Является ли лагранжев член массы фермиона мнимым, а не реальным?

Question

Является ли лагранжев член массы фермиона мнимым, а не реальным?

масса
Физика
уравнение Дирака
числа Грассмана
квантовая механика
квантовая теория поля

Безумный Макс

Это кажется абсурдным вопросом, но потерпите меня.

В квантовой теории поля лагранжев член массы фермиона Дирака читается

м \bar{ψ} ψ "=" м ({\bar{ψ}}_{л} ψ_{р} + {\bar{ψ}}_{р} ψ_{л}) "=" м (ψ_{л}^{†} γ_{0} ψ_{р} + ψ_{р}^{†} γ_{0} ψ_{л})

$m\bar\psi \psi = m(\bar\psi_L \psi_R + \bar\psi_R \psi_L) = m(\psi_L^\dagger \gamma_0\psi_R + \psi_R^\dagger \gamma_0\psi_L)$ Предполагая, что этот лагранжев член массы фермиона используется в качестве подынтегральной функции (в экспоненте) в формализме функционального интеграла КТП, связанной с фермионами Дирака, в дальнейшем мы будем рассматривать

ψ

$\psi$ компоненты как антикоммутирующие переменные Грассмана, учитывая антисимметричный характер фермионов, а не классические коммутирующие комплексные переменные.

Обратите внимание, что $m$ должно быть реальным на протяжении всего этого поста. Вопрос здесь в том, является ли массовый лагранжев член $m\bar\psi \psi$ реально или мнимо, а не о $m$ сам параметр. (Обратите внимание, что может быть законный псевдоскалярный массовый член, как в $m\bar{\psi} i\gamma_5\psi$ . Но мы не будем обсуждать псевдоскалярную массу в текущем посте. Заинтересованные читатели могут увидеть здесь для более подробной информации.)

Однако если заглянуть под капот привычного массового термина $m\bar\psi \psi$ , есть некоторые сюрпризы, скрывающиеся вокруг. Рассмотрим простой пример в базисе Вейля.

ψ "=" (ξ, 0, х, 0)^{Т}

$\psi = (\xi, 0, \chi, 0)^T$ где

ξ

$\xi$ и

χ

$\chi$ действительные числа Грассмана (

ξ^{*} = ξ

$\xi^*= \xi$ ,

χ^{*} = χ

$\chi^*= \chi$ , они не являются 2 компонентными столбцами, мы перейдем к общему случаю комплексных чисел Грассмана ближе к концу поста). В базисе Вейля

(ξ, 0, 0, 0)^{T}

$(\xi, 0, 0, 0)^T$ и

(0, 0, χ, 0)^{T}

$(0, 0, \chi, 0)^T$ представлять слева (

ψ_{L}

$\psi_L$ ) и правильно (

ψ_{R}

$\psi_R$ ) передал часть спинора Дирака соответственно.

Рассчитаем массовый член:

м \bar{ψ} ψ "=" м (ψ_{л}^{†} γ_{0} ψ_{р} + ψ_{р}^{†} γ_{0} ψ_{л}) "=" м (ξ^{*} х + х^{*} ξ) "=" м (ξ х + х ξ) "=" 0

$m\bar\psi \psi = m(\psi_L^\dagger \gamma_0\psi_R + \psi_R^\dagger \gamma_0\psi_L) = m(\xi^*\chi + \chi^*\xi) = m(\xi\chi + \chi\xi) = 0$ К сожалению, это идентично нулю, так как

ξ

$\xi$ и

χ

$\chi$ являются антикоммутирующими числами Грассмана! Обратите внимание, что

γ_{0}

$\gamma_0$ матрица просто переворачивает левые компоненты на правые компоненты и наоборот в базисе Вейля.

Теперь давайте настроим пробный спинор, чтобы сделать один из его компонентов мнимым Грассманом (умножая $\chi$ по $i$ )

ψ "=" (ξ, 0, я х, 0)^{Т}

$\psi = (\xi, 0, i\chi, 0)^T$ Низкий и вот (я опущу

m

$m$ параметр в дальнейшем):

\bar{ψ} ψ "=" ψ_{л}^{†} γ_{0} ψ_{р} + ψ_{р}^{†} γ_{0} ψ_{л} "=" ξ^{*} (я х) + (я х)^{*} ξ "=" я ξ х - я х ξ "=" 2 я ξ х \neq 0

$\bar\psi \psi = \psi_L^\dagger \gamma_0\psi_R + \psi_R^\dagger \gamma_0\psi_L = \xi^*(i\chi) + (i\chi)^*\xi = i\xi\chi - i\chi\xi = 2i\xi\chi \neq 0$ Массовый член отличен от нуля.

Замечательной и странной особенностью является то, что массовый член является мнимым с $i$ !

Заинтересованный читатель может попробовать все виды $\psi$ конфигурации в любом представлении (базис Вейля или нет), и вы получите тот же результат мнимой массы. Любые попытки построить настоящий массовый термин будут бесполезными, поскольку $\psi_L^\dagger \gamma_0\psi_R$ часть всегда отменяет $\psi_R^\dagger \gamma_0\psi_L$ часть.

Давайте дважды проверим, является ли член мнимой массы эрмитовым:

(2 я ξ х)^{†} "=" - 2 я х^{*} ξ^{*} "=" - 2 я х ξ "=" 2 я ξ х

$(2i\xi\chi)^\dagger = -2 i\chi^*\xi^* = -2i\chi\xi = 2i\xi\chi$ Таким образом, эрмитовское свойство защищено.

С другой стороны, реальный массовый термин (если он существовал)

(2 ξ х)^{†} "=" 2 х^{*} ξ^{*} "=" 2 х ξ "=" - 2 ξ х

$(2\xi\chi)^\dagger = 2 \chi^*\xi^* = 2\chi\xi = -2\xi\chi$ будет неэрмитовым.

