Лагранжиан для релятивистской безмассовой точечной частицы

Question

Лагранжиан для релятивистской безмассовой точечной частицы

действие
Физика
геодезические
специальная теория относительности
лагранжев формализм
вариационный принцип

346699

Для релятивистской массивной частицы действие равно

\begin{aligned} С знак равно & - м_{0} \int д с \\ знак равно & - м_{0} \int д λ \sqrt{{грамм}_{мю ν} {\dot{Икс}}^{мю} {\dot{Икс}}^{ν}} \\ знак равно & \int д λ л, \end{aligned}

$\begin{align}S ~=~& -m_0 \int ds \cr ~=~& -m_0 \int d\lambda ~\sqrt{ g_{\mu\nu} \dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}} \cr ~=~& \int d\lambda \ L,\end{align}$ куда

d s

$ds$ – собственное время частицы;

λ

$\lambda$ – параметр траектории; и мы использовали подпись Минковского

(+, -, -, -)

$(+,-,-,-)$ . Так что же такое действие для безмассовой частицы?

Джим

Безмассовая частица обязательно релятивистская; он движется со скоростью света. Таким образом, это нулевой луч, и вы не можете сказать, что

d s = d τ

$ds=d\tau$ . Вы также не можете говорить о собственном времени безмассовой частицы. Все, что вы можете сделать, это переработать лагранжиан вашей классической теории до тех пор, пока в нем не будет кинетического члена для поля и не будет массового члена, а затем назвать это поле безмассовой частицей, и это будет его лагранжиан.

Ответы (4)

Лагранжиан для релятивистской безмассовой точечной частицы

Безмассовая частица обязательно релятивистская; он движется со скоростью света. Таким образом, это нулевой луч, и вы не можете сказать, что $ds=d\tau$ . Вы также не можете говорить о собственном времени безмассовой частицы. Все, что вы можете сделать, это переработать лагранжиан вашей классической теории до тех пор, пока в нем не будет кинетического члена для поля и не будет массового члена, а затем назвать это поле безмассовой частицей, и это будет его лагранжиан.

Qмеханик · Answer 1

Действие квадратного корня OP не дифференцируется вдоль нулевого/светоподобного направления, что делает его плохо подходящим для безмассовой частицы. Значит, нам нужно придумать что-то еще. Одно уравнение движения скалярной безмассовой релятивистской точечной частицы на лоренцевом многообразии $(M,g)$ заключается в том, что его тангенс должен быть нулевым/светоподобным
$\begin{matrix} (А) & {\dot{Икс}}^{2} знак равно {грамм}_{мю ν} (Икс) {\dot{Икс}}^{мю} {\dot{Икс}}^{ν} \approx 0, \end{matrix}$ $\dot{x}^2~:=~g_{\mu\nu}(x)~ \dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}~\approx ~0, \tag{A}$ где точка обозначает дифференцирование относительно. параметр мировой линии (WL) $\tau$ (что не вовремя). [Здесь $\approx$ символ означает равенство по модулю EOM.] Это предполагает, что возможное действие $\begin{matrix} (Б) & С [Икс, λ] знак равно \int д т л, л знак равно λ {\dot{Икс}}^{2}, \end{matrix}$ $S[x,\lambda ]~=~\int\! d\tau ~L, \qquad L~=~\lambda ~\dot{x}^2, \tag{B}$ куда $\lambda(\tau)$ является множителем Лагранжа . Этот ответ (B) может показаться просто дешевой уловкой. Однако обратите внимание, что с помощью аналогичных методов можно дать общий принцип действия, который работает как для безмассовых, так и для массивных точечных частиц унифицированным образом, ср. например, ссылка 1 и ур. (3) в моем ответе Phys.SE здесь .
Что еще более важно, соответствующие уравнения Эйлера-Лагранжа (EL) для действия (B) являются нулевым/светоподобным условием
$\begin{matrix} (С) & 0 \approx \frac{дельта С}{дельта λ} знак равно {\dot{Икс}}^{2}, \end{matrix}$ $0~\approx ~\frac{\delta S}{\delta\lambda}~=~\dot{x}^2, \tag{C}$ и геодезические уравнения $\begin{matrix} (Д) & 0 \approx - \frac{1}{2} {грамм}^{о мю} \frac{дельта С}{дельта {Икс}^{мю}} знак равно \frac{д (λ {\dot{Икс}}^{о})}{д т} + λ Г_{мю ν}^{о} {\dot{Икс}}^{мю} {\dot{Икс}}^{ν}, \end{matrix}$ $0~\approx ~-\frac{1}{2}g^{\sigma\mu}\frac{\delta S}{\delta x^{\mu}} ~=~\frac{d(\lambda\dot{x}^{\sigma})}{d\tau} +\lambda\Gamma^{\sigma}_{\mu\nu}\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu},\tag{D}$ как они должны быть.
Действие (B) инвариантно относительно репараметризации WL
$\begin{matrix} (Е) & \begin{aligned} т^{'} знак равно & ф (т), д т^{'} знак равно д т \frac{д ф}{д т}, \\ {\dot{Икс}}^{мю} знак равно & {\dot{Икс}}^{' мю} \frac{д ф}{д т}, λ^{'} знак равно λ \frac{д ф}{д т} . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} \tau^{\prime}~=~&f(\tau), \qquad d\tau^{\prime} ~=~ d\tau\frac{df}{d\tau},\cr \dot{x}^{\mu}~=~&\dot{x}^{\prime\mu}\frac{df}{d\tau},\qquad \lambda^{\prime}~=~\lambda\frac{df}{d\tau}.\end{align}\tag{E}$ Поэтому мы можем выбрать калибр $\lambda=1$ . Затем ур. (D) сводится к более знакомым аффинно параметризованным геодезическим уравнениям .

