Тензор Риччи как релятивистский гамильтониан

Я немного разочарован интегралом действия в общей теории относительности. Интеграл действия:

(1) ∫ р г 4 Икс "=" ∫ р я Дж г я Дж г 4 Икс
Где

(2) р я Дж "=" ∂ Г я Дж л ∂ Икс л − ∂ Г л я л ∂ Икс Дж + Г я Дж л Г л м м − Г я м л Г л Дж м
Тензор Риччи. Тензор Риччи в ОТО связан с гамильтонианом, а величина
(3) р "=" р я Дж г я Дж
— скалярная кривизна, являющаяся инвариантной величиной, а также полная энергия системы. Я не могу понять, как я могу увидеть в тензоре Риччи функцию Гамильтона.

В каждой книге по общей теории относительности я находил что-то вроде этого:

Принцип действия...

Возьмем действие:

∫ − г р г 4 Икс "=" ∫ − г р я к г я Дж г 4 Икс
Где R - скалярная кривизна... аааа, когда мы делаем некоторую вариационную гимнастику, например:
дельта − г "=" − 1 2 − г г я к дельта г я к
дельта р "=" р я к дельта г я к
и подождем, когда рассеется дым, мы, надеюсь, придем к вакуумным уравнениям поля Эйнштейна:
р я к − 1 2 р г я к "=" 0
и
р я к − 1 2 р г я к "=" 8 π г с 4 Т я к
в присутствии материи. А теперь можно идти дальше... :)

Это написано в каждой книге. Но вопрос: хорошо... мы приходим к уравнениям Эйнштейна через изменение R. Но почему мы делаем изменение R, а не какую-то другую величину? Я нашел эту личность:

р я к "=" κ ( Т я к − 1 2 Т г я к )
Но я пока не могу это доказать. И это то же самое, с чего я начал

Небольшой комментарий: Что случилось с | г | в уравнении (1)?
Ничего не произошло. Это пропущено
Это отсутствует
− г
на это не влияет. забыл написать :)
Это скорее своего рода лагранжиан, чем гамильтониан (получить гамильтонову формулировку для ОТО на самом деле довольно сложно). И указанное вами количество — это действие, а не полная энергия системы.
См. книгу Уолда в приложениях... "Общая теория относительности". В нем есть все, что вы хотите знать, и даже больше.
Скаляр не является представлением полной энергии, хотя он каким-то образом связан через след тензора энергии-импульса.
Вы имели в виду, что вы разочарованы тем, как написано действие Эйнштейна-Гильберта, или что вы разочарованы? :) Действительно непонятно из вашего вопроса
Я разочарован, потому что не знаю, почему величина R является гамильтонианом. Я не знаю, как связать это с функцией гамильтона.
Как уже упоминалось, R является лагранжианом (в конце концов, вы применяете к нему уравнение EL). Использование R связано с тремя основными причинами: (1) это скаляр (таким образом, инвариант преобразования координат) (2) это простейший скаляр, который можно построить из тензора Римана (его следа) — основной дифференциальной геометрии игрока. (3) это логично - минимизировать глобальную кривизну для заданного распределения энергии/импульса. Вспомните классический аналог минимизации мыльных поверхностей, несущих плотность энергии на единицу площади.
Я ничего не знаю о мыльных поверхностях. Было бы полезно, если бы вы прислали мне что-нибудь, чтобы объяснить, что вы имеете в виду.
Я полагаю, причина, по которой мы различаемся только р происходит из-за простоты ... если мы изменим что-то вроде, скажем, тензора Риччи, тогда будут задействованы дополнительные члены Кристоффеля. В принципе можно, просто нецелесообразно.
@marek несколько пользователей этого сайта (включая меня) были бы рады ответить на ваши вопросы, но сначала они должны знать, что вы имеете в виду. Много раз упоминалось, что − г ⋅ р - плотность Лагранжа для общей теории относительности. Вы продолжаете настаивать на том, что это плотность гамильтониана. Почему вы так думаете?
Хорошо. Позвольте мне объяснить это. Эйнштейн в книге «Общая теория относительности» упомянул, что это плотность гамильтониана.
@marek, к сожалению, у меня нет с собой книги Эйнштейна. Но я почти уверен, что он имел в виду нечто иное, чем то, что вы предлагаете. Например, это может быть гамильтониан для уравнения геодезической в ​​некоторых координатах. Кстати, добавьте меня (как и я) в начало комментария, иначе я бы не получил уведомление.
Я нашел это уже в общей теории относительности П.А.М. Дирака. Там объясняется, почему это так. Я напишу это здесь позже сегодня.
@marek, пожалуйста, также взгляните на мой ответ. Я не хочу, чтобы мое время было потрачено впустую.
@Оглядываясь назад. Хорошо, я здесь новичок, поэтому иногда некоторые даже простые вещи требуют времени :)

Ответы (1)

Похоже, вы заблудились в теме. Чтобы уточнить некоторые факты:

  1. Действие общей теории относительности (действие Эйнштейна-Гильберта), как обычно, представляет собой интеграл плотности лагранжиана по пространству-времени:

    С [ г ] "=" 1 16 π г ∫ г 4 Икс − г ⋅ р ,
    где − г - квадратный корень из определителя метрического тензора и р — скалярная кривизна Риччи метрики. Почему это так? Потому что это постулат. Вы не можете вывести это действие из какого-либо фундаментального принципа (например, из принципа эквивалентности). Также могут существовать различные действия. Но действие Эйнштейна-Гильберта — самое простое в своем роде, и поэтому оно порождает простейшую геометрическую теорию гравитации: общую теорию относительности.