Ключевым моментом здесь является то, что эрмитов оператор по определению

(А Б)^{†} "=" Б^{†} А^{†}

$(AB)^\dagger = B^\dagger A^\dagger$ Обратите внимание, что НЕТ знака минус, даже если оба

A

$A$ и

B

$B$ нечетны по Грассману. (В качестве примечания транспонирование определяется как:

(A B)^{T} = - B^{T} A^{T}

$(AB)^T = -B^T A^T$ , если

A

$A$ и

B

$B$ ценятся Грассманном. Обратите внимание, что есть минус! Смотрите здесь .)

В конце концов, физиков, кажется, не беспокоит воображаемая природа массового члена, если он эрмитов. Я должен подчеркнуть (в ответ на комментарии @octonion), что быть эрмитовцем и быть реальным — это два несопоставимых понятия.

Вы можете задаться вопросом, почему воображаемая масса не упоминается в обычных учебниках. Это потому, что когда мы имеем дело с фермионами, обычной практикой является использование комплексных чисел Грассмана.

ξ "=" ξ_{1} + я ξ_{2} х "=" х_{1} + я х_{2}

$\xi = \xi_1 + i\xi_2 \\ \chi = \chi_1 + i\chi_2$ где

ξ_{1}

$\xi_1$ ,

ξ_{2}

$\xi_2$ ,

χ_{1}

$\chi_1$ , и

χ_{2}

$\chi_2$ действительные числа Грассмана

Таким образом, массовый член $\psi = (\xi, 0, \chi, 0)^T$ является

\bar{ψ} ψ "=" ψ_{л}^{†} γ_{0} ψ_{р} + ψ_{р}^{†} γ_{0} ψ_{л} "=" ξ^{*} х + х^{*} ξ

$\bar\psi \psi = \psi_L^\dagger \gamma_0\psi_R + \psi_R^\dagger \gamma_0\psi_L = \xi^*\chi + \chi^*\xi$ воображаемая природа скрыта на виду. Только когда мы выписываем явные термины

ξ^{*} х + х^{*} ξ "=" (ξ_{1} + я ξ_{2})^{*} (х_{1} + я х_{2}) + (х_{1} + я х_{2})^{*} (ξ_{1} + я ξ_{2}) "=" 2 я (ξ_{1} х_{2} + х_{1} ξ_{2})

$\xi^*\chi + \chi^*\xi = (\xi_1 + i\xi_2)^*(\chi_1 + i\chi_2) + (\chi_1 + i\chi_2)^*(\xi_1 + i\xi_2) = 2i(\xi_1\chi_2 + \chi_1\xi_2)$ воображаемая масса проявляется.

Добавлено примечание в ответ на неправильный ответ ниже (от @alexarvanitakis), в котором говорится, что «знаки и / или присутствие факторов i в фермионных лагранжианах несколько излишни и зависят от соглашения».

Конечно, можно иметь лагранжиан Дирака без $i$ . Например, можно просто изменить метрику с (+, -, -, -) на (-, +, +, +), подробнее см. здесь . Однако, используя какое бы соглашение вы ни выбрали, вы все равно получите воображаемый массовый термин! Это связано с тем, что каждый элемент столбца волновой функции Дирака оценивается в комплексном пространстве Грассмана. В то время как реальная волновая функция Дирака со значениями Грассмана будет подразумевать нулевую массу.

Неправильный ответ далее говорит, что «Например, вы можете работать с соглашением, согласно которому комплексное сопряжение не меняет порядок произведения фермионов на обратный, что радикально меняет внешний вид множителей i».

Обратите внимание, что при выводе мнимой массы, приведенной выше, для любого произведения фермионов не требуется реверс. Так что массовый член пока мнимый. Единственное место, где уместно соглашение о комплексном сопряжении, обратное произведению фермионов, - это доказательство того, что массовый член является эрмитовым, хотя и мнимым. Если принять условность неправильного ответа, массовый член будет и неэрмитовым, и мнимым!

Кроме того, неправильный ответ говорит, что «вместо этого вы хотите посмотреть на уравнение Клейна-Гордона, удовлетворяемое фермионным полем ... Вам нужно сопоставить знак $m^2$ с соглашением для гамма-матриц, так что указанный выше оператор не допускает решений тахионного типа».

я говорю о $m\bar\psi \psi$ быть воображаемым, а не $m$ быть воображаемым. Доказательство неправильного ответа $m$ настоящее (или $m^2$ быть положительным) совершенно не имеет отношения к этому вопросу!

Еще добавлено примечание:

Я не говорю о том, является ли ожидаемое значение $\langle m\bar\psi \psi\rangle$ быть реальным. Это не проблема. Я говорю о лагранжиане/действии под интегралом до интеграла по путям, в то время как ожидаемое значение после интеграла по путям. На самом деле, даже несмотря на то, что массовый член Лагранжа является мнимым, среднее значение интеграла по траекториям $\langle m\bar\psi \psi\rangle$ Реально. Я не оспариваю ожидаемую стоимость.

Qмеханик

Привет @MadMax: этот вопрос касается классических (суперкоммутирующих) переменных. Теги QM и QFT, похоже, не применяются.

Безумный Макс

(Суперкоммутирующие) переменные появляются как подынтегральная функция в экспоненте формализма функционального интеграла.

октонион

Мне непонятно, действительно ли у вас есть вопрос, поэтому я отвечаю в комментарии. Я не думаю, что справедливо называть массу воображаемой. Как вы показали,

(\bar{ψ} ψ)^{*} = \bar{ψ} ψ

$(\bar{\psi}\psi)^*=\bar{\psi}\psi$ и, следовательно, массовый параметр

m

$m$ можно воспринимать как настоящее, не портя общей реальности действия.