Использованная литература:

Дж. Полчински, Теория струн, том. 1, 1998; экв. (1.2.5).

Комментарий на потом: Интересно, что канонический 4-импульс $p_{\mu}:=\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^{\mu}}= 2\lambda g_{\mu\nu}\dot{x}^{\nu}$ пропорциональна неопределенному множителю Лагранжа $\lambda$ . Передача импульса внешней среде может быть способом исправить $\lambda$ .

Майк Стоун · Answer 2

Концептуально возможно иметь безмассовую заряженную частицу, хотя мы не знаем ни одной. Неправда, что сила Лоренца должна быть равна массе, умноженной на ускорение. Импульс безмассовой частицы не зависит от ее скорости, поскольку все безмассовые частицы движутся со скоростью света. Импульс $p$ вместо этого равно $E/c$ , энергия, деленная на скорость света.

Флинт72 · Answer 3

Для безмассовой частицы у нас не может быть системы центра масс.

К сожалению, я пока не могу добавлять комментарии. Вы изучаете классическую теорию поля (CFT) или квантовую теорию поля (QFT)? Я предполагаю, что это CFT, поскольку это похоже на строку из нескольких лекций в курс CFT, когда вы начинаете находить уравнения движения.

В этом случае для (безмассового) фотона $A_{\mu}(x)$ скажем, мы используем лагранжиан Максвелла, который является лоренц-инвариантным и задается (в единицах Хевисайда-Лоренца) выражением

л_{М а Икс} знак равно - \frac{1}{4} \int д^{4} Икс Ф_{мю ν} Ф^{мю ν}

$\mathcal{L_{Max}} =-\frac{1}{4} \int d^4x \mathcal{F_{\mu \nu}} \mathcal{F^{\mu \nu}}$ куда

Ф_{мю ν} знак равно \partial_{мю} А_{ν} (Икс) - \partial_{ν} А_{мю} (Икс)

