Является ли это последовательное представление гипотенузы симметричным относительно сторон прямоугольного треугольника?

Question

Является ли это последовательное представление гипотенузы симметричным относительно сторон прямоугольного треугольника?

геометрия
Математика
последовательности-и-серии

Кристофер Эмери

Это выражение является скорее любопытством (возможно, даже тавтологией), чем практическим методом нахождения гипотенузы, поскольку оно требует извлечения корня из суммы квадратов катетов, что само по себе дает результат, т. е. длину гипотенузы. гипотенуза. Тем не менее, это приводит к вопросу, который может представлять интерес.

Дан прямоугольный треугольник с меньшим катетом a , большим катетом b и гипотенузой c :

Бесконечный ряд легко получить, построив нормаль к гипотенузе через прямой угол и заметив, что это создает подобный треугольник с размерами в отношении b / c к первому. Итерация этого процесса до бесконечности приводит к подразделению гипотенузы на длины, которые сходятся к нулю и бесконечная сумма которых равна гипотенузе.

Мой вопрос заключается в том, что, поскольку этот ряд получен с предположением, что а является меньшим катетом, является ли он симметричным по отношению к обоим катетам, а и b ? Другими словами, взаимозаменяемы ли обе стороны в сериале, и если да, то почему?

с "=" а^{2} \sum_{н "=" 1}^{\infty} \frac{б^{2 н - 2}}{(а^{2} + б^{2})^{\frac{2 н - 1}{2}}}

$c=a^2\sum_{n=1}^\infty\frac{b^{2n-2}}{(a^2+b^2)^{\frac{2n-1}2}}$

Джерри Майерсон

Почему бы не попробовать вычислить его с помощью

a = 3

$a=3$ ,

b = 4

$b=4$ , а потом с

a = 4

$a=4$ ,

b = 3

$b=3$ , чтобы увидеть, получите ли вы тот же ответ?

Кристофер Эмери

@ Джерри Майерсон Или мы могли бы просмотреть эскиз, который я добавил, и с помощью геометрических рассуждений интуитивно понять, что относительная пропорция a / b не имеет значения в конструкции или отношениях.

Ответы (3)

Является ли это последовательное представление гипотенузы симметричным относительно сторон прямоугольного треугольника?

Почему бы не попробовать вычислить его с помощью $a=3$ , $b=4$ , а потом с $a=4$ , $b=3$ , чтобы увидеть, получите ли вы тот же ответ?
@ Джерри Майерсон Или мы могли бы просмотреть эскиз, который я добавил, и с помощью геометрических рассуждений интуитивно понять, что относительная пропорция a / b не имеет значения в конструкции или отношениях.

Мартин Р. · Answer 1

Предположим, что треугольник невырожденный, так что оба $a$ и $b$ не равны нулю.

Написание сериала как

\frac{а^{2}}{\sqrt{а^{2} + б^{2}}} \sum_{н "=" 0}^{\infty} {(\frac{б^{2}}{а^{2} + б^{2}})}^{н}

$\frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}} \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{b^2}{a^2+b^2}\right)^n$ показывает, что это геометрический ряд. Он сходится, так как

\frac{b^{2}}{a^{2} + b^{2}} < 1

$\frac{b^2}{a^2+b^2} < 1$ . Для сходимости не требуется, чтобы

a \leq b

$a \le b$ .

Стоимость серии

\frac{а^{2}}{\sqrt{а^{2} + б^{2}}} \cdot \frac{1}{1 - б^{2} / (а^{2} + б^{2})} "=" \sqrt{а^{2} + б^{2}},

$\frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}} \cdot \frac{1}{1-b^2/(a^2+b^2)} = \sqrt{a^2+b^2} \, ,$ как и ожидалось. Такое же значение получается, если

a

$a$ и

b

$b$ взаимозаменяемы, так как

\frac{a^{2}}{b^{2} + a^{2}} < 1

$\frac{a^2}{b^2+a^2} < 1$ также.

Написанный в виде геометрического ряда, возвращается видимость симметрии. Все наши геометрические инстинкты предполагают, что он должен быть симметричным, и все же, записанный в том виде, в каком я его представил, он кажется поразительно антисимметричным.
@ChristopherEmery " удивительно антисимметричный " $\;-\;$ Геометрическая конструкция не является симметричной в $a,b$ начать с. Конечный результат эквивалентен $\,(1-x) \sum x^n = x \sum (1-x)^n = 1\,$ где симметрия в $x, 1-x$ может быть более очевидным.
@dxiv: $(1-x) \sum x^n = x \sum (1-x)^n$ – Это хорошее наблюдение. У вас будет мой голос, если вы хотите добавить его в качестве ответа!
@dxiv Конструкция действительно не симметрична (после выбора стороны), но разделение может быть выполнено в любом из двух направлений: по катету a или b. Симметрия лежит между этими двумя вариантами. Хотя я согласен с Мартином; ваше проницательное наблюдение.
@ChristopherEmery Симметрия становится еще более очевидной в форме триггера.
@MartinR Спасибо. Он стал слишком длинным для комментария, поэтому я опубликовал это как ответ.

dxiv · Answer 2

Равенство $\,\displaystyle c=a^2\sum_{n=1}^\infty\frac{b^{2n-2}}{(a^2+b^2)^{\frac{2n-1}2}}\,$ с $\,c = \sqrt{a^2+b^2}\,$ можно переписать как:

\frac{а^{2}}{а^{2} + б^{2}} \sum_{н "=" 0}^{\infty} {(\frac{б^{2}}{а^{2} + б^{2}})}^{н} "=" 1

