Является ли принцип Ферма лишь приближением?

В ОТО не совсем понятно, что значит "наименьшее время", раз приходится спрашивать "о чьем времени идет речь"? Вы говорите о времени, измеряемом излучателем? Получатель? Кто-то еще «далеко» от них обоих? Все три эти величины могут быть разными.

Скорее продуктивнее сказать, что лучи света распространяются по нулевым геодезическим в пространстве-времени. Геодезическая - это путь, который «локально прямой»; это означает, что между точкой A и точкой B нет никаких «близких» путей, которые имеют значительно больший или меньший интегрированный пространственно-временной интервал. Таким образом, вы не ошибетесь, если скажете, что путь луча света «проходит наименьшее расстояние в пространстве-времени», если вы замените «проходит наименьшее расстояние» на «является стационарной точкой пространственно-временного интервала». Между этими двумя понятиями есть сходство, но последнее математически точнее.

Если вы знакомы с вариационным исчислением, вы можете бросить беглый взгляд на страницу Википедии, посвященную геодезии в общей теории относительности , особенно немного выше «кривые стационарного интервала». Более подробные конспекты лекций также можно найти здесь или во многих других местах, выполнив поиск calculus of variations geodesic spacetimeили какой-либо его вариант.

Это путь с наименьшим временем.

Сам принцип Ферма был построен на двух более ранних наблюдениях: с одной стороны, греки заметили, что при отражении свет распространяется по пути наименьшего расстояния; с другой стороны, Снелл открыл, а Декарт популяризировал, что при преломлении свет подчиняется «закону синусов», согласно которому отношение скорости света в двух средах равно отношению синусов углов, образуемых светом. с нормальным направлением интерфейса.

Теперь, если бы свет всегда шел по пути наименьшего расстояния, свет не искривлялся бы, когда он входил в другие среды, где его скорость была бы другой, например, в призмах или воде. Они совершенно эквивалентны, если мы не включаем это преломление. Ферма вывел то, что вы можете получить закон Снелла, предположив, что вместо того, чтобы идти по пути наименьшего расстояния, свет выбирает путь с наименьшим временем, который эквивалентен для целей путешествия по прямым линиям или отражениям, но отличается для преломлений.

Теперь, когда свет переходит из одной среды в другую, на границе должен сохраняться закон сохранения энергии, который$E=hf$означает, что входящие фотоны не могут изменить свою частоту, но должны полностью реагировать изменением своей длины волны. Вы также можете понять это чисто в контексте волны без каких-либо квантов: волна непрерывна по всей границе, что означает, что эти пики волновых фронтов должны быть согласованы по всей границе раздела, но это означает, что скорость пиков, входящих в новую среду должно быть точно таким же, как скорость пиков, выходящих из старого, что означает, что частота одинакова в обоих случаях. В глубоком смысле это говорит нам о том, что «время» — это то, на что мы хотим смотреть. Позвольте мне дать вам немного вкуса для этого.

Квантовая теория дает нам радикальное переосмысление принципа наименьшего времени, утверждая, что свет может идти всеми путями из одной точки в другую, но мы видим только те пути, которые наиболее важны для его конструктивного вмешательства. Итак, вы, возможно, знаете, что две волны могут конструктивно интерферировать,$\cos(2\pi~f~t) + \cos(2\pi~f~t) = 2\cos(2\pi~f~t),$или деструктивно,$\cos(2\pi~f~t) + \cos(2\pi~f~t +\pi) = 0,$или, возможно, с помощью некоторой комбинации этих двух. Идея здесь в том, что у нас есть сумма множества разных путей, каждый из которых требует некоторого времени.$T$чтобы добраться туда, поэтому окончательная интенсивность волны будет большой суммой членов, выглядящих как$\cos(2\pi~f~t + 2\pi~f~T)$.

Теперь мы идем по пути с некоторым временем$T$и куча дорожек рядом с ним, что происходит? Ну, обычно эти близлежащие пути будут иметь диапазон времени, некоторые длиннее, некоторые короче. Назовите разницу во времени$\delta T$. С$f$это очень большое число, на любом пути, превышающем микрометр или около того, будет наблюдаться разность фаз$f~\delta T > 1/2$и мы получим кучу конструктивных и деструктивных помех, которые, оказывается, все компенсируют друг друга в общей картине. Таким образом, мы получаем, что если свет идет по всем путям, свет вообще не может распространяться! Отлично, правда?