Крис

Здравствуйте, мы заметили, что вы внесли большое количество незначительных правок в этот пост. Пожалуйста, имейте в виду, что каждое редактирование поднимает публикацию на «активную» вкладку сайта, и постарайтесь сделать ваши правки существенными. Если вы планируете постоянно улучшать этот пост, возможно, соберите несколько правок и внесите их за один раз, а не отправляйте их по отдельности.

Хиральная аномалия

@MadMax Я пытаюсь понять вопрос ... Вы спрашиваете, является ли термин

m \bar{ψ} ψ

$m\bar\psi\psi$ в

L

$L$ действительно или мнимо, в контексте подынтегральной функции интеграла пути, не так ли? Вы знаете, что компоненты

ψ

$\psi$ и

\bar{ψ}

$\bar\psi$ не являются числами (действительными или комплексными), и произведения этих компонентов также не являются числами. Это элементы абстрактного векторного пространства с особым видом продукта. Вы имеете в виду базисно-независимое определение комплексного сопряжения? Или вы спрашиваете, что на самом деле имеют в виду другие люди, когда говорят, что лагранжиан должен быть «настоящим»?

Безумный Макс

Под «компонентами ψ и ψ¯ не являются числами (действительными или комплексными)» вы подразумеваете, что числа Грассмана не являются числами?

Хиральная аномалия

@MadMax Да, это то, что я имел в виду. Я должен был сказать так: компоненты матриц

ψ

$\psi$ и

\bar{ψ}

$\bar\psi$ являются элементами алгебры Грассмана, а не числами. (Конечно, их можно умножать на комплексные числа.)

Безумный Макс

Так в чем же разница между «числами Грассмана» и «алгеброй Грассмана»? Или вы просто имеете в виду, что вообще не существует такого понятия, как «числа Грассмана»?

Хиральная аномалия

@MadMax «Число Грассмана» - это просто название элемента (или, в частности, генератора) алгебры Грассмана. Я быстро поискал хороший краткий онлайн-обзор и не нашел его, но вот грубая идея: у вас есть список вещей

ψ_{k}

$\psi_k$ называемые «генераторами», некоторые из которых могут быть обозначены

{\bar{ψ}}_{k}

$\bar\psi_k$ вместо этого, но все они линейно независимы. Их можно складывать, умножать на комплексные числа и перемножать друг с другом, а образующие антикоммутируют друг с другом. [часть 1 из 2...]

Хиральная аномалия

@MadMax [... часть 2 из 2] Когда мы переходим от формулировки континуального интеграла к формулировке операторов в гильбертовом пространстве, они становятся операторами (как и поля, которые были обычными полями с действительными значениями в континуальном интеграле) , и именно здесь определяются их сопряжения — но они все еще не имеют комплексно-сопряженных, по крайней мере, не в каком-либо базисно-независимом смысле. Я не уверен, что это полезно, я просто добавляю некоторые вещи, чтобы попытаться помочь определить проблему.

Безумный Макс

Спасибо за разъяснение разницы между «числом Грассмана» и «алгеброй Грассмана». Поскольку вы являетесь экспертом в этом вопросе, пожалуйста, пролейте свет на другие определения. Если "число Грассмана"

θ

$\theta$ имеет свойство

θ^{*} = θ

$\theta^* = \theta$ , затем

(i θ)^{*} = - i θ

$(i\theta)^* = -i\theta$ . Два вопроса. Прежде всего, как вы «имеете базисно-независимое определение комплексного сопряжения»? Во-вторых, как вы описываете различные свойства двух приведенных выше чисел Грассмана?

θ

$\theta$ и

i θ

$i\theta$ ?

Хиральная аномалия

@MadMax В векторном пространстве над действительными числами компоненты вектора зависят от того, какой базис используется. Вектор, у которого все положительные компоненты находятся в одном базисе, может иметь все отрицательные компоненты в другом базисе, и ни один из них не является более естественным, чем другой. Не существует естественного базисно-независимого понятия «положительного вектора». В векторном пространстве над комплексными числами вектор может иметь чисто вещественные компоненты в одном базисе и чисто мнимые компоненты в другом базисе, и ни один из вариантов не является более естественным, чем другой. Не существует естественного базисно-независимого понятия «реального вектора». [1 из 3...]

Хиральная аномалия

@MadMax [2 из 3] Генераторы алгебры Грассмана охватывают векторное пространство

G

$G$ над комплексными числами. В этом контексте спинор

ψ

$\psi$ имеет компоненты

ψ_{k}

$\psi_k$ , и каждая из этих компонент сама является вектором в векторном пространстве

G

$G$ . Я бы описал свойства

θ^{*} = θ

$\theta^*=\theta$ и

(i θ)^{*} = - i θ

$(i\theta)^*=-i\theta$ как:

θ

$\theta$ имеет реальные компоненты в этой основе для

G

$G$ . Иногда авторы говорят, что

m \bar{ψ} ψ

$m\bar\psi\psi$ термин в лагранжиане должен быть «настоящим», но это небрежно, и объяснение того, что они могут означать, потребует еще одной серии длинных комментариев. (Я могу придумать несколько вариантов.)

Хиральная аномалия

@MadMax [3 из 3] Когда мы говорим о лагранжиане в подынтегральном выражении интеграла по путям, нам не нужно (или не иметь) никакого естественного базисно-независимого определения «реального», когда задействованы фермионы. Нам нужно, чтобы интеграл по путям обладал свойством, называемым положительностью отражения . (Это одна из вещей, которую авторы могли бы иметь в виду под «действительным лагранжианом».) Если мы переключимся на формулировку операторов в гильбертовом пространстве, то нам все еще не нужно (или не будет) определение «действительного», которое было бы независимым. выбора представления в гильбертовом пространстве. Что нам нужно/имеется, так это понятие самосопряженного/эрмитова.

