Принципиальный подход к получению геодезического гамильтониана H=gμνpμpνH=gμνpμpνH = g^{\mu \nu} p_\mu p_\nu?

Question

Принципиальный подход к получению геодезического гамильтониана H=gμνpμpνH=gμνpμpνH = g^{\mu \nu} p_\mu p_\nu?

пользователь1379857

Фон:

Если у нас есть пространственно-временной путь $x^\mu(t)$ параметризованный произвольным параметром $t$ , собственное время на пути между $t_1$ и $t_2$ является

\int_{т_{1}}^{т_{2}} (г_{мю ν} {\dot{Икс}}^{мю} {\dot{Икс}}^{ν})^{1 / 2} д т .

$\int_{t_1}^{t_2} (g_{\mu \nu} \dot x^\mu \dot x^\nu)^{1/2}dt.$ Это действие имеет симметрию репараметризации. Если принять лагранжиан за

л "=" (г_{мю ν} {\dot{Икс}}^{мю} {\dot{Икс}}^{ν})^{1 / 2}

$L = (g_{\mu \nu} \dot x^\mu \dot x^\nu)^{1/2}$ тогда уравнение Эйлера Лагранжа оказывается (после умножения на обратную метрику)

{\ddot{Икс}}^{мю} "=" - Г_{β γ}^{мю} {\dot{Икс}}^{β} {\dot{Икс}}^{γ} + {\dot{Икс}}^{мю} \frac{д}{д т} п (л) .

$\ddot x^\mu = - \Gamma^\mu_{\; \beta \gamma} \dot x^\beta \dot x^\gamma + \dot x^\mu \frac{d}{dt} \ln(L).$ Если мы используем аффинный параметр

t

$t$ такой, что

L

$L$ постоянна вдоль пути, то это просто регулярное геодезическое уравнение.

Мы видим, что репараметризационная (калибровочная) симметрия — это огромная боль. Например, кажется, что гамильтониан $0$ .

\begin{aligned} ЧАС & "=" (\frac{\partial л}{\partial {\dot{Икс}}^{мю}}) {\dot{Икс}}^{мю} - л \\ "=" 2 \frac{1}{2} \frac{г_{мю ν} {\dot{Икс}}^{ν}}{(г_{α β} {\dot{Икс}}^{α} {\dot{Икс}}^{β})^{1 / 2}} {\dot{Икс}}^{мю} - (г_{мю ν} {\dot{Икс}}^{мю} {\dot{Икс}}^{ν})^{1 / 2} \\ "=" 0. \end{aligned}

$\begin{align*} H &= \Big( \frac{\partial L}{\partial\dot x^\mu} \Big)\dot x^\mu - L \\ &= 2\frac{1}{2}\frac{g_{\mu \nu} \dot x^\nu}{(g_{\alpha \beta} \dot x^\alpha \dot x^\beta )^{1/2}} \dot x^\mu - (g_{\mu \nu} \dot x^\mu \dot x^\nu)^{1/2} \\ & = 0. \end{align*}$ По-видимому, это связано с симметрией репараметризации, поскольку

H

$H$ должны генерировать временные переводы. Однако если эволюция во времени не детерминистична, то нечего делать.

H

$H$ разумно быть.

Поэтому нам хотелось бы найти менее «патологический» лагранжиан и гамильтониан с теми же уравнениями движения, но в автоматически аффинно параметризуемой форме. Ответ - взять

л "=" \frac{1}{2} г_{мю ν} {\dot{Икс}}^{мю} {\dot{Икс}}^{ν} ⟹ ЧАС "=" \frac{1}{2} г^{мю ν} п_{мю} п_{ν} .

$L = \frac{1}{2} g_{\mu \nu} \dot x^\mu \dot x^\nu \implies H = \frac{1}{2} g^{\mu \nu} p_{\mu} p_{\nu}.$ Обратите внимание, что

L_{n e w} = \frac{1}{2} L_{o l d}^{2}

$L_{\rm new} = \tfrac{1}{2}L_{\rm old}^2$ . Уравнения Эйлера-Лагранжа действительно являются аффинно параметризованными геодезическими уравнениями. То же самое относится и к уравнениям Гамильтона

{\dot{Икс}}^{мю} "=" \frac{\partial ЧАС}{\partial п_{мю}}, {\dot{п}}_{мю} "=" - \frac{\partial ЧАС}{\partial {Икс}^{мю}} ⟹ {\ddot{Икс}}^{мю} "=" - Г_{β γ}^{мю} {\dot{Икс}}^{β} {\dot{Икс}}^{γ} .

$\dot x^\mu = \frac{\partial H}{\partial p_{\mu}} , \hspace{1 cm} \dot p_{\mu} = - \frac{\partial H}{\partial x^{\mu}} \implies \ddot x^\mu = - \Gamma^\mu_{\; \beta \gamma} \dot x^\beta \dot x^\gamma.$

Вопрос:

Кажется полным совпадением, что возведение лагранжиана в квадрат дает нам своего рода «фиксированную калибровкой» версию нашего исходного лагранжиана. Есть ли принципиальный, философский подход, который мы можем использовать, чтобы перейти от $L_{\rm old}$ к $L_{\rm new}$ , а не просто видеть, что уравнения движения дают нам то, что мы хотим? Является ли это частным случаем более общей процедуры?

октонион

Вы знаете о такой же разнице между действиями Намбу-Гото и действиями Полякова?

пользователь1379857

Да, и это одна из причин, по которой меня интересует ответ. Тем не менее, даже эта процедура, как я ее видел, немного «специальна».

