Является ли общая теория относительности голономной?

Вы, скорее всего, найдете голономные и неголономные системы в лангранжевой и гамильтоновой формулировках механики. Определение голономной системы - это система, количество параметров которой, необходимых для определения конфигурации системы, равно количеству степеней свободы в системе. Для неголономной системы параметров больше, чем степеней свободы, где избыточное число параметров равно числу неинтегрируемых уравнений связи. Другой способ описать голономную систему - это тот, в котором уравнения ограничений интегрируются с функциями только координат, где ограничения обычно являются функциями координат, производными координат по времени и т. Д. Последнее определение дает более строгое определение. если бы интуитивный взгляд не

Немного погуглив, кажется, что ОТО обычно рассматривается как неголономная. Анализ релятивистского движения на квантовом уровне (т. е. с использованием квантовых потенциалов и представлений) становится очень запутанным и становится невероятно трудным для интерпретации. Ближе всего к ответу, который я видел, нет, т.е. существуют релятивистские системы, в которых ограничения действительно приводят к интегрируемым уравнениям, но обычно это не так.

Что касается фазового пространства. Я буду использовать лагранжев пример после сравнения его со знакомым пространством. Взгляни на$R^{n}$за$n=2$. Это двумерное пространство действительных чисел. Мы можем геометрически представить это с помощью графика, состоящего из двух осей. Мы можем пометить каждую ось и назвать ее координатой. Если$R^{n}$с его координатами, давайте использовать$x$а также$y$, удовлетворяют некоторым условиям, то можно сказать, что$x$а также$y$охватывать пространство,$R^{n}$. Условие, которое мы имеем для охвата пространства, состоит в том, что$x$а также$y$оси линейно независимы, т.е. нет компонента$x$ось против$y$оси и наоборот. Более строго: если$\sum_{i}^{n} \alpha_nx_n = 0$для скаляров$\alpha_n$не все равно 0, где$x_1 = x$а также$x_2 = y$. Эти координаты генерируют пространство. Это чисто математический аспект фазового пространства.

Все фазовое пространство — это пространство, охватываемое параметрами, определяющими вашу систему. В случае лагранжевой механики, если у меня есть$\mathfrak{L}(\dot{q},p)$тогда фазовое пространство - это пространство, натянутое при взятии скорости$\dot{q}$быть одной координатой для фазового пространства и каноническим сопряженным импульсом,$p$быть другим. В этом случае система точно определяется этими двумя параметрами, поэтому они составляют фазовое пространство. Эти параметры могут иметь явную зависимость от других параметров, таких как время.

Вместо того, чтобы придерживаться стандартных декартовых координат, мы обобщаем наши результаты, записывая уравнения, используя$q$как координата. Сюда,$q_i$за$i=1,2,3$, могут быть декартовы координаты$x,y,z$или сферические, цилиндрические, криволинейные или любые другие координаты. В этом конкретном случае$q$можно рассматривать как пространственное измерение$x$.

Например, возьмем гармонический осциллятор. Как выглядит фазовое пространство для этого? Посмотрим!

$$\mathfrak{L} = T - U$$ Кинетическая энергия, $T$, мы принимаем за $\frac{1}{2}m\dot{q}^2$, где координата $q$просто представляет положение на одномерной линии. потенциал, $U$мы принимаем, чтобы быть $\frac{kq^2}{2}$. $$\mathfrak{L} = \frac{1}{2}m\dot{q}^2 - \frac{kq^2}{2}$$ Это переходит прямо в уравнение Эйлера-Лагранжа: $$\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathfrak{L}}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial \mathfrak{L}}{\partial q} = 0$$ Теперь голономное или неголономное ограничение, которое мы здесь применяем, имеет вид $q = \{q:q(t)\}$. Это, конечно, означает, что любые производные по времени от $q$также являются функциями некоторого параметра, а именно $t$. Мы принимаем $t$быть пора. Теперь независимо от того, является ли единственное ограничение и, следовательно, система голономной или нет, зависит от того, можно ли дифференциальное уравнение, порожденное уравнением Эйлера-Лагранжа, интегрировать в функцию, зависящую от времени, или нет. $q(t)$. Если бы у нас было больше измерений или пространственных координат, у нас было бы больше дифференциальных уравнений, по одному для движения в каждом направлении, заданном ограничениями.

В этом случае мы получаем

$$\ddot{q} + \frac{k}{m}q = 0$$ Дифференциальные уравнения вида $$\ddot{q} + \alpha^{2}q = 0$$ есть решения $$q = A\cos{\alpha t} + B\sin{\alpha t}$$ Где $A,B=cons.$— произвольные константы, вытекающие из начальных условий. Это уравнение верно для любой массивной частицы при заданном потенциале, поэтому, скажем, решение наших задач с начальными значениями доставлено $A=1 , B=0$. Тогда одно точное решение $$q = \cos{\omega t}\,\,,\,\,\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$$ Итак, поскольку мы смогли определить $q$как явная функция $t$, мы показали, что наши ограничения и, следовательно, наша система голономны. Поскольку это уравнение движения воплощает в себе всю динамику системы, мы можем заглянуть в фазовое пространство. Каковы координаты этого конкретного фазового пространства? Независимо от того, от чего лагранжиан является явной функцией. Это параметры, которые описывают нашу систему, поскольку лагранжиан является функционалом этих параметров, предназначенным для определения этой системы.

Наш лагранжиан был функцией$q$а также$\dot{q}$. Соответственно положение и скорость. Я полагаю, по историческим причинам, однако, мы присоединяем массовый термин,$m$, к$\dot{q}$так что наше фазовое пространство является функцией$p = m\dot{q}$а также$q$.

Координаты нашего фазового пространства являются функциями одного параметра, поэтому это, естественно, приводит нас к возможности построить параметрический график нашего фазового пространства в форме

$$< p(t),q(t)>$$ (Параметрические графики, состоящие из n функций 1 параметра, создают кривую в n-мерном пространстве)

Рассчитав уравнение движения для$q$, нам просто нужно решить

$$p = m\dot{q} = -m\omega\sin{\omega t}$$ Предоставление $$<-m\omega\sin{\omega t} , \cos{\omega t}>$$ Какие сюжеты

за$m=\omega=1$. Это должно выглядеть и чувствовать себя немного интуитивно, колебательная система создает круг в фазовом пространстве. Теперь, поскольку время является нашим параметром, варьируя$t$просто меняется, где точка находится на окружности. Если вы заметили, существует величина, которая остается неизменной для всех$t$: радиус окружности. Точнее, квадрат радиуса круга, который оказывается пропорциональным энергии системы! Разные радиусы, разные полные энергии. Это, конечно, переходит в концепцию гамильтониана.

Один лагранжиан, который может вас заинтересовать, это

$$\mathfrak{L} = -mc^{2}\sqrt{1 - \frac{\dot{q}^2}{c^2}}$$ Это соответствует свободной релятивистской пробной частице. Выберите и выберите свои ограничения (т.е. функции, которые нужно подключить для $\dot{q}$или его (анти)производные. ) И вы можете найти наиболее конкретный ответ, который вы ищете. Удачи, товарищ ученый!