Безумный Макс

@ChiralAnomaly, спасибо за объяснение! Я бы бросил вызов любому построить «настоящую»

m \bar{ψ} ψ

$m\bar\psi\psi$ в любом "реальном" базисе Грассмана по его выбору. Если выбрать «сложный» базис, например

ξ = ξ_{1} + i ξ_{2}

$\xi = \xi_1 + i\xi_2$ , воображаемый характер

m \bar{ψ} ψ

$m\bar\psi\psi$ будет скрыто, и этот момент уже изложен в основном тексте. Обратите внимание, что, как объяснено в основном тексте, быть «реальным» и быть «эрмитовым» может не одно и то же. Опять же, я НЕ бросаю вызов

m \bar{ψ} ψ

$m\bar\psi\psi$ будучи эрмитовым.

Либертарианский феодал-бот

Спинор Дирака не является реальным представлением

S L (2, C)

$SL(2,\mathbb{C})$ . Так

ξ^{*} \neq ξ

$\xi^{\ast}\neq\xi$ . Реальное представление известно как майорановский фермион. Так что массовый член не исчезает.

Безумный Макс

Пожалуйста, прочитайте внимательно, для неисчезающего массового термина базис Вейля в посте

ψ = (ξ, 0, i χ, 0)^{T}

$\psi = (\xi, 0, i\chi, 0)^T$ представляет собой комплексное представление, а не реальное представление.

Либертарианский феодал-бот

@MadMax Можешь еще раз записать свое второе уравнение? Почему

ξ^{*} = ξ

$\xi^{\ast}=\xi$ ?

Либертарианский феодал-бот

Я надеюсь, что вы можете добавить теги для своих уравнений, потому что действительно трудно задавать вопросы. Что касается «свойства Эрмита», пожалуйста, проверьте мой новый обновленный ответ. Таким образом определяется инволюция (она же комплексно-сопряженная) алгебры Грассмана.

(z w)^{*} = w^{*} z^{*}

$(zw)^{\ast}=w^{\ast}z^{\ast}$ . Вы всегда переворачиваете порядок комплексного сопряжения. Здесь нет ничего эрмитовского.

Ответы (3)

Является ли лагранжев член массы фермиона мнимым, а не реальным?

