Является ли гравитационное действие Черна-Саймонса «топологическим» или нет?

Я думаю, что утверждение в статье Виттена «Квантовая теория поля и полином Джонса» говорит о том, что этот термин является топологическим в том смысле, что он действительно не зависит от метрики. Однако он также упомянул, что для того, чтобы придать смысл этой интеграции, т. е. сделать ее числовой, вам нужно выбрать тривиализацию касательного расслоения, т. е. выбрать кадрирование. Хитрость в том, что действие не инвариантно относительно скручивания кадра. В этом смысле гравитационное поле Черна-Саймонса фактически является топологическим инвариантом трехмерного многообразия с выбранным оснащением.

Что ж, если вам нужны действительно топологические инварианты, вы можете выбрать правильный коэффициент, чтобы сделать его независимым от оснащения. Например, в упомянутой вами статье, если вы выберете$c=24$, функция разбиения не будет зависеть от кадрирования.

Классически они явно топологичны. Метрика не отображается, и вам не нужна метрика для интегрирования на многообразиях, чтобы иметь смысл. Теперь в измерении 3 вы можете преобразовать действие Эйнштейна-Гильберта в теорию Черна-Саймонса, как вы говорите. Связность принимает значения в алгебре Ли группы Пуанкаре.

В более высоких измерениях вам нужно использовать более высокие инвариантные полиномы, помните, что вам нужна интеграция, чтобы иметь смысл. Таким образом, вы можете получить многомерные теории, включая действие Эйнштейна-Гильберта, но также и с более высокой кривизной.

Нет никаких экспериментальных доказательств включения этих членов с более высокой кривизной в гравитацию. Однако они интересны с точки зрения непертурбативной квантовой гравитации с использованием потока ренормализационной группы и асимптотической безопасности.

Теперь, при квантовании возмущений теории Черна-Саймонса, вам нужна метрика для определения интегралов по траекториям. Виттен в 1989 году сделал это [1]. Вы получаете выражения, которые действительно зависят от этого выбора метрики, но затем он показал, как сделать всю эту метрику независимой, добавив еще один член.

Ссылки [1] Эдвард Виттен, Квантовая теория поля и полином Джонса 121 (3) (1989) 351–399.

Хотя этот вопрос не является запросом на ресурсы, я бы порекомендовал статью Эдварда Виттена по теме, опубликованную в 1988 году, под названием « 2 + 1-мерная гравитация как растворимая система». В статье Виттен показывает:

• $2+1$объемная гравитация с или без$\Lambda$разрешима классически и на квантовом уровне
• $2+1$пространственная гравитация связана с теорией Янга-Миллса только с членом Черна-Саймонса
• На квантовом уровне такая теория имеет исчезающую бета-функцию

Виттен также обсуждает другие пути, такие как связь с представлениями алгебры Вирасоро, которая связана с конформной теорией поля и теорией струн. Наконец, чтобы ответить на ваш вопрос напрямую, если мы интерпретируем поля как калибровочные поля, да, действие является топологическим инвариантом, по крайней мере, классически.

Да, гравитационное действие Черна-Саймонса является топологическим. Калибровочное соединение кодирует гравитационное поле, и, поскольку оно интегрируется, результат не зависит от метрики. (В выражениях, которые вы пишете, возможно, отсутствует вклад Фильбейна? Или, может быть, вы имеете в виду, что вобрали его в обозначения.) Обратите внимание, что это просто обычный член Черна-Саймонса, который может быть записан для многих калибровочных групп, здесь специализированный для группа Пуанкаре или группа AdS.

Чтобы понять, что здесь происходит, нужно знать следующее:

1. Функционал действия Эйнштейна-Гильберта всегда имеет формулировку первого порядка в терминах вильбытия и спиновых связей, которые являются не чем иным, как компонентами 1-формы со значениями в алгебре Ли Пуанкаре. Точнее, поле гравитации всегда можно записать как связность Картана для включения группы Лоренца в группу Пуанкаре.

2. Теперь, когда кто-то записывает эту версию действия Эйнштейна-Гильберта первого порядка в трехмерном пространстве, происходит маленькое чудо: оказывается, что оно равно функционалу действия Черна-Саймонса с этой калибровочной группой. См . гравитацию Черна-Саймонса .