  2. Квадратный корень из определителя метрического тензора − г существует не просто так: он дает естественный объемный элемент римановой геометрии:

    г Объем "=" г 4 Икс − г
    является инвариантным элементом пространства-времени с четырьмя объемами. Квадратный корень обеспечивает инвариантность действия Эйнштейна-Гильберта относительно диффеоморфизмов (общие преобразования координат, ОКТ) и, следовательно, математическое выражение общего принципа относительности.

  3. Вы нашли эту личность

    р мю ν "=" 8 π г с 4 ( Т мю ν − 1 2 Т г мю ν )
    и в настоящее время не уверены, как это возникает в теории. На самом деле это не тождество , а динамическое уравнение движения, полностью эквивалентное уравнениям Эйнштейна. На самом деле одно из другого можно легко вывести. Начнем с уравнений Эйнштейна:
    р мю ν − 1 2 р г мю ν "=" 8 π г с 4 Т мю ν
    Возьмем след этого уравнения (сократим его контравариантной метрикой):
    р − 1 2 р н "=" 8 π г с 4 Т мю ν г мю ν
    ( 1 − 1 2 н ) р "=" 8 π г с 4 Т
    где н размерность пространства-времени ( н "=" 4 ). Теперь я подставляю выражение для р в исходном уравнении:
    р мю ν − 8 π г с 4 ⋅ Т г мю ν ( 2 − н ) "=" 8 π г с 4 Т мю ν
    р мю ν "=" 8 π г с 4 ( Т мю ν − 1 н − 2 Т г мю ν )
    Для н "=" 4 это сводится к
    р мю ν "=" 8 π г с 4 ( Т мю ν − 1 2 Т г мю ν )
    что означает, что ваше уравнение полностью эквивалентно уравнению Эйнштейна.

  4. Есть способ построить гамильтонов формализм общей теории относительности. Взгляните на формализм ADM . Однако я предполагаю, что вам это не нужно, и когда вы говорили о Гамильтоне, вы имели в виду принцип Гамильтона, который является просто причудливым названием принципа наименьшего действия. Принцип наименьшего действия лежит в основе лагранжевого формализма.

@ Задним числом. Мне гораздо понятнее. Я ничего не знал о формализме ADM. Я предположил, что тензор энергии-импульса входит в само это R и естественным образом занимает свое место в правой части уравнений. Но похоже, что он добавлен туда для перебалансировки тензора Риччи слева. Тогда можно сказать, что тензор Риччи гамильтонов, потому что он равен тензору энергии-импульса.
@marek Я ничего не понял из того, что вы написали об отношении тензора Риччи к гамильтониану :) Но я рад, что вам становится все понятнее.
@marek об этом отношении: теоретическая физика - точная наука, и поэтому мы должны стремиться к точным математическим утверждениям. В контексте общей теории относительности у нас есть два разных типа вещей: материя (которая характеризуется тензором энергии-импульса) и гравитация (которая по определению является искривлением пространства-времени и характеризуется тензором Римана и его сокращениями). Уравнения Эйнштейна (и лагранжиан Эйнштейна-Гильберта, который используется для их получения) являются уравнениями движения для гравитации.
@marek Уравнения движения материи также существуют, и их форма зависит от типа материи, которую вы рассматриваете. Самый простой случай — это пробная точечная частица с незначительной массой. Уравнения движения такой частицы — это известное уравнение геодезических. Вы также можете поместить некоторые поля (скаляры/электромагнетизм/спиноры) в пространство-время и получить для них уравнения движения. Но это всегда будет зависеть от геометрических свойств пространства-времени (например, от аффинной связи).
@marek и уравнения движения для гравитации (уравнения Эйнштейна) также зависят от свойств, связанных с конкретной моделью материи. Но в этом случае все эти свойства можно обобщить в тензоре энергии-импульса, который дает полную информацию о том, как ваша материя взаимодействует с гравитацией. Именно это имеют в виду релятивисты, когда говорят, что материя движется в пространстве-времени, а кривизна пространства-времени задается содержанием материи.
@marek В заключение, я думаю, вы, возможно, путаете два типа уравнений движения, что может привести вас к мысли, что тензор энергии-импульса в первую очередь имеет какое-то отношение к геометрии.
Тензор Риччи как релятивистский гамильтониан
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v