Является ли магнитная сила неконсервативной? [дубликат]

Это связано с определением консервативной силы (и ссылками в нем):

Если сила, действующая на объект, является функцией только положения, она называется консервативной силой и может быть представлена ​​функцией потенциальной энергии, которая для одномерного случая удовлетворяет условию производной

Давайте посмотрим на магнитное поле, можно ли его описать скалярным потенциалом ?

Для магнитного поля B нет общего скалярного потенциала, но его можно выразить как ротор векторной функции

${\vec{B} = \vec{\nabla} \times \vec{A}}$

Поэтому она не подпадает под определение консервативных сил.

Другой вид:

Силовое поле$F$, определенный всюду в пространстве (или в пределах односвязного объема пространства), называется консервативной силой или консервативным векторным полем, если он удовлетворяет любому из этих трех эквивалентных условий:

1. Завиток$F$равен нулю:

   $$\nabla \times \vec{F} = 0.$$

2. Нет чистой работы ($W$) совершается силой при движении частицы по траектории, начинающейся и заканчивающейся в одном и том же месте:

   $$W \equiv \oint_C \vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec r = 0.$$

3. Силу можно записать как отрицательный градиент потенциала,$\Phi$:

   $$\vec{F} = -\nabla \Phi.$$

[Доказательство эквивалентности опущено.]

Термин консервативная сила происходит от того факта, что когда существует консервативная сила, она сохраняет механическую энергию. Наиболее известные консервативные силы — это гравитация, электрическая сила (в магнитном поле, не зависящем от времени, см. закон Фарадея) и сила пружины.

Многие силы (особенно те, которые зависят от скорости) не являются силовыми полями. В этих случаях три вышеуказанных условия математически не эквивалентны. Например, магнитная сила удовлетворяет условию 2 (поскольку работа, совершаемая магнитным полем над заряженной частицей, всегда равна нулю), но не удовлетворяет условию 3, а условие 1 даже не определено (сила не является векторным полем, поэтому нельзя оценить его завиток). Соответственно, одни авторы классифицируют магнитную силу как консервативную ^[3] , а другие нет. ^[4] Магнитная сила представляет собой необычный случай; большинство сил, зависящих от скорости, таких как трение, не удовлетворяют ни одному из трех условий и, следовательно, однозначно неконсервативны.

Так что не все так однозначно, как с сохранением энергии и импульса :).

Это странно. Магнитное поле НЕ является консервативным в присутствии токов или изменяющихся во времени электрических полей.

Консервативное поле должно иметь замкнутый линейный интеграл (или ротор), равный нулю. Четвертое уравнение Максвелла (закон Ампера) можно записать

$$\nabla \times {\bf B} = \mu_0 {\bf J} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial {\bf E}}{\partial t}\, ,$$ так что вы можете видеть, что это будет равно нулю только в определенных случаях.

Магнитная сила также консервативна только в особых случаях. Сила электромагнитного поля записывается

$${\bf F} = q{\bf E} + q{\bf v} \times {\bf B}$$

Чтобы это было консервативно, тогда$\nabla \times {\bf F} = 0$и

$$\nabla \times {\bf F} = q\nabla \times {\bf E} + q\nabla \times ({\bf v} \times {\bf B}) .$$ Но из закона Фарадея мы знаем, что $$\nabla \times {\bf E} = - \frac{\partial {\bf B}}{\partial t}\, ,$$ так, $$\nabla \times {\bf F} = - q\frac{\partial {\bf B}}{\partial t} + q{\bf v}(\nabla \cdot {\bf B}) - q{\bf B}(\nabla \cdot {\bf v}) + ({\bf B}\cdot \nabla){\bf v} - ({\bf v}\cdot \nabla){\bf B}\, .$$ Из закона соленоида $\nabla \cdot {\bf B}=0$всегда и $\nabla \cdot {\bf v} = \partial/\partial t(\nabla \cdot {\bf r})=0$. Более того, $({\bf B}\cdot \nabla){\bf v} = ({\bf B}\cdot \frac{\partial}{\partial t} \nabla){\bf r} = 0$, так $$\nabla \times {\bf F} = - q\left[\frac{\partial {\bf B}}{\partial t} + \frac{\partial {\bf B}}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial {\bf B}}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial t} + \frac{\partial {\bf B}}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial t}\right]$$ $$\nabla \times {\bf F} = - q\frac{d {\bf B}}{d t}$$ и сила консервативна только в случае стационарных магнитных (и, следовательно, электрических) полей.

Изменить: обратите внимание, что работа выполняется изменяющимися во времени B-полями из-за неизбежного сопутствующего E-поля. Так что это может быть потенциальной точкой двусмысленности.