Гамильтониан для безмассовой частицы - формальное определение энергии

По лагранжиану можно вычислить импульсы и по ним гамильтониан, если система достаточно регулярна. Сегодня я понял, что лагранжиан безмассовой частицы в гравитационном поле сингулярен и описывается гамильтонианом связи. Вот моя проблема: при данном лагранжиане гамильтониан всегда равен нулю; если она всегда равна нулю, как можно говорить об «энергии», связанной с безмассовой частицей?

Энергия безмассовой частицы равна Е "=" п с , при чем здесь гамильтониан? Гамильтониан не всегда является «энергией», особенно когда система ограничена или инвариантна к временной репараметризации.
Я согласен с вами, во всяком случае, я искал формальное определение энергии в контексте гамильтоновой теории. Для свободной нерелятивистской системы ответ прост: энергия есть гамильтониан, но в релятивистском случае обычно гамильтониана нет, и если да, то откуда берется определение энергии?
Энергия - это нётеровский заряд, связанный с переносом переменной времени (которая обычно будет переменной фазового пространства, а не параметром эволюции (то есть собственным временем) в релятивистской постановке).
Я знал это, и вот мое сомнение: что в контексте общей теории относительности вы подразумеваете под переменной времени? Если это координата x-нуль, лагранжиан не является инвариантным, значит, это параметр эволюции, обычно называемый лямбдой?
@Yildiz Как он сказал, энергия соответствует заряду Нётера, связанному с переводом времени. Если теория инвариантна относительно преобразований Лоренца, то вы можете извлечь энергию из тензора энергии-импульса Т мю ν который можно вычислить, взяв вариацию лагранжиана по метрике, по модулю множителей метрических определителей и констант. Однако, когда дело доходит до системы, которая ограничена или инвариантна к репараметризации во времени, возникают другие сложности, как указал ACuriousMind.
Вы правы, в прошлом сообщении я сказал не то: теперь все понятно, спасибо :)
Сегодня я задумался над частным случаем: в метрике Фридмана-Робертсона лагранжиан для безмассовой частицы не инвариантен к переносу во времени из-за масштабного фактора, так как же можно говорить об энергии фотона, если нет Нётер ток?
Мне кажется, что в контексте общей теории относительности вообще нельзя говорить о «сохранении энергии», потому что метрика обычно не допускает переноса координат, я прав?

Ответы (1)

Комментарии к посту (v3):

  1. Понятие гамильтониана и понятие полной энергии не обязательно должны совпадать, ср. этот пост Phys.SE и ссылки в нем. Полная энергия — это нётеровский заряд , связанный с переносом времени. В теории относительности понятие времени (и, следовательно, понятие энергии) зависит от выбранной системы координат. В частности, понятие полной энергии (в отличие от понятия энергии покоя) не является инвариантом. См. также приведенные выше комментарии ACuriousMind и JamalS.

  2. В контексте, например, метрики Минковского или метрики FLRW

    (1) г с 2   "="   ∑ мю , ν "=" 0 3 г ( 4 ) мю ν г Икс мю ⊙ г Икс ν   "="   − г Икс 0 ⊙ г Икс 0 + а ( Икс 0 ) 2 ∑ я , Дж "=" 1 3 г ( 3 ) я Дж г Икс я ⊙ г Икс Дж ,
    можно составить гамильтониан ЧАС для безмассовой точечной частицы, равной полной энергии
    (2) с | п |   "="   с ∑ я , Дж "=" 1 3 п я г ( 4 ) я Дж п Дж   "="   с а ( Икс 0 ) ∑ я , Дж "=" 1 3 п я г ( 3 ) я Дж п Дж
    путем выбора статического манометрического условия Икс 0 "=" с т , где т — параметр мировой линии (что не является правильным временем). Подробнее см., например, в этой публикации Phys.SE. Отметим, что полная энергия (2) не сохраняется в случае FLRW из-за масштабного фактора а ( Икс 0 ) с явной зависимостью от времени.

Спасибо Qmechanic, но в моем случае я не могу использовать статический датчик. Если я пытаюсь использовать его, я также определяю факторную шкалу, а это непоследовательно.
Не могли бы вы показать, что вы имеете в виду, используя формулы?
Лагранжиан — это параметр Лагранжа, умноженный на ограничение с плоской метрикой FRW. Если вы вычислите уравнения Эйлера-Лагранжа для динамики временной координаты, вы обнаружите простое соотношение: производная временной координаты по параметру эволюции равна обратной величине масштаба фактора, умноженной на константу. В этот момент, если вы установите временную координату t в качестве свободного параметра, вы зафиксируете масштаб коэффициента на константу: это моя проблема.
Простите, если не могу разместить формулы, но я не знаю, как это сделать: в любом случае я старался изо всех сил, чтобы объяснить проблему.
Вы должны научиться печатать формулы. Это действительно очень просто. Нажмите кнопку «редактировать» в других сообщениях, чтобы перепроектировать, как это делается (без фактического редактирования). Или посмотрите здесь и ссылки в нем.
Лагранжиан л "=" г мю ν ( Икс ) Икс ˙ мю Икс ˙ ν λ где λ является множителем Лагранжа и г мю ν метрика FRW с а как факторная шкала. Динамика в Икс 0 дан кем-то ∂ Икс 0 / ∂ т "=" 1 / а и как видите, если я выберу статический датчик Икс 0 "=" с т , а становится константой. Означает ли это, что я использую неправильный лагранжиан?
Отношение Икс 0 "=" с т является определением. Это не статическое состояние манометра Икс 0 "=" с т , где т — параметр мировой линии (что не является правильным временем).
Это не статический датчик, и вы правы, если вы установите Икс 0 "=" т , а будет однозначно определено, и это вызовет конфликт с репараметризационной инвариантностью, вы согласны со мной?
До применения EFE (т. е. уравнений Фридмана ) масштабный коэффициент а в принципе произвольно.
Хорошо, но я хотел бы соединить этот лагранжиан с эйнштейновско-гильбертовским, и в этом случае нельзя сказать, что шкала факторов произвольна.
Гамильтониан для безмассовой частицы - формальное определение энергии
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v