Ну да ладно, есть загвоздка . Загвоздка в том, что если вы посмотрите на любой путь локального экстремума — может быть самый длинный или самый короткий — то все ближайшие пути занимают примерно одинаковое время и$\delta T = 0.$Это как, если мы говорим о большом холмистом ландшафте с округлыми вершинами и долинами: если несколько человек стоят рядом друг с другом, то очень вероятно, что некоторые из них стоят выше или ниже других, потому что они Вероятно, вы находитесь на склоне, и тогда склон помещает одни из них выше или ниже других. Но есть пара мест, где этого не происходит: на самых вершинах холмов или в низах долин, где для того, чтобы быть «верхом» или «низом», на самом деле локально поверхность должна быть «плоской». Таким образом, все эти люди, стоящие рядом друг с другом в верхней или нижней части долины, должны быть на одной высоте. Это тот же самый аргумент, но «люди» — это «пути, по которым может идти свет», а «высота» — это «пути света».$2\pi~f~T.$

Мы также можем играть в эту игру с расстояниями, но снова нужно изменить длину волны, когда мы рассматриваем преломление, потому что длина волны не одинакова на разных границах раздела. Но поскольку частота есть, мы можем просто сохранить тот же принцип «минимального времени» и заставить его работать и для преломления, чего мы не можем сделать для минимального расстояния.

1. Ну а принцип Ферма обычно обсуждается в контексте неподвижной оптической системы, зафиксированной относительно лабораторной рамки. Время$t$то есть (локально) экстремально - это лабораторное время$t$, а не, например, правильное время$\tau$. (Последнее может не иметь особого смысла для безмассовых частиц!)

2. Следовательно, система имеет предпочтительную систему отсчета, а именно лабораторную систему отсчета. Поэтому менее интересно (но, безусловно, возможно и просто) перейти к другим инерциальным системам отсчета, применяя преобразования Лоренца к лабораторному времени.$t$.

3. Принцип Ферма, безусловно, является приближением к полной КЭД . См., например , этот и этот посты Phys.SE. Но это не приближение к СТО , если понять, что предельное время$t$лабораторное время.

4. Наконец, отметим, что принцип Ферма внешне похож на принцип стационарного действия для уравнения геодезических. См., например , этот и этот посты Phys.SE. Но дьявол кроется в деталях: в этом стационарном принципе действия самое подходящее время.$\tau$это экстремально (для массивных точечных частиц). О безмассовых точечных частицах см. этот и этот посты Phys.SE.

Два комментария. Первый касается терминологии. Пространство-время смешивает время и пространство; это 4-х мерное "измерение", в котором мы живем. Говоря о времени или пространственных расстояниях отдельно, мы должны договориться о системе отсчета (в крайнем случае, инерциальной, но, конечно, по мере того, как мы вращаемся вокруг Земли, Солнца и Млечного Кстати, наша система отсчета не инерциальна). В любом случае нужно быть осторожным, говоря о «времени» или «расстоянии» в пространстве-времени. И если вы не понимаете относительности (любой вариант, в зависимости от обсуждения), вам, вероятно, следует избегать использования любого термина. Другой комментарий касается наименьшего временного пути. Свет (в вакууме) распространяется со скоростью c. Ничто не может двигаться быстрее. Часто пространственно-временные диаграммы СР представляются в виде графиков с одним пространственным измерением (часто направление х, но иногда как проекцию всех трех пространственноподобных расстояний от начала координат) и время как вертикальное измерение. Единицы измерения почти всегда выбираются таким образом, чтобы свет шел под углом 45°. Итак, для любой точки A на этом графике, если я отмечу точку B так, что угол между A и B, измеренный параллелями к пространственной оси, скажем, будет МЕНЬШЕ 45°, а затем проведу путь между точками, тогда этот путь «космический», и гипотетическое путешествие по нему будет быстрее света. Эти пути запрещены. В вашем сценарии потребуется такой запрещенный путь. МЕНЬШЕ 45°, а затем нарисуйте путь между точками, тогда этот путь будет «пространственным», и гипотетическое движение по нему будет быстрее света. Эти пути запрещены. В вашем сценарии потребуется такой запрещенный путь. МЕНЬШЕ 45°, а затем нарисуйте путь между точками, тогда этот путь будет «пространственным», и гипотетическое движение по нему будет быстрее света. Эти пути запрещены. В вашем сценарии потребуется такой запрещенный путь.

Во-первых, в связи с оптикой принцип Ферма всегда является аппроксимацией: он определяет аппроксимацию, а именно первый член в ВКБ-аппроксимации решения либо квазивременно-гармонических уравнений Максвелла, либо, в более общей постановке, уравнения Гельмгольца. уравнение. Здесь масштабным параметром ВКБ является длина волны, которая считается малой по сравнению с особенностями рассматриваемой среды. Как прекрасно объяснено в ответе Ч.Р. Дроста , интуиция, стоящая за этим, заключается в том, что принцип Ферма определяет пути стационарной фазы , вокруг которых добавляются дифракционные эффекты, чтобы получить полное решение проблемы, и чрезвычайно широко применим без приближения, т.е.Принцип Ферма даст без приближения первый член соответствующего ВКБ-разложения во всех обсуждаемых ниже ситуациях. К ним относятся все специальные релятивистские (плоское пространство-время) задачи, а также статические общие релятивистские задачи.

