Инфинитезимальный генераторный поток преобразований Лоренца в пространстве-времени

Я немного с подозрением отношусь к 22 записи матрицы, которую вы записываете,

$$M=\begin{pmatrix} \frac{4- \cos(\rho)}{3} & \frac{2- 2\cos(\rho)}{3} & 0 & -\frac{\sin(\rho)}{\sqrt{3}} \\ \frac{2\cos(\rho) - 2}{3} & \frac{4- \cos(\rho)}{3} & 0 & \frac{2\sin(\rho)}{\sqrt{3}}\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -\frac{\sin(\rho)}{\sqrt{3}} & -\frac{2\sin(\rho)}{\sqrt{3}} & 0 & \cos(\rho) \\ \end{pmatrix}$$ чей логарифм вам предлагается взять. Я подозреваю, что эта запись будет чем-то вроде $(4\cos \rho -1)/3$вместо этого --- см. ниже. Ваше время оказывается в 4-м компоненте, в отличие от первого в общепринятом обозначении .

В любом случае соблюдайте$M=\mathbb{1}$как$\rho\to 0$, поэтому, чтобы найти его логарифм, мы разлагаем по первым двум степеням ρ ,

$$M=\mathbb{1} -\frac{\rho}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & -2\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2& 0 & 0 \\ \end{pmatrix}+ \frac{\rho^2}{6} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ - 2 & 1& 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 &0 & 0 & -3 \\ \end{pmatrix} +Ο(\rho^3).$$

Назовем первую большую матрицу A , а вторую B. Примечание

$$A^2=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ - 2 & -4& 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 &0 & 0 & -3 \\ \end{pmatrix} .$$

Теперь, если бы 22 записи B были -4 вместо 1, у нас было бы$A^2=B$, и поэтому$A^3=-3A$,$A^4=-3A^2$, и т.д... так что (слава!) можете подтвердить

$$M=\mathbb{1} -\frac{\rho}{\sqrt{3}}A+ \frac{1}{2} \left(-\frac{\rho A}{\sqrt{3}}\right)^2 +...=e^{-\frac{\rho }{\sqrt{3}}A},$$ поскольку разложение экспоненты сводится к $$=\mathbb{1} -\sin\rho ~ \frac{A}{\sqrt{3}} +\frac{1-\cos\rho}{3} A^2 ,$$ по приведенным выше рекурсивным правилам.

Тогда вы действительно назвали бы этот логарифм$A/\sqrt{3}$экспоненты, с точностью до параметра - р , генератора группового элемента М . В вашем конкретном случае вы видите, что это линейная комбинация вращения пространства-времени (антисимметричные элементы) и напряжения, подобного ускорению (симметричные элементы).

Однако в нынешнем виде ваше B проблематично, поэтому я убежден, что оно неверно и вместо этого должно быть предложенным мной выражением.