Привет @MadMax: этот вопрос касается классических (суперкоммутирующих) переменных. Теги QM и QFT, похоже, не применяются.
(Суперкоммутирующие) переменные появляются как подынтегральная функция в экспоненте формализма функционального интеграла.
Мне непонятно, действительно ли у вас есть вопрос, поэтому я отвечаю в комментарии. Я не думаю, что справедливо называть массу воображаемой. Как вы показали, $(\bar{\psi}\psi)^*=\bar{\psi}\psi$ и, следовательно, массовый параметр $m$ можно воспринимать как настоящее, не портя общей реальности действия.
Здравствуйте, мы заметили, что вы внесли большое количество незначительных правок в этот пост. Пожалуйста, имейте в виду, что каждое редактирование поднимает публикацию на «активную» вкладку сайта, и постарайтесь сделать ваши правки существенными. Если вы планируете постоянно улучшать этот пост, возможно, соберите несколько правок и внесите их за один раз, а не отправляйте их по отдельности.
@MadMax Я пытаюсь понять вопрос ... Вы спрашиваете, является ли термин $m\bar\psi\psi$ в $L$ действительно или мнимо, в контексте подынтегральной функции интеграла пути, не так ли? Вы знаете, что компоненты $\psi$ и $\bar\psi$ не являются числами (действительными или комплексными), и произведения этих компонентов также не являются числами. Это элементы абстрактного векторного пространства с особым видом продукта. Вы имеете в виду базисно-независимое определение комплексного сопряжения? Или вы спрашиваете, что на самом деле имеют в виду другие люди, когда говорят, что лагранжиан должен быть «настоящим»?
Под «компонентами ψ и ψ¯ не являются числами (действительными или комплексными)» вы подразумеваете, что числа Грассмана не являются числами?
@MadMax Да, это то, что я имел в виду. Я должен был сказать так: компоненты матриц $\psi$ и $\bar\psi$ являются элементами алгебры Грассмана, а не числами. (Конечно, их можно умножать на комплексные числа.)
Так в чем же разница между «числами Грассмана» и «алгеброй Грассмана»? Или вы просто имеете в виду, что вообще не существует такого понятия, как «числа Грассмана»?
@MadMax «Число Грассмана» - это просто название элемента (или, в частности, генератора) алгебры Грассмана. Я быстро поискал хороший краткий онлайн-обзор и не нашел его, но вот грубая идея: у вас есть список вещей $\psi_k$ называемые «генераторами», некоторые из которых могут быть обозначены $\bar\psi_k$ вместо этого, но все они линейно независимы. Их можно складывать, умножать на комплексные числа и перемножать друг с другом, а образующие антикоммутируют друг с другом. [часть 1 из 2...]
@MadMax [... часть 2 из 2] Когда мы переходим от формулировки континуального интеграла к формулировке операторов в гильбертовом пространстве, они становятся операторами (как и поля, которые были обычными полями с действительными значениями в континуальном интеграле) , и именно здесь определяются их сопряжения — но они все еще не имеют комплексно-сопряженных, по крайней мере, не в каком-либо базисно-независимом смысле. Я не уверен, что это полезно, я просто добавляю некоторые вещи, чтобы попытаться помочь определить проблему.
Спасибо за разъяснение разницы между «числом Грассмана» и «алгеброй Грассмана». Поскольку вы являетесь экспертом в этом вопросе, пожалуйста, пролейте свет на другие определения. Если "число Грассмана" $\theta$ имеет свойство $\theta^* = \theta$ , затем $(i\theta)^* = -i\theta$ . Два вопроса. Прежде всего, как вы «имеете базисно-независимое определение комплексного сопряжения»? Во-вторых, как вы описываете различные свойства двух приведенных выше чисел Грассмана? $\theta$ и $i\theta$ ?
@MadMax В векторном пространстве над действительными числами компоненты вектора зависят от того, какой базис используется. Вектор, у которого все положительные компоненты находятся в одном базисе, может иметь все отрицательные компоненты в другом базисе, и ни один из них не является более естественным, чем другой. Не существует естественного базисно-независимого понятия «положительного вектора». В векторном пространстве над комплексными числами вектор может иметь чисто вещественные компоненты в одном базисе и чисто мнимые компоненты в другом базисе, и ни один из вариантов не является более естественным, чем другой. Не существует естественного базисно-независимого понятия «реального вектора». [1 из 3...]
@MadMax [2 из 3] Генераторы алгебры Грассмана охватывают векторное пространство $G$ над комплексными числами. В этом контексте спинор $\psi$ имеет компоненты $\psi_k$ , и каждая из этих компонент сама является вектором в векторном пространстве $G$ . Я бы описал свойства $\theta^*=\theta$ и $(i\theta)^*=-i\theta$ как: $\theta$ имеет реальные компоненты в этой основе для $G$ . Иногда авторы говорят, что $m\bar\psi\psi$ термин в лагранжиане должен быть «настоящим», но это небрежно, и объяснение того, что они могут означать, потребует еще одной серии длинных комментариев. (Я могу придумать несколько вариантов.)
@MadMax [3 из 3] Когда мы говорим о лагранжиане в подынтегральном выражении интеграла по путям, нам не нужно (или не иметь) никакого естественного базисно-независимого определения «реального», когда задействованы фермионы. Нам нужно, чтобы интеграл по путям обладал свойством, называемым положительностью отражения . (Это одна из вещей, которую авторы могли бы иметь в виду под «действительным лагранжианом».) Если мы переключимся на формулировку операторов в гильбертовом пространстве, то нам все еще не нужно (или не будет) определение «действительного», которое было бы независимым. выбора представления в гильбертовом пространстве. Что нам нужно/имеется, так это понятие самосопряженного/эрмитова.
@ChiralAnomaly, спасибо за объяснение! Я бы бросил вызов любому построить «настоящую» $m\bar\psi\psi$ в любом "реальном" базисе Грассмана по его выбору. Если выбрать «сложный» базис, например $\xi = \xi_1 + i\xi_2$ , воображаемый характер $m\bar\psi\psi$ будет скрыто, и этот момент уже изложен в основном тексте. Обратите внимание, что, как объяснено в основном тексте, быть «реальным» и быть «эрмитовым» может не одно и то же. Опять же, я НЕ бросаю вызов $m\bar\psi\psi$ будучи эрмитовым.
Спинор Дирака не является реальным представлением $SL(2,\mathbb{C})$ . Так $\xi^{\ast}\neq\xi$ . Реальное представление известно как майорановский фермион. Так что массовый член не исчезает.
Пожалуйста, прочитайте внимательно, для неисчезающего массового термина базис Вейля в посте $\psi = (\xi, 0, i\chi, 0)^T$ представляет собой комплексное представление, а не реальное представление.
@MadMax Можешь еще раз записать свое второе уравнение? Почему $\xi^{\ast}=\xi$ ?
Я надеюсь, что вы можете добавить теги для своих уравнений, потому что действительно трудно задавать вопросы. Что касается «свойства Эрмита», пожалуйста, проверьте мой новый обновленный ответ. Таким образом определяется инволюция (она же комплексно-сопряженная) алгебры Грассмана. $(zw)^{\ast}=w^{\ast}z^{\ast}$ . Вы всегда переворачиваете порядок комплексного сопряжения. Здесь нет ничего эрмитовского.

пользователь21299 · Answer 1

Признаки и/или наличие факторов $i$ в фермионных лагранжианах несколько излишне и зависит от соглашения. (Например, вы можете работать с соглашением, согласно которому комплексное сопряжение не меняет порядок произведения фермионов, что радикально меняет внешний вид множителей $i$ . Однако в большинстве случаев это не соглашение, которое вы хотите использовать.)

Вместо этого вы хотите взглянуть на уравнение Клейна-Гордона, которому удовлетворяет фермионное поле. Предположим, что ваш фермион EOM

(γ^{мю} \partial_{мю} + м) ψ "=" 0

$(\gamma^\mu{\partial_\mu}+m)\psi=0$ Отсюда следует, что

(γ^{мю} \partial_{мю} + м)^{2} ψ "=" 0 ⟹ (\frac{1}{2} {γ^{мю}, γ^{ν}} \partial_{мю} \partial_{ν} + м^{2}) ψ "=" 0

$(\gamma^\mu{\partial_\mu}+m)^2\psi=0\implies \left(\frac{1}{2}\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\}\partial_\mu\partial_\nu +m^2\right) \psi=0$ так что уравнение движения для фермиона подразумевает также уравнение типа Клейна-Гордона для каждой из компонент

ψ

$\psi$ . Вам нужно соотнести знак

m^{2}

$m^2$ с соглашением для гамма-матриц, так что указанный выше оператор не допускает решений тахионного типа.

Этот ответ совершенно неверен! Смотрите добавленные примечания в моем вопросе.
Нет, мой ответ выглядит нормально. Наивная реальность кинетического члена в лагранжиане не имеет значения; имеет значение только то, распространяются ли решения внутри светового конуса и является ли оператор формально самосопряженным и имеет ли он хороший спектр (действительных) собственных значений и т. д.
$m$ реально точно. Но это НЕ то, о чем я говорю. я говорю о $m\bar\psi \psi$ .