Экстремальная величина, или оптический лагранжиан, представляет собой длину оптического пути , выраженную как разность фаз между концами пути луча, например, в волнах или радианах. Внимательное чтение и обдумывание ответа Ч. Р. Дроста ясно показывает этот факт. Так что, вероятно, не полезно думать об этом как о принципе наименьшего времени, поскольку, как в ответе Майкла Зиферта, это может быть проблематично в теории относительности. Напротив, фазовое поле стационарного оптического возбуждения в среде является скалярным полем , т . е . преобразуется как таковое.

В специальной теории относительности можно увидеть, как этот принцип проявляется в двух разных относительно усиленных инерциальных системах отсчета, если посмотреть на рассматриваемое стационарное оптическое поле в двух разных системах отсчета в тот момент, когда истоки их систем координат совпадают. инцид. Положим одну из систем отсчета в состояние покоя относительно материальных сред, в которых установлено поле. В этой системе отсчета принцип Ферма играет обычным образом.

Относительно движущийся наблюдатель видит среду в координатах, преобразованных Лоренцем. Уравнения Максвелла по-прежнему ковариантны по Лоренцу с присутствующей средой, но свойства среды и определяющие соотношения радикально меняются. Интуитивно вы можете видеть, что это так; сокращение Лоренца-Фицджеральда изменяет оптическую плотность среды анизотропно. В самом деле, если у нас есть простая анизотропная среда в системе покоя с электрическими и магнитными постоянными$p_e$а также$p_m$(В такого рода расчетах избегают эпсилонов и мус, чтобы избежать путаницы с греческими индексами тензоров), относительно движущийся наблюдатель видит анизотропную магнитоэлектрическую постоянную , такую ​​​​что:

где, естественно,$\vec{v}$- относительная скорость.

Результатом всего этого является то, что оба наблюдателя вычисляют одно и то же скалярное фазовое поле из своей версии уравнений Максвелла, и поэтому путь луча является экстремальным оптическим путем длины пути в одном кадре тогда и только тогда, когда он является экстремальным путем в другом. Итак, мы видим, что принцип Ферма дает нам одни и те же лучи в обоих случаях.

Причуда здесь заключается в том, что в анизотропной среде, как ее видит относительно движущийся наблюдатель, закон Снеллиуса не применяется к лучам на границе раздела, хотя он применим к волновым векторам. Фазовые фронты не обязательно перпендикулярны векторам Пойнтинга. Это та же ситуация, что и в анизотропном кристалле. Но принцип Ферма остается в силе.

В общей теории относительности мы должны быть немного осторожны. Оптический принцип Ферма применяет неизменные во времени среды. Следовательно, его нельзя применить (по крайней мере, я не знаю о каком-либо расширении) к нестатическому пространству-времени — или, по крайней мере, к пространству без времяподобного поля Киллинга — с материальными средами или без них. Это связано с тем, что, во-первых, принцип Ферма применяется к гармоническим во времени электромагнитным полям, где импульсы и тому подобное описываются суперпозициями Фурье гармонических во времени решений;

Но для статического искривленного пространства-времени ситуация аналогична специальной релятивистской. Разные наблюдатели видят материальные свойства среды и конститутивные свойства по-разному, но так, чтобы все они согласовывались со скалярным фазовым полем для данного стационарного оптического возбуждения среды, и все они вычисляли бы одни и те же пути лучей по принципу Ферма.

На самом деле пустое искривленное пространство-время без среды имеет определяющие соотношения (основные уравнения Плебански, см. J. Plebanski Phys. Rev. 118 (1960), p1396:

где мы просуммировали по пространственным индексам$1,\,2,\,3$только (обратите внимание на римские, а не на греческие индексы) и$\varepsilon$это трехмерный пространственный символ Леви-Чивиты. Это наблюдение является отправной точкой для области трансформационной оптики : использование метаматериальных сред для имитации распространения в пространственно искривленной части статического искривленного пространства-времени. Эти идеи открывают большие перспективы для реализации оптических маскирующих устройств, например: материальных сред, электрические, магнитные и магнитооптические постоянные которых соответствуют описанному выше распространяющемуся свету, как, конечно, пустому искривленному пространству, без рассеяния. Свет может огибаться такими средами вокруг объектов, не рассеиваясь, и нетрудно увидеть, что объект, который нужно скрыть, может быть скрыт внутри областей, недоступных для наблюдателя. См., например:

Ульф Леонхардт и Томас Г. Филбин, «Трансформационная оптика и геометрия света», Prog. Опц. 53 , стр 69-152 (2009 г.