октонион

Что ж, минимизация собственного времени — это то же самое, что и квадрат собственного времени. Но действие в квадрате собственного времени — это просто обычный лагранжиан для свободной частицы (кинетический член), обобщенный на искривленный фон. Вы также можете думать об этом как о нелинейной сигма-модели, если хотите.

пользователь1379857

Итак, интеграл квадрата (собственного времени) отличается от (интеграла собственного времени)^2

октонион

Да, квантовая теория, построенная на этих двух вещах, отличается, но седловая точка одна и та же.

Ответы (1)

Принципиальный подход к получению геодезического гамильтониана H=gμνpμpνH=gμνpμpνH = g^{\mu \nu} p_\mu p_\nu?

Вы знаете о такой же разнице между действиями Намбу-Гото и действиями Полякова?
Да, и это одна из причин, по которой меня интересует ответ. Тем не менее, даже эта процедура, как я ее видел, немного «специальна».
Что ж, минимизация собственного времени — это то же самое, что и квадрат собственного времени. Но действие в квадрате собственного времени — это просто обычный лагранжиан для свободной частицы (кинетический член), обобщенный на искривленный фон. Вы также можете думать об этом как о нелинейной сигма-модели, если хотите.
Итак, интеграл квадрата (собственного времени) отличается от (интеграла собственного времени)^2
Да, квантовая теория, построенная на этих двух вещах, отличается, но седловая точка одна и та же.

Qмеханик · Answer 1

Физики обычно нормируют лагранжиан квадратного корня несколько иначе, а именно как $^1$
$\begin{matrix} (1) & л_{0} "=" - м \sqrt{- {\dot{Икс}}^{2}}, {\dot{Икс}}^{2} "=" г_{мю ν} (Икс) {\dot{Икс}}^{мю} {\dot{Икс}}^{ν} < 0, \end{matrix}$ $L_0~:=~ -m\sqrt{-\dot{x}^2}, \qquad \dot{x}^2~:=~g_{\mu\nu}(x)~ \dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}~<~0,\tag{1}$ где $m>0$ это масса. (OP предполагает, что $m=1$ .)
Важно отметить, что преобразование Лежандра лагранжиана квадратного корня (1) является сингулярным: импульс должен удовлетворять ограничению массовой оболочки
$\begin{matrix} (2) & п^{2} + м^{2} \approx 0, п^{2} "=" г^{мю ν} (Икс) п_{мю} п_{ν} . \end{matrix}$ $p^2+m^2~\approx~0 , \qquad p^2~:=~g^{\mu\nu}(x)~ p_{\mu}p_{\nu}.\tag{2}$ Поэтому, хотя OP верно утверждает, что исходный гамильтониан равен нулю из-за репараметризационной инвариантности мировой линии (WL), полный гамильтониан $\begin{matrix} (3) & ЧАС "=" \frac{е}{2} (п^{2} + м^{2}) \end{matrix}$ $H~=~ \frac{e}{2}(p^2+m^2)\tag{3}$ становится множителем Лагранжа $e$ умножить на ограничение массы оболочки (2).
Обратное преобразование Лежандра гамильтониана (3) приводит к лагранжиану
$\begin{matrix} (4) & л "=" \frac{{\dot{Икс}}^{2}}{2 е} - \frac{е м^{2}}{2} . \end{matrix}$ $L~=~\frac{\dot{x}^2}{2e}-\frac{e m^2}{2}.\tag{4}$ Если мы интегрируем $e$ поля лагранжиан (4) становится корневым лагранжианом (1), ср. например, этот связанный пост Phys.SE.
Главное теперь состоит в том, что квадратичный гамильтониан и лагранжиан OP являются $e=1$ калибровка гамильтониана (3) и лагранжиана (4) соответственно с точностью до несущественных постоянных членов. В этом смысле они систематически следуют из алгоритма Дирака-Бергмана для систем с ограничениями.
Для получения дополнительной информации см., например, этот пост на Phys.SE.

--

$^1$ Мы используем соглашение о знаках $(-,+,+,+)$ , и положить скорость света $c=1$ .

Но если мы хотим исправить ограничение $(p^2 + m^2) = 0$ , не будет добавлять какую-либо функцию этого ограничения к лагранжиану, $ef(p^2 + m^2)$ , Покажи фокус? Почему бы не использовать $(p^2 + m^2)^{1/2}$ например? Нет ли чего-то особенного в лангранжиане в квадрате?
Обратите внимание, что ограничение массовой оболочки (2) уже автоматически выполняется в лагранжевом формализме, основанном на лагранжиане квадратного корня (1).

Принципиальный подход к получению геодезического гамильтониана H=gμνpμpνH=gμνpμpνH = g^{\mu \nu} p_\mu p_\nu?

пользователь1379857

октонион

пользователь1379857

октонион

пользователь1379857

октонион

Ответы (1)

Qмеханик

пользователь1379857

Qмеханик

Почему гамильтониан равен нулю в теории относительности?

Гамильтониан для безмассовой частицы - формальное определение энергии

Вариационный принцип для точечной частицы (массивной или безмассовой) в искривленном пространстве

Нахождение геодезических: лагранжиан против гамильтониана

Что не так с моим аргументом в пользу вывода гамильтониана в теории относительности?

Канонический формализм в координатах светового конуса

Неголономные связи в теории Дирака-Бергмана

Построение лагранжиана из гамильтониана для майорановских фермионов

Символы Кристоффеля из уравнения геодезических для метрики с недиагональными элементами

Гамильтоновы системы без соответствующей лагранжевой системы