СлучайныйПреобразование Фурье · Answer 2

Я собираюсь рассмотреть проблему в $d=0+1$ размеры для упрощения записи. Для высшего $d$ обсуждение идентично, за исключением того, что вы также включаете режимы импульса, которые не имеют отношения к вопросу.

Возьмем свободный фермион Дирака. Наиболее общий лагранжиан

л "=" я ψ^{†} \dot{ψ} + м ψ^{†} ψ

$L=i\psi^\dagger\dot\psi+m\psi^\dagger\psi$ Этот лагранжиан является эрмитовым тогда и только тогда, когда

m \in R

$m\in\mathbb R$ .

Ассоциированный гамильтониан, полученный обычным (с ограничениями) преобразованием Лежандра, имеет вид

ЧАС "=" м ψ^{†} ψ

$H=m\psi^\dagger\psi$ Это, естественно, эрмитов оператор.

Квантовая теория получается каноническим квантованием, что дает (опять же, с ограничениями) скобки Дирака-Пуассона

{ψ, ψ} "=" {ψ^{†}, ψ^{†}} "=" 0, {ψ, ψ^{†}} "=" 1

$\{\psi,\psi\}=\{\psi^\dagger,\psi^\dagger\}=0,\qquad\{\psi,\psi^\dagger\}=1$

Гильбертово пространство двумерно:

| 0 ⟩ и ψ^{†} | 0 ⟩

$|0\rangle\quad\text{and}\quad\psi^\dagger|0\rangle$ где вакуум

| 0 ⟩

$|0\rangle$ определяется как

ψ | 0 ⟩ "=" 0

$\psi|0\rangle=0$ Тривиально вычислить действие гамильтониана на эти состояния с результатом

м ψ^{†} ψ "=" (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & м \end{matrix})

$m\psi^\dagger\psi=\begin{pmatrix}0&0\\0&m\end{pmatrix}$ (относительно основания

| 0 ⟩

$|0\rangle$ ,

ψ^{†} | 0 ⟩

$\psi^\dagger|0\rangle$ ).

Извлекаем несколько уроков:

В этом базисе массовый член является вещественным и эрмитовым.
В других базисах массовый член все еще эрмитов, но не обязательно должен оставаться реальным. В произвольной основе $m\psi^\dagger\psi=U\begin{pmatrix}0&0\\0&m\end{pmatrix}U^\dagger$ для некоторого унитарного $U$ .
Не существует базисно-независимого понятия реальности. Только эрмитичность не зависит от базиса. А массовый член определенно эрмитов, почти по определению (вы всегда должны брать эрмитов лагранжиан).

В высших $d$ результат тот же, за исключением того, что есть некоторые дополнительные гамма-матрицы, а гильбертово пространство получается путем воздействия импульсными модами $\psi_{\vec k}$ на нулевых модах. Это не меняет того факта, что массовый член является эрмитовым и бессмысленно спрашивать, реален ли он.

При этом можно также задать вопрос о системе как о чисто классической теории, т. е. $\psi$ является $a$ -число, а не оператор. В этом случае лагранжиан

л "=" я ψ^{*} \dot{ψ} + м ψ^{*} ψ

$L=i\psi^*\dot\psi+m\psi^*\psi$ и массовый член все еще реален :

(ψ^{*} ψ)^{*} "=" ψ^{*} ψ

$(\psi^*\psi)^*=\psi^*\psi$ потому что

(a b)^{*} = b^{*} a^{*}

$(ab)^*=b^*a^*$ для

a

$a$ -числа.

То же самое, если вы расширите $\psi$ на его майорановские компоненты,

ψ "=" х_{1} + я х_{2}

$\psi=\chi_1+i\chi_2$ массовый термин становится

(х_{1} - я х_{2}) (х_{1} + я х_{2}) "=" х_{1}^{2} + х_{2}^{2} + я (х_{1} х_{2} - х_{2} х_{1})

$(\chi_1-i\chi_2)(\chi_1+i\chi_2)=\chi_1^2+\chi_2^2+i(\chi_1\chi_2-\chi_2\chi_1)$

Классически, $\chi_i^2=0$ и поэтому, действительно,

м ψ^{†} ψ "=" 2 я м х_{1} х_{2}

$m\psi^\dagger\psi=2im\chi_1\chi_2$ что опять же реально:

(х_{1} х_{2})^{*} "=" х_{2} х_{1} "=" - х_{1} х_{2}

$(\chi_1\chi_2)^*=\chi_2\chi_1=-\chi_1\chi_2$

Итак, вкратце: массовый термин $i\chi_1\chi_2$ реален, потому что $i$ и $\chi_1\chi_2$ являются по отдельности чисто мнимыми .

В любом случае, приписывая свойства реальности $a$ -numbers очень сильно зависит от соглашения (они не наблюдаемы). И если вы настаиваете, вы можете столкнуться с некоторыми квазипарадоксальными результатами. Рассмотрим, например, скобку Пуассона двух вещественных $a$ -числа,

{х_{я}, х_{Дж}} "=" я {дельта}_{я Дж}

$\{\chi_i,\chi_j\}=i\delta_{ij}$ что является чисто мнимым, хотя

χ_{i}, χ_{j}

$\chi_i,\chi_j$ оба по отдельности реальны.

Все это остается верным в более высоких измерениях, но имейте в виду, что свойства реальности спиноров чувствительно зависят от $d\mod8$ . Так например в $d=4$ условие реальности $\psi=\psi^*$ действителен только в том виде, в каком он записан в майорановском базисе, где $\gamma^0$ является чисто воображаемым.

Комментарии не для расширенного обсуждения; этот разговор был перемещен в чат .

