Почему гамильтониан равен нулю в теории относительности?

1. Правильный аргумент в пользу того, как репараметризационная инвариантность влечет за собой исчезновение гамильтониана, выглядит следующим образом: для общего гамильтонова действия $$S = \int \left(\dot{q}^i p_i - u^\alpha \chi_\alpha - H\right)\mathrm{d}t,$$ куда$q,p$- переменные канонического фазового пространства,$\chi_\alpha$являются гамильтоновыми ограничениями с множителями Лагранжа$u^\alpha$и$H(q,p)$является фактическим гамильтонианом в нерасширенном фазовом пространстве, действие, инвариантное к репараметризации во времени, заставляет гамильтониан быть равным нулю, только если$q,p$преобразовать как скаляры при временной репараметризации$t\mapsto \tau(t)$(с того времени$\dot{q}^i p_i \mapsto \frac{\mathrm{d}\tau}{\mathrm{d}t} q'^i p_i$(премьер$'$обозначает производную по$\tau$)) и если условия ограничения$u^\alpha\chi_\alpha$также преобразуются как скалярные плотности$u^\alpha \chi_\alpha \mapsto \frac{\mathrm{d}\tau}{\mathrm{d}t} u^\alpha \chi_\alpha$. При этих предположениях$H=0$следует, потому что если$q,p$являются скалярами, то так$H(q,p)$, и$H(q,p)$поэтому не может преобразовываться как скалярная плотность, чтобы сохранить инвариантность действия, и должна быть равна нулю.

Обратите внимание, что производная в$\mathrm{d}t = \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau}\mathrm{d}\tau$(который называется$\theta$в вопросе) не является динамической переменной с точки зрения исходной системы. Ваше уравнение Эйлера-Лагранжа не существует, потому что это не функция/координата в фазовом пространстве.

Отметим также, что если$s_1 \neq t_1$и$s_2\neq t_2$, преобразование$t\mapsto s$вы выполняете не то, что обычно называют временной репараметризацией в контексте, где мы говорим о репараметризационной инвариантности и исчезающих гамильтонианах. Обычно предполагается, что начало и конец параметра остаются фиксированными.

2. Ваша новая система$\bar{L}$не эквивалентна исходной: однако вы можете определить новую лагранжеву систему$\bar L(q,q',\theta,{\theta}') := L(q,q'/\theta)\theta$, с дополнительной переменной$\theta$, если вы так желаете. Давайте немного рассмотрим эту новую систему:

   Уравнения движения для$q$находятся

   $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\left(\frac{\partial\bar{L}}{\partial q'}\right) - \frac{\partial\bar{L}}{\partial q} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\left(\frac{\partial(L\theta)}{\partial q'}\right) - \frac{\partial(L\theta)}{\partial q} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\left(\frac{\partial{L}}{\partial q'}\right)\theta + \frac{\partial L}{\partial q'}\theta' - \frac{\partial{L}}{\partial q}\theta = 0\tag{a}$$ и уравнение движения для$\theta$является $$\frac{\partial \bar{L}}{\partial \theta} = \frac{\partial L}{\partial \theta} \theta + L = 0.\tag{b}$$ Здесь, что принципиально,$L$следует читать как$L(q,q'/\theta)$появляется как в$\bar{L}$, так что у нас есть $$\frac{\partial L}{\partial q'} = \frac{1}{\theta} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\quad\text{and}\quad \frac{\partial L}{\partial \theta} = \frac{\partial (q'/\theta)}{\partial \theta}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = -\frac{q'}{\theta^2}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \tag{c}$$ с точки зрения$\partial L /\partial \dot{q}$который появляется в исходных уравнениях EL. Примечательно, что ур. (b) действительно подразумевает, что$\dot{q}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} - L = 0$ но только при условии, что$q'/\theta = \dot{q}$. Однако в тот момент, когда мы продвигали$\theta$к динамической переменной, мы потеряли это отношение - объект$\dot{q}$больше не существует в этом новом мире,$\partial L/\partial \dot{q}$является функцией$q,q'$и$\theta$, ни один из$q$и$\dot{q}$. С точки зрения новой системы его следует читать просто как$\frac{\partial L}{\partial(q'/\theta)}$.

   Давайте теперь подключим экв. (c) в ур. (а):

   $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\left(\frac{1}{\theta} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)\theta + \frac{1}{\theta} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\theta' - \frac{\partial{L}}{\partial q}\theta = -\frac{\theta'}{\theta}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\left(\frac{\partial{L}}{\partial \dot{q}}\right) + \frac{\theta'}{\theta}\frac{\partial{L}}{\partial \dot{q}}- \frac{\partial{L}}{\partial q}\theta = 0$$ $$\implies \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\left(\frac{\partial{L}}{\partial \dot{q}}\right) - \frac{\partial{L}}{\partial q}\theta = \frac{1}{\theta}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\left(\frac{\partial{L}}{\partial \dot{q}}\right) - \frac{\partial{L}}{\partial q} = 0\tag{d}$$ Если две лагранжевы системы$L(q,\dot{q})$и$\bar{L}(q,q',\theta,\theta')$были эквивалентны, уравнения движения$\bar{L}$следует свести к уравнениям движения$L$при использовании уравнения движения для$\theta$. Но ур. (b) не делает этого возможным - вставляя его в уравнение. г) не поддается упрощениям, с помощью которых мы получили бы исходные уравнения движения. Отношение, которое нам действительно нужно, будет, опять же,$q'/\theta = \dot{q}$.

3. Вот лагранжев аргумент в пользу того, как репараметризационная инвариантность подразумевает исчезновение гамильтониана: если исходное действие было инвариантным к репараметризации во времени, мы имеем это при инфитезимальной репараметризации$\delta t = \theta(t)$с индуцированными изменениями

   $$\delta q = \dot{q}\theta \quad \delta \dot{q} = \dot{\delta q} = \ddot{q}\theta + \dot{q}\dot{\theta} \quad \theta(t_1) = \theta(t_2) = 0$$ изменение, индуцированное в лагранжиане, равно нулю, т.е. $$\delta L = \frac{\partial L}{\partial q}\delta q + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\delta \dot{q} = 0.$$ Но из-за «уловки» вывода нётеровского тока, обсуждавшейся, например, в этом вопросе , мы также знаем, что $$\delta S = \int j \frac{\partial \epsilon}{\partial t},$$ куда$j$- ток Нётер, связанный с симметрией с постоянной$\epsilon$, что является просто переносом времени и действительно симметрией, потому что мы неявно предположили, что лагранжиан явно не зависит от времени. Следовательно,$j$является гамильтонианом, и репараметризационная инвариантность, очевидно, вынуждает$j=0$.