$\frac{a^2}{a^2+b^2} \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{b^2}{a^2+b^2}\right)^n = 1$

С $\displaystyle\,x = \frac{b^2}{a^2+b^2} \lt 1\,$ это сводится к расширению ряда $\displaystyle\,\frac{1}{1-x}\,$ :

(1 - Икс) \sum_{н "=" 0}^{\infty} {Икс}^{н} "=" 1

$(1-x) \, \sum_{n=0}^\infty x^n = 1$

Замена $\,x \mapsto 1-x\,$ дает симметричную форму:

Икс \sum_{н "=" 0}^{\infty} (1 - Икс)^{н} "=" 1 ⟺ \frac{б^{2}}{а^{2} + б^{2}} \sum_{н "=" 0}^{\infty} {(\frac{а^{2}}{а^{2} + б^{2}})}^{н} "=" 1

$x \, \sum_{n=0}^\infty (1-x)^n = 1 \;\;\;\;\iff\;\;\;\; \frac{b^2}{a^2+b^2} \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{a^2}{a^2+b^2}\right)^n = 1$

В вопросе ОП $\,x = \sin^2 B\,$ , поэтому равенство также можно записать в тригонометрической форме как:

{потому что}^{2} Б \sum_{н "=" 0}^{\infty} {грех}^{2 н} Б "=" 1

$\cos^2 B \, \sum_{n=0}^\infty \sin^{2n} B = 1$

Замена $\,B \mapsto \dfrac{\pi}{2}-B\,$ дает двойственную форму:

{грех}^{2} Б \sum_{н "=" 0}^{\infty} {потому что}^{2 н} Б "=" 1

$\sin^2 B \, \sum_{n=0}^\infty \cos^{2n} B = 1$

Сомос · Answer 3

Ваше наблюдение заключается в том, что для данного прямоугольного треугольника на плоскости линия, перпендикулярная гипотенузе к прямому углу, делит прямоугольный треугольник на два треугольника, подобных данному. Теперь предположим, что выбран больший подтреугольник, и теперь разделите его, как в исходном прямоугольном треугольнике, и продолжите процесс, чтобы получить диаграмму в вашем вопросе. Гипотенуза, как вы заметили, разбита на отрезки, длины которых образуют геометрический ряд, сумма которого равна длине гипотенузы.

Однако предположим, что вместо него выбран меньший треугольник. Затем он образует другое разбиение гипотенузы и другой геометрический ряд, который должен иметь ту же сумму. Теперь предположим, что процесс разбиения выполняется на всех подтреугольниках со стороной, лежащей на гипотенузе. Тогда разбиение отрезка гипотенузы образует дважды индексированный геометрический ряд. Таким образом, симметрия суммы становится очевидной. Эта новая серия

с \sum_{н "=" 1}^{\infty} \sum_{м "=" 1}^{\infty} \frac{б^{2 н} а^{2 м}}{с^{2 н + 2 м}} "=" \sum_{н "=" 1}^{\infty} \frac{б^{2 н}}{с^{2 н - 1}} \frac{а^{2}}{б^{2}} "=" \sum_{м "=" 1}^{\infty} \frac{а^{2 м}}{с^{2 м - 1}} \frac{б^{2}}{а^{2}} "=" с .

$c\sum_{n=1}^\infty\sum_{m=1}^\infty \frac{b^{2n}a^{2m}}{c^{2n+2m}} = \sum_{n=1}^\infty \frac{b^{2n}}{c^{2n-1}} \frac{a^2}{b^2} = \sum_{m=1}^\infty \frac{a^{2m}}{c^{2m-1}} \frac{b^2}{a^2} = c.$

На размышления об этом виде «исчисления без исчисления» меня вдохновило решение Архимеда для площади, ограниченной параболой, и неспециальная линия, пересекающая параболу в двух точках. В его решении не используются координаты и метод исчерпывания, завершающийся анализом геометрического ряда, основанным на простых соотношениях.

Является ли это последовательное представление гипотенузы симметричным относительно сторон прямоугольного треугольника?

Кристофер Эмери

Джерри Майерсон

Кристофер Эмери

Ответы (3)

Мартин Р.

Кристофер Эмери

dxiv

Мартин Р.

Кристофер Эмери

dxiv

dxiv

dxiv

Сомос

Кристофер Эмери

Какие правила вращения можно применить к сложенным кубам, чтобы сделать трехмерный спирограф?

Сумма обратных квадратов гипотенузы пифагоровых треугольников

Вычисление ∑(a,b,c)∈T2a3b5c∑(a,b,c)∈T2a3b5c\sum_{(a,b,c)\in T}\frac{2^a}{3^b 5^c} , для TTT множество всех троек положительных целых чисел (a,b,c)(a,b,c)(a,b,c), образующих треугольник

Геометрическое представление членов рекуррентной последовательности с f(x)=−12x+3f(x)=−12x+3f(x)=\frac{-1}{2} x+3?

Теорема 3.55 в «Малышке Рудине»: как понять доказательство?

Преобразование из глобальной системы координат в локальную

Примитивный тройной генератор Пифагора

Докажите эту идентичность, используя тройную идентичность продукта Якоби.

Существуют ли сколь угодно длинные промежутки между простыми числами, в которых каждое число имеет по крайней мере три различных простых делителя?

∑∞n=0ak∑n=0∞ak\sum_{n=0}^\infty a_k сходится абсолютно и ∑∞n=0bk∑n=0∞bk\sum_{n=0}^\infty b_k сходится следует, что ∑∞n=0bksin(ak)∑n=0∞bksin⁡(ak)\sum_{n=0}^\infty b_k\sin(a_k) сходится?