Модель Джорджи-Глэшоу и ВЭВ скалярного поля

Скалярный потенциал вашей теории равен

$$V(\phi) = \lambda (\phi^a \phi^a - v^2)^2,$$ где я подозреваю, что вы хотели взять площадь, как я написал здесь. Этот потенциал сводится к минимуму, когда $\sqrt{\phi^a \phi^a} = v$. Думать о $\phi=\frac{1}{2} \phi^a \sigma^a$как вектор с компонентами $\phi^a$в трехмерном векторном пространстве с базисными векторами $\sigma_a/2$. Уравнение $\sqrt{\phi^a \phi^a}=v$говорит, что норма этого вектора равна $v$в минимумах потенциала. Таким образом, минимальное геометрическое место потенциала представляет собой 2-сферу радиуса $v$в этом трехмерном пространстве, состоящем из векторов, норма которых фиксирована на $v$.

Выберите наугад одну из этих минимальных конфигураций поля, скажем$\phi_0=\frac{1}{2} v \sigma^3$("северный полюс" 2-сферы, если хотите). Рассмотрим, как калибровочное преобразование действует на эту конфигурацию поля. Поскольку скаляр преобразуется в присоединенном представлении калибровочной группы, калибровочное преобразование$e^{iT} \in \mathrm{SU}(2)$действует на$\phi_0$как$\phi_0 \mapsto e^{i T} \phi_0 e^{-iT}$, или, бесконечно мало,$\delta \phi_0 = i [T,\phi_0]$. Здесь,$T = \frac{1}{2} T^a \sigma^a$является произвольным элементом$\mathrm{su}(2)$, алгебра Ли$\mathrm{SU}(2)$. Наша конфигурация поля$\phi_0 = \frac{1}{2} v \sigma^3$поэтому инвариантен относительно этого калибровочного преобразования, когда$T \propto \sigma_3$, пока$\phi_0$не является инвариантом, если$T$имеет поддержку$\sigma^1$или$\sigma^2$. Мы находим, что единственный генератор$\mathrm{su(2)}$(который генерирует$\mathrm{U(1)}$подгруппа$\mathrm{SU(2)}$) листья$\phi_0$инвариантны, а два других генератора действуют нетривиально.

В такой ситуации мы говорим$\mathrm{SU(2)}$Калибровочная симметрия Хиггса доведена до$\mathrm{U(1)}$подгруппа. Чтобы определить спектр полей в теории Хиггседа, выполните переопределение поля$\phi' = \phi- \phi_0$, так что потенциал теперь минимален для$\phi' = 0$. Если вы замените$\phi$к$\phi'+\phi_0$в вашем лагранжиане и расширите его, вы обнаружите, что калибровочные поля$A_1$и$A_2$стали массивными (в унитарной калибровке), а$A_3$остается безмассовым. Вы можете сразу определить массы калибровочного поля, просто заменив$\phi$к$\phi_0$в скалярном кинетическом члене$(D_\mu \phi^a) (D^\mu \phi^a)$:

$$\begin{align}(D_\mu \phi_0^a)(D^\mu \phi_0^a) =& (g \epsilon^{abc} A_\mu^b v \delta^{c,3})(g \epsilon^{ade} A_\mu^d v \delta^{e,3})\\ =& g^2 v^2 \epsilon^{ab3} \epsilon^{ad3} A_\mu^b A_\mu^d\\ =&g^2 v^2 (A_\mu^1 A_\mu^1+A_\mu^2A_\mu^2). \end{align}$$ Таким образом, $A_1$и $A_2$каждый приобрел массу порядка $gv$. Их часто меняют на «сложные калибровочные поля». $W_\pm = A_1 \pm i A_2$потому что это $W_\pm$который появляется в кубических взаимодействиях с веществом. Я оставлю явное разложение лагранжиана на ваше усмотрение.

Это должно решить ваши первые два вопроса. Ваш третий вопрос спрашивает, что произойдет, если вы возьмете скаляр, чтобы жить в другом представлении. Анализ проводится таким же образом, поэтому позвольте мне суммировать процедуру для произвольной калибровочной группы и представления. Начнем со скалярного потенциала$V(\phi)$и определяет конфигурации полей, которые минимизируют его,$\mathcal{M}_0 = \left \{\phi_0: V'(\phi_0) = 0, V''(\phi_0) > 0 \right\}$. Предположим, что действие инвариантно относительно группы симметрии$G$, и что$\phi$принадлежит линейному представлению$R$из$G$. Другими словами,$\phi$трансформируется как$\phi \mapsto R(g) \phi$, где$R(g)$является матричным представлением$g$. Для бесконечно малого преобразования (когда$G$непрерывен),$\delta \phi = i T \phi$, где$R(g)=e^{iT}$.

Поскольку действие инвариантно относительно$G$,$V(\phi_0) = V(R(g) \phi_0)$для любого$g \in G$. Таким образом$G$карты$\mathcal{M}_0$к себе.$R(g)$не нужно оставлять$\phi_0$инвариант, однако. В общем, только подгруппа$H \subset G$покинет$\phi_0$инвариант. То есть среди списка генераторов$\{T_a\}$из$G$, некоторое подмножество («неразбитые» образующие) оставит$\phi_0$инвариант,$\delta \phi_0 = i T_a \phi = 0$, а остатка не будет ("сломанные" генераторы). Непрерывные генераторы порождают подгруппу$H$, а сломанные образующие соответствуют смежному классу$G/H$.

Если$G$является глобальной симметрией, мы говорим, что она спонтанно нарушена до подгруппы$H$. Если$G$является калибровочной симметрией, мы говорим, что она была преобразована Хиггсом в$H$. Калибровочные поля вдоль образующих$H$остаются безмассовыми, а калибровочные поля вдоль оборванных образующих становятся массивными (опять же в унитарной калибровке).

Чтобы убедиться, что вы понимаете эту процедуру, вы должны выполнить эту линию анализа для различных других примеров. Я показал вам, как проходит анализ$\mathrm{SU(2)}$Калибровочная теория Хиггса с помощью сопряженного. Вы можете придумать другие примеры калибровочных групп и представлений и проработать детали или изучить множество примеров, представленных во множестве книг по теории поля.

Кстати, модель Джорджи-Глэшоу относится к$\mathrm{SU(5)}$калибровочная теория, а не$\mathrm{SU(2)}$Калибровочная теория.