L}_z$все имеют общий собственный вектор: состояние$|l,m\rangle = |0, 0\rangle$.

В качестве более тривиального примера операторов, имеющих общий собственный вектор, который не коммутирует, рассмотрим следующие два:

$$A = \left[ {\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{array}} \right]$$ и $$B = \left[ {\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}} \right]$$ Они явно имеют общий собственный вектор $(1,0,0)$, но нижние блоки матриц A и B являются соответственно паули- $z$и Паули- $x$матрицы, которые не коммутируют.

1. Обычно говорят, что если два оператора$\hat{A}$и$\hat{B}$коммутируют, то они имеют одновременный набор собственных состояний. Говорить, что собственные состояния одинаковы, не совсем правильно.

Например, пусть оператор$\hat{A}$быть эрмитовым и действовать на элементах гильбертова пространства$\mathcal{H}_A$и пусть оператор$\hat{B}$также эрмитовы и действуют на элементы гильбертова пространства$\mathcal{H}_B$и разреши$\mathcal{H}_A \ncong \mathcal{H}_B$так что два пространства четко различимы.

По спектральной теореме$\hat{A}$имеет набор собственных векторов$\lvert \psi_{a_n} \rangle$с действительными собственными значениями$a_n$которые составляют основу для$\mathcal{H}_A$и аналогично для$\hat{B}$,$\lvert \phi_{b_n} \rangle$,$b_n$и$\mathcal{H}_B$. Тогда любое состояние формы$\lvert \psi_{a_n} \rangle \times \lvert \phi_{b_n} \rangle$является одновременным собственным вектором обоих$\hat{A}$и$\hat{B}$; однако множества состояний$\lvert \psi_{a_n} \rangle$и$\lvert \phi_{b_n} \rangle$точно не одно и то же ; они даже не являются элементами одного и того же пространства!

2. Напомним, что в сферической системе координат физика$\theta \in [0, \pi]$азимутальный угол, измеренный от$+ \hat{z}$ось и$\phi \in [0, 2\pi]$полярный угол. Итак, сферические гармоники, которые вы видите в Википедии, неявно выбрали конкретную ось, которая будет называться$\hat{z}$.

Как вы указываете, какую ось мы называем произвольной. Таким образом, одновременные собственные функции$\hat{L}^2$и$L_x$или$L_y$можно записать в том же виде, что и сферические гармоники, за исключением того, что теперь мы$\theta \to \theta_x$или$\theta \to \theta_y$быть азимутальным углом, измеряющим углы относительно$x$или$y$оси, а затем пусть$\phi \to \phi_x$или$\phi_y$- соответствующий полярный угол. По сути, то, что мы делаем здесь, это просто перетасовка того, какую метку мы помещаем на какую ось.

У нас есть три различных представления одного и того же набора собственных функций$\hat{L}^2$. Поскольку это эквивалентные представления, мы, безусловно, можем написать одновременные собственные функции$\hat{L}^2$и$\hat{L}_x$как линейную комбинацию собственных функций$\hat{L}^2$и$\hat{L}_z$, который я оставляю вам в качестве полезного упражнения.

3. Мы надеемся, что комментарий Криса Уайта проясняет, что мы не всегда должны доверять своей интуиции. Если бы коммутативность была транзитивной, как вы предлагаете, то мы были бы вынуждены заключить, что все операторы коммутируют!

4. Операторы, безусловно, могут совместно использовать некоторые одновременные собственные функции, даже если они не коммутируют. Например,$Y_0^0$не содержит никаких$\theta$или$\phi$в его обычном представлении, так что это то же самое, независимо от того, как вы помечаете оси.$Y_0^0$является собственной функцией всех$\hat{L}^2$,$\hat{L}_x$,$\hat{L}_y$, и$\hat{L}_z$.

Независимо от того, имеют ли некоммутирующие операторы общие собственные функции, они точно зависят от того, какой у них коммутатор.