Либертарианский феодал-бот · Answer 3

Учитывая алгебру Грассмана $\Lambda_{\infty}$ , его образующие являются антикоммутирующими элементами $\zeta^{i}$ такой, что

ζ^{я} ζ^{Дж} + ζ^{Дж} ζ^{я} "=" 0.

$\zeta^{i}\zeta^{j}+\zeta^{j}\zeta^{i}=0.$

Суперчисло $z\in\Lambda_{\infty}$ должен принять форму

г "=" г_{Б} + г_{С},

$z=z_{B}+z_{S},$

где $z_{B}\in\mathbb{C}$ это тело и

г_{С} "=" \sum_{к "=" 1}^{\infty} \frac{1}{к!} С_{я_{1} \dots я_{к}} ζ^{я_{1}} \dots ζ^{я_{к}}, С_{я_{1} \dots я_{к}} е С

$z_{S}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k!}C_{i_{1}\dots i_{k}}\zeta^{i_{1}}\cdots\zeta^{i_{k}},\quad C_{i_{1}\dots i_{k}}\in\mathbb{C}$

является его душой.

Инволюция (комплексное сопряжение) в $\Lambda_{\infty}$ определяется как

$(\zeta^{i})^{\ast}=\zeta^{i}$ .
$(\alpha z)^{\ast}=\bar{\alpha}z^{\ast}$ , где $\alpha\in\mathbb{C}$ .
$(z+w)^{\ast}=z^{\ast}+w^{\ast}$ .
$(zw)^{\ast}=w^{\ast}z^{\ast}$ .
$(z^{\ast})^{\ast}=z$ .

Таким образом, при инволюции (также известной как комплексное сопряжение) вы всегда меняете порядок $z$ и $w$ . Но это чисто классические числа, а не эрмитовы квантовые операторы.

Вы называете это "эрмитовым сопряжением", и это нормально. Но в остальном мире это называют комплексным сопряжением (или инволюцией). Например, на этой странице википедии :

Для спинора Дирака лагранжиан

л "=" \bar{Ψ} (я \partial / - м) Ψ

$\mathcal{L}=\bar{\Psi}(i\partial\!\!\!/-m)\Psi$

не является действительным (числовозначным по Грассману). Чтобы найти реальный «симметризованный» лагранжиан, рассмотрим

л^{*} "=" [\bar{Ψ} (я γ^{мю} {\vec{\partial}}_{мю} - м) Ψ]^{†} "=" Ψ^{†} (- я γ^{мю †} {\overset{\leftarrow}{\partial}}_{мю} - м) γ^{0 †} Ψ "=" Ψ^{†} (- я γ^{0} γ^{мю} γ^{0} {\overset{\leftarrow}{\partial}}_{мю} - м) γ^{0} Ψ "=" \bar{Ψ} (- я γ^{мю} {\overset{\leftarrow}{\partial}}_{мю} - м) Ψ .

$\mathcal{L}^{\ast}=[\bar{\Psi}(i\gamma^{\mu}\overset{\rightarrow}{\partial}_{\mu}-m)\Psi]^{\dagger}=\Psi^{\dagger}(-i\gamma^{\mu\dagger}\overset{\leftarrow}{\partial}_{\mu}-m)\gamma^{0\dagger}\Psi=\Psi^{\dagger}(-i\gamma^{0}\gamma^{\mu}\gamma^{0}\overset{\leftarrow}{\partial}_{\mu}-m)\gamma^{0}\Psi=\bar{\Psi}(-i\gamma^{\mu}\overset{\leftarrow}{\partial}_{\mu}-m)\Psi.$

Затем определите новый лагранжиан

л_{С} "=" \frac{1}{2} (л + л^{*}) "=" \frac{1}{2} \bar{Ψ} (я \overset{\leftrightarrow}{\partial} / - 2 м) Ψ .

$\mathcal{L}_{\mathrm{S}}=\frac{1}{2}(\mathcal{L}+\mathcal{L}^{\ast})=\frac{1}{2}\bar{\Psi}(i\overset{\leftrightarrow}{\partial}\!\!\!\!\!/-2m)\Psi.$

Отсюда следует, что новый лагранжиан $\mathcal{L}_{\mathrm{S}}$ действительна (со значениями Грассмана), поэтому функциональная интегральная функция $e^{iS}$ хорошо определен.

Массовый член НЕ является мнимым. Возьмем, к примеру, ваше уравнение, член $2i\xi\chi$ какое бы странное представление вы ни выбрали, оно реально , потому что

(2 я ξ х)^{*} "=" - 2 я х^{*} ξ^{*} "=" 2 я ξ х,

$(2i\xi\chi)^{\ast}=-2i\chi^{\ast}\xi^{\ast}=2i\xi\chi,$

когда $\chi$ и $\xi$ реальны.

Для комплексных чисел Грассмана $\chi$ и $\xi$ , у вас есть

(ξ^{*} х + х^{*} ξ)^{*} "=" х^{*} ξ + ξ^{*} х .

$(\xi^{\ast}\chi + \chi^{\ast}\xi)^{\ast}=\chi^{\ast}\xi+\xi^{\ast}\chi.$

Здесь нет ничего тахионного или воображаемого. Вы думали, что это мнимо, потому что вы не меняете порядок комплексного сопряжения.

Ссылка: Идеи и методы суперсимметрии и супергравитации: или прогулка по суперпространству , раздел 1.9.1.

