Является ли механизм Хиггса калибровочным преобразованием или нет? ( U(1)U(1)U(1) контекст )

Я пытаюсь понять, как применяется механизм Хиггса в контексте U ( 1 ) сценарий нарушения симметрии, означающий, что у меня есть комплексное поле Хиггса ф "=" е я ξ ( р + в ) 2 и хотите оценить ξ поле, которое вызывает мой недиагональный член, при нарушении нормальной симметрии. Я представляю следующие правила преобразования, которые выполняются для того, чтобы сохранить локальную калибровочную инвариантность в спонтанной симметрии, нарушая не 0 vev для р :

{ ф → е я θ ф А мю → А мю − 1 д ∂ мю θ Д мю "=" ∂ мю + я д А мю

Насколько я понимаю, механизм фиксации калибровки Хиггса используется для указания преобразований, которые калибруют ξ прочь. Идея состоит в том, что мы хотим найти угол, который дает нам поле Хиггса с одной реальной степенью свободы, как в

ф → е я θ ф "=" е я θ е я ξ ( р + в ) 2 "=" е я θ ′ ( р + в ) 2

так

{ ф → е я θ ф "=" е я θ е я ξ ( р + в ) 2 "=" е я θ ′ ( р + в ) 2 А мю → А мю − 1 д ∂ мю θ ′

где θ ′ "=" θ + ξ . Я опускаю некоторые факторы в на экспоненте пока. Вот что я вижу в своих книгах. Для θ ′ "=" 0 это становится

{ ф → ( р + в ) 2 А мю → А мю
а остальное — производные желаемые взаимодействия и термины в целом. Замечу, что это не сохраняет локальную калибровочную инвариантность, поскольку

{ ф → е я θ ′ ( р + в ) 2 ≠ е я θ ′ ф А мю → А мю − 1 д ∂ мю θ ′
Так является ли это преобразование тем, что мы делаем, или я где-то ошибся, и его можно сделать правильно с помощью законного калибровочного преобразования?

Привет, Карки, и добро пожаловать на биржу стека физики! Это нормальный вопрос как таковой, но я думаю, что несколько вещей мешают ему стать отличным вопросом: во-первых, «Правильно ли я смотрю на это?» как-то расплывчато. Как вы думаете, каким другим образом вы могли бы смотреть на это, или что именно заставляет вас думать, что то, как вы смотрите на это сейчас, может быть недействительным? Кроме того, «вопрос о механизме Хиггса U (1)» - не очень хорошее название. Если вы обратитесь к первой вещи, она, вероятно, предложит лучшее название. У нас есть несколько советов по написанию хороших заголовков .
Спасибо за предложения, я переработал заголовок и вопрос, чтобы сделать его более конкретным.
Я не понимаю вашего вопроса. Когда у тебя есть θ ′ "=" 0 , вы точно отмерили ξ фаза, которая была раньше, т. е. калибровочное преобразование ф ↦ е − я ξ ф оставляет вас с е − я ξ ф "=" 1 2 ( р + в ) . Вы не трансформируетесь θ ′ , вы трансформируетесь с θ , и для θ "=" − ξ , вы получите желаемую форму.
@ACuriousMind звучит так, будто это может быть ответ
@ACuriousMind Что меня смущает, так это тот факт, что если вы трансформируетесь как
{ ф → е − я ξ ф А мю → А мю − 1 д ∂ мю ( − ξ ) "=" А мю + 1 д ∂ мю ξ
то лагранжиан, как инвариантный относительно этих преобразований, сохраняет свой первоначальный вид для поля ф , но это не то, что нам нужно, поскольку тогда лагранжиан имеет экспоненту ξ и поле не измеряется.
Если мы поглотим экспоненту в ф , чтобы получить только реальное поле, то 1 д ∂ мю ξ член умножается на кинетический член и оставляет нам ξ термины повсюду, в конце концов.

Ответы (3)

Нет, ты правильно понял. Вы произвели калибровочное преобразование к так называемой унитарной калибровке , где 2-частицы комплексного дублета φ теперь сведены только к его действительной компоненте ρ , а фазовая компонента превратилась в компонент калибровочного поля

{ ф → ( р + в ) 2 А мю → А мю
где «остальное» включает некалибровочно-инвариантный массовый член для калибровочного поля , поэтому теперь он имеет 3 компонента, а не 2 из-за этого: θ ' был переназначен посредством калибровочного преобразования из комплексного скаляра в калибровочное поле .

