Взаимодействующие поля в QFT

Question

Взаимодействующие поля в QFT

Физика
взаимодействия
преобразование Фурье
квантовая теория поля
уравнение Клейна-Гордона

КвантСтудент

Я пытаюсь работать с Пескиным и Шредером и немного застрял в главе 4 [раздел 4.2 с. 83 ниже экв. (4.13)], когда он впервые рассматривает взаимодействующие поля. Предметом является взаимодействие четвертой степени в теории Клейна-Гордона. Они утверждают, что:

«Конечно, в любой фиксированный момент времени мы можем расширить поле (в теории взаимодействия), как и раньше (в теории свободы), в терминах лестничных операторов».

Я не понимаю, почему это должно быть возможно в целом. Их аргумент в пользу лестничных операторов и разложения по плоским волнам в случае свободной теории заключался в том, что из уравнения Клейна-Гордона мы получаем моды Фурье, независимо удовлетворяющие уравнениям гармонического осциллятора. Однако, насколько я вижу, как только я добавлю взаимодействующий член, я больше не получаю эти уравнения.

Ответы (1)

Взаимодействующие поля в QFT

СлучайныйПреобразование Фурье · Answer 1

Вы всегда можете определить

\begin{matrix} (1) & а_{к} \equiv \int г^{3} Икс е^{я к Икс} (ю_{к} ф (Икс) + я π (Икс)) \end{matrix}

$a_{\boldsymbol k}\equiv \int\mathrm d^3 x\ \mathrm e^{ikx}(\omega_{\boldsymbol k}\phi(x)+i\pi(x)) \tag{1}$ где

π = \dot{ϕ} (x)

$\pi=\dot\phi(x)$ . Если вы возьмете производную по времени от этого определения, вы получите

\begin{matrix} (2) & {\dot{а}}_{к} "=" \int г^{3} Икс е^{я к Икс} (\partial^{2} + м^{2}) ф (Икс) \end{matrix}

$\dot a_{\boldsymbol k}= \int\mathrm d^3 x\ \mathrm e^{ikx}(\partial^2+m^2)\phi(x) \tag{2}$ которое отлично от нуля для взаимодействующего поля. Поэтому,

a = a (t)

$a=a(t)$ , где

t

$t$ это временной отрезок, который вы выбрали в

(1)

$(1)$ ; Другими словами, наше определение

a

$a$ в общем случае не зависит от временного интервала, поэтому

a

$a$ параметрически зависит от значения

t

$t$ на этом срезе.

Теперь, обращая преобразование Фурье в $(1)$ , Вы получаете

ф (Икс) "=" \int \frac{г^{3} к}{(2 π)^{3} 2 ю_{к}} е^{- я к Икс} а_{к} (т) + hc

$\phi(x)=\int\frac{\mathrm d^3 k}{(2\pi)^32\omega_{\boldsymbol k}}\ \mathrm e^{-ikx}a_{\boldsymbol k}(t)+\text{h.c.}$

что по сути является заявлением P&S. Заметим, что в общем случае это утверждение лишено какого-либо практического смысла; это просто тривиальное следствие теоремы обращения преобразования Фурье.

Большое спасибо. Итак, насколько я понимаю сейчас, операторы лестницы изменились. Если я сейчас хочу наложить коммутационные соотношения на лестничные операторы, могу ли я сделать это одновременно в любое время. Или мне нужно выбрать одно время, скажем, t1, наложить коммутационные соотношения в t1, а затем найти коммутационные соотношения во все остальные моменты времени, действуя с оператором эволюции времени?

Взаимодействующие поля в QFT

КвантСтудент

Ответы (1)

СлучайныйПреобразование Фурье

КвантСтудент

Расширение свободного скалярного поля с помощью лестничных операторов

Вопрос об основании первой части книги А. Зи

Решение уравнения Клейна-Гордона с помощью преобразования Фурье

Как вывести это выражение для свободного скалярного поля в КТП? (Пескин и Шредер)

Зачем использовать разложение Фурье в квантовой теории поля?

Квантование поля Клейна Гордона: почему это правильный способ выражения поля?

Почему четырехвекторы не используются в определении квантового поля Клейна-Гордона?

Вещественное скалярное поле: в каком смысле моды Минковского полны?

Оценка пропагатора без эпсилон-трюка

Все ли квантовые скалярные поля связаны с полем Клейна-Гордона?