$\mathcal{F_{\mu \nu}} = \partial_{\mu}A_{\nu}(x) - \partial_{\nu}A_{\mu}(x)$

Я знаю, что это лагранжиан поля, который квантуется на частицы. Но я хочу описать лагранжиан «классической» релятивистской частицы.
То, что я написал здесь, действительно является лагранжианом для классического релятивистского поля, $A_{\mu}(x)$ . Я не совсем понимаю, что вы подразумеваете под «полем, квантованным на частицы»?
Согласен, это пример лагранжиана для безмассовой частицы
Джим, Флинт72, вы оба упускаете суть вопроса пользователя 34669. Речь идет не о записи лагранжевой плотности для поля, а для частицы в классическом понимании этого слова. Тот факт, что люди решили использовать слова фотон и безмассовая частица в связи с векторным потенциалом, здесь не имеет значения.
@JánLalinský Вопрос явно касается безмассовых релятивистских частиц. Все известные безмассовые релятивистские частицы представлены в виде полей в соответствующих им лагранжианах. Если мы упустили суть, скажите, пожалуйста, каково классическое значение слова «частица». Из того, что я знаю, нет большого различия между лагранжевой плотностью, включающей кинетические, взаимодействующие и/или массивные члены поля, и классической идеей частицы. Лагранжиану, возможно, придется описывать несколько взаимодействующих полей и состояний, но все частицы могут быть разбиты на это на каком-то уровне.
«Все известные безмассовые релятивистские частицы представлены в виде полей в соответствующих лагранжианах». Что имеет смысл только в квантовой обстановке. ОП спрашивает в классической обстановке...
В классической теории поля вы включаете в качестве поля безмассовые частицы, а именно те, которые я привел выше для электромагнитного потенциала/фотона. Это не квантованная система. Поля не являются операторами, действующими на гильбертовом пространстве состояний. В том, что я написал выше, нет ничего квантового. Все это релятивистское и классическое, как того требует автор вопроса.
Flint72, Вам нужно указать @AlexNelson, если вы хотите, чтобы человек был уведомлен о сообщении
@ Джим А, извини, я только привыкаю к этому сайту. Спасибо. Я отредактирую это. Ах, черт, кажется, это не только не позволяет мне редактировать мой предыдущий комментарий, но также не позволяет мне «на» более чем одного человека! Ну что ж, спасибо за внимание к Алексу Нельсону!
@ Flint72, проблема с такими рассуждениями в том, что для их поддержки требуется QFT. ОП спрашивал о нулевой геодезической . Вы произвели секцию пучка . Очевидно, что они неэквивалентны как математически, так и физически (поскольку нулевые геодезические имеют вращение 0, тогда как ваше поле имеет вращение 1). Если бы кто-то попытался представить частицу как поле, ее действие было бы $I=\int\delta(x-z(\lambda))\sqrt{g_{\mu\nu}\dot{z}^{\mu}\dot{z}^{\nu}}\,\mathrm{d}^{4}x\,\mathrm{d}\lambda$ где точки обозначают $\lambda$ производные, а мы «фиксируем» $z$ при рассмотрении вариаций.
... и тогда мы получаем именно то решение, которое опубликовал @Qmechanic.

Ян Лалински · Answer 4

Частица с нулевой массой должна иметь также нулевой электрический заряд, иначе формула Лоренца для действующей на нее ЭМ силы не может быть использована для нахождения ее ускорения в соответствии с формулой

м а знак равно д Е_{е Икс т} + д \frac{в}{с} \times Б_{е Икс т} .

$m\mathbf a = q\mathbf{E}_{ext} + q\frac{\mathbf v}{c} \times \mathbf B_{ext}.$ Однако частица с нулевой массой и нулевым зарядом имеет тривиальное уравнение движения

0 знак равно 0

$0=0$ и не влияет на ЭМ силы на другие частицы. Это кажется пустым понятием.

Вы говорите, что фотон с нулевой массой и нулевым зарядом не оказывает никакого влияния на электромагнитные силы других частиц?
Вопрос и мой ответ были в контексте классической теории, о частице в ее классическом понимании, которая не имеет ничего общего с фотонами.
Описание фотона как безмассовой частицы, передающей ЭМ силу, легко дается в классической теории поля. Если фотон не вписывается в картину того, что вы называете «классической теорией», то и никакая другая безмассовая частица не вписывается.
В классической теории поля на тела действует электромагнитная сила, которая описывается формулой Лоренца для плотности силы или тензором напряжений Максвелла. В этой теории нет фотонов.
Тензор напряженности поля, $F_{\mu\nu}$ , поскольку член в лагранжевой плотности описывает кинетический член для $A_{\mu}$ поле. В классической теории для этого поля также нет массового члена и есть связь с ЭМ силами. Это то, что описывает фотон и что он опосредует электромагнитную силу.
Вы упускаете суть вопроса. Смотрите мой комментарий к ответу Flint72.

Лагранжиан для релятивистской безмассовой точечной частицы

346699

Джим

Ответы (4)

Qмеханик

Qмеханик

Майк Стоун

Флинт72

346699

Флинт72

Джим

Ян Лалински

Джим

Алекс Нельсон

Флинт72

Джим

Флинт72

Алекс Нельсон

Алекс Нельсон

Ян Лалински

Джим

Ян Лалински

Джим

Ян Лалински

Джим

Ян Лалински

Уравнение Эйлера-Лагранжа в специальной теории относительности

Почему лагранжиан является отрицательным числом для релятивистской массивной точечной частицы?

Действие массивной точечной частицы в искривленном пространстве-времени

Существует ли принцип Мопертюи для общей теории относительности?

Мировая линия действия точечной частицы в гравитационном поле

Уравнение Эйлера-Лагранжа в общей теории относительности

Геодезическое уравнение из вариации: эквивалентен ли квадрат лагранжиана?

Действие массивной свободной точечной частицы в релятивистской механике

Вывод геодезического уравнения с использованием множителя Лагранжа для исправления аффинной параметризации

Когда установить величину постоянной в лагранжиане (уравнения геодезических)?