Сейчас вы находитесь в данной калибровке: если вы перейдете к другой калибровке, вы не увидите эти степени свободы так же просто, но, конечно, результаты для (калибровочно-инвариантных) амплитуд, которые вы вычислите, будут идентичными.

В том-то и дело: калибровочная инвариантность позволяет перейти к калибровке, где физическое содержание теории более прозрачно.

Просто чтобы добавить к ответу Космы. Я думаю, что люди путают преобразование калибра и фиксацию калибра . Здесь мы делаем фиксацию калибровки, что означает, что мы ограничиваем поля от произвольного выбора. ( ф е С , А мю ) к фиксированному выбору калибра ( ф 0 е р , А мю ) . Смысл этого в том, что мы удаляем избыточность из-за калибровочной симметрии в том смысле, что каждая точка ( ф е С , А мю ) можно достичь ровно один раз, выполнив калибровочное преобразование в ограниченном (калибровочно фиксированном) пространстве поля. Более конкретно, предположим, что мы хотим достичь точки ( ф 0 е я ξ , А мю ) (где ф 0 е р ), мы должны начать с фиксированной точки датчика ( ф 0 , А мю + 1 д ∂ мю ξ ) затем выполните калибровочное преобразование с параметром преобразования θ "=" ξ (следуя соглашению @karky). Таким образом, при устранении голдстоуновского бозона ξ в абелевой модели Хиггса мы делаем исправление калибровки, а НЕ преобразование калибровки. Любое калибровочное преобразование оставляет лагранжиан инвариантным, поэтому нет надежды, что поле ξ могут быть устранены.

Давайте введем немного больше обозначений, потому что я думаю, что вы путаете себя с → обозначение:

Позволять θ : р 4 → р быть любой функцией. Тогда поля калибровочного преобразования равны

ф θ "=" е − я θ ф А θ "=" А − 1 д г θ
и калибровочное преобразование θ заменяет ф , А к ф θ , А θ , что вы обозначаете через ф → ф θ , А → А θ .

Калибровочная инвариантность означает, что С [ ф , А ] "=" С [ ф θ , А θ ] , т. е. действие не меняется при калибровочном преобразовании, и в этом случае оно также означает л [ ф , А ] "=" л [ ф θ , А θ ] . 1 Это верно для этого лагранжиана на абстрактном уровне.

Теперь вы знаете , что можете написать ф "=" е я ξ ф 0 , и вы хотите выразить лагранжиан исключительно в терминах ф 0 не имея ξ там. Это достигается за счет фиксации манометра в θ "=" − ξ , с ф − ξ "=" ф 0 . Поскольку теория калибровочно-инвариантна, у вас есть л [ ф , А ] "=" л [ ф − ξ , А − ξ ] .

Кажется, ваша главная проблема заключается в том, что lhs все еще содержит ξ поскольку А − ξ содержит ξ . Это действительно проблема, которую нужно исправлять. Есть два способа сделать это, я приведу пока только краткий, который, к сожалению, предполагает ξ быть бесконечно малым:

Обратите внимание, что для бесконечно малого ξ и р , ф "=" ф 0 + я в ξ . Теперь вычислите лагранжиан л [ ф 0 + я в ξ , А ] и обратите внимание, что вы получаете термин, который выглядит как 2 1 2 е 2 в 2 ( А − 1 д г ξ ) 2 . Следовательно, подключение А − ξ действительно убивает ξ также в условиях с А , так как это преобразует член в скобках в А 2 без всяких ξ .

1 В общем случае лагранжиан может измениться на полную производную

2>/sup>«Похоже», потому что существует несколько различных соглашений о том, как именно выглядят калибровочное преобразование и расширение вокруг VEV, и я не склонен отслеживать, какое из них используется здесь.

Ты имеешь ввиду л [ ф 0 + я в ξ , А ] в третьей строке с конца?
@karky: Да, исправлено.
Если бы я попросил не бесконечно малый способ, не могли бы вы дать мне ссылку?
@karky: Я искал, но не смог найти. У меня есть приблизительное представление о том, как это должно работать, но мне нужно проработать это подробно; Я добавлю его к этому ответу, когда найду время (или ссылку).
Теперь я вижу, что я думал неправильно. Используя ваши обозначения, я пытался выразить преобразованный лагранжиан [ ф θ , А ] где вместо этого я должен использовать [ ф θ , А θ ] . В частности, я выразил А θ в отношении А но использовал преобразованную версию ф . Я потратил слишком много времени на это недоразумение, так что спасибо за вашу каталитическую помощь!
Является ли механизм Хиггса калибровочным преобразованием или нет? ( U(1)U(1)U(1) контекст )
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v