Не могли бы вы прочитать весь пост? Это просто конкретный пример для разогрева акциза. Самый общий случай можно найти в конце поста, где $\xi = \xi_1 + i\xi_2$ , и $\chi = \chi_1 + i\chi_2$
@MadMax Давайте сейчас сосредоточимся на ваших упражнениях по подготовке. Почему должен $\xi^{\ast}=\xi$ ? Это неправда.
Это очень просто, скажем, у вас есть комплексное число $z= x+iy$ , это может быть где угодно на комплексной плоскости. Одним из конкретных примеров является то, что он находится на реальной оси, что означает $y=0$ и $z = x$ . То же самое относится и к комплексному числу Грассмана.
@MadMax Поскольку у вас нет тегов для ваших уравнений, не могли бы вы объяснить уравнение после «О, и вот (далее я буду опускать параметр m):»?
Укажите, какая часть уравнения нуждается в пояснении: $\bar\psi \psi = \psi_L^\dagger \gamma_0\psi_R + \psi_R^\dagger \gamma_0\psi_L = \xi^*(i\chi) + (i\chi)^*\xi = i\xi\chi - i\chi\xi = 2i\xi\chi \neq 0$ .
$\bar\psi \psi = \psi_L^\dagger \gamma_0\psi_R + \psi_R^\dagger \gamma_0\psi_L$ Я не знаю определения $\psi_{L}$ и $\psi_{R}$ .
они остались $\psi_L$ и правильно $\psi_R$ передал часть спинора Дирака. В базисе Вейля спинора с 4 столбцами / компонентами $\psi_L$ представлена первыми двумя компонентами, а $\psi_R$ представлена двумя последними компонентами. Итак, в конкретном примере уравнения, которое вы спрашиваете, $\psi_L = (\xi, 0, 0, 0)^T$ и $\psi_R=(0, 0, i\chi, 0)^T$ .
Поясню некоторые определения терминов «реальный» и «эрмитовский». Это может вызвать путаницу. Скажем, следуя вашему правилу спряжения № 1: $(\zeta^{i})^{\ast}=\zeta^{i}$ и $(\zeta^{j})^{\ast}=\zeta^{j}$ . Согласно правилам спряжения № 2 и № 4: $(i\zeta^{i}\zeta^{j})^{\ast}=i^{\ast}(\zeta^{j})^{\ast}(\zeta^{i})^{\ast} = (-i)\zeta^{j}\zeta^{i}= i\zeta^{i}\zeta^{j}$ . Является $i\zeta^{i}\zeta^{j}$ реальный или эрмитовский?
Можете ли вы редактировать свои уравнения?
Я не понимаю. Здесь нет ничего квантового. Почему вы используете слово «эрмит»?
@MadMax Сверхчисло $i\zeta^{i}\zeta^{j}$ реально. Нет ничего квантового и эрмитова суффа. Я до сих пор не совсем понимаю, что происходит в вашем вопросе, но кажется, что «воображаемая масса» возникает из-за того, что вы не меняете порядок в инволюции (он же комплексное сопряжение). Пожалуйста, проверьте эту страницу в Википедии: en.wikipedia.org/wiki/…
@MadMax Псевдоклассические фермионы оцениваются числом Грассмана. Здесь нет ничего квантового или эрмитова. Каноническое квантование числа Грассмана известно как алгебра Клиффорда. Если вы квантоваете $\Lambda_{3}=\left\{\zeta^{1},\zeta^{2},\zeta^{3}\right\}$ , вы получите алгебру Клиффорда $spin(3)=\left\{\sigma^{1},\sigma^{2},\sigma^{3}\right\}$ , где $\sigma^{i}$ называется матрицей Паули.
Тогда это разница в терминологии. я звоню на супер номер $i\zeta^{i}\zeta^{j}$ отшельнический, но не настоящий. Вы называете это реальным. Фермионный лагранжев массовый член точно такой же, как $i\zeta^{i}\zeta^{j}$ , если вы называете это реальным, то это реально. Конец истории.
Хорошо. Можем ли мы вернуться к первоначальному вопросу, о котором вы говорили?
Просто чтобы подтвердить, вы думаете, что нельзя сказать, что классический лагранжиан является эрмитовым или нет. Другими словами, вы считаете, что эрмитовость НЕ применима к классическому лагранжиану (независимо от того, задействованы ли числа Грассмана). Пожалуйста подтвердите.
Да, на моем языке классический лагранжиан реален. Когда кто-то говорит об эрмитовости, я автоматически предполагаю, что он говорит о квантовых операторах.
Пожалуйста, подтвердите, что вы считаете, что эрмитовость НЕ применима к классическому лагранжиану. Поскольку у вас есть проблемы со мной, использующим «эрмитиан» для классического лагранжиана, не могли бы вы подтвердить?
Разве я только что не подтвердил? Я называю, если реально вы называете это Эрмитовым. Почему это важно? Почему вы привели меня к этому вопросу? Первоначальный вопрос не был связан с этим.
@MadMax Только что добавил ссылку на массовый термин и комплексное сопряжение сверхчисел, которые вы можете прочитать.

Является ли лагранжев член массы фермиона мнимым, а не реальным?

Безумный Макс

Qмеханик

Безумный Макс

октонион

Крис

Хиральная аномалия

Безумный Макс

Хиральная аномалия

Безумный Макс

Хиральная аномалия

Хиральная аномалия

Безумный Макс

Хиральная аномалия

Хиральная аномалия

Хиральная аномалия

Безумный Макс

Либертарианский феодал-бот

Безумный Макс

Либертарианский феодал-бот

Либертарианский феодал-бот

Ответы (3)

пользователь21299

Безумный Макс

пользователь21299

Безумный Макс

СлучайныйПреобразование Фурье

Крис

Либертарианский феодал-бот

Безумный Макс

Либертарианский феодал-бот

Безумный Макс

Либертарианский феодал-бот

Безумный Макс

Либертарианский феодал-бот

Безумный Макс

Безумный Макс

Либертарианский феодал-бот

Либертарианский феодал-бот

Либертарианский феодал-бот

Либертарианский феодал-бот

Безумный Макс

Либертарианский феодал-бот

Безумный Макс

Либертарианский феодал-бот

Безумный Макс

Либертарианский феодал-бот

Либертарианский феодал-бот