Вывод геодезического уравнения с использованием множителя Лагранжа для исправления аффинной параметризации

Question

Вывод геодезического уравнения с использованием множителя Лагранжа для исправления аффинной параметризации

Физика
геодезические
специальная теория относительности
ограниченная динамика
лагранж-формализм
вариационный принцип

тостер

Геодезическое уравнение может быть получено с помощью действия

\begin{matrix} (1) & С_{0} "=" \int г т \sqrt{- {\dot{Икс}}_{мю} \cdot {\dot{Икс}}^{мю}} \end{matrix}

$S_0 ~=~ \int d\tau \sqrt{-\dot{x}_\mu\cdot \dot{x}^\mu}\tag{1}$ (Я использую соглашение (-+++) и

\dot{x} = \frac{d x}{d τ}

$\dot{x} = \frac{dx}{d\tau}$ ). Затем для упрощения вычислений выбирают явную параметризацию, а именно длину дуги

τ

$\tau$ то есть

\begin{matrix} (2) & {\dot{Икс}}_{мю} {\dot{Икс}}^{мю} "=" - 1. \end{matrix}

$\dot{x}_\mu\dot{x}^\mu = -1.\tag{2}$ С моей точки зрения, это означает, что я минимизирую действие с ограничением:

\begin{matrix} (3) & {\dot{Икс}}_{мю} {\dot{Икс}}^{мю} + 1 "=" 0. \end{matrix}

$\dot{x}_\mu\dot{x}^\mu + 1 = 0.\tag{3}$ Таким образом, результирующее уравнение должно быть таким же, если вместо этого я использую следующее действие

\begin{matrix} (4) & С "=" \int г т \sqrt{- {\dot{Икс}}_{мю} \cdot {\dot{Икс}}^{мю}} + λ ({\dot{Икс}}_{мю} {\dot{Икс}}^{мю} + 1) \end{matrix}

$S = \int d\tau \sqrt{-\dot{x}_\mu\cdot \dot{x}^\mu} + \lambda(\dot{x}_\mu\dot{x}^\mu + 1)\tag{4}$ где

λ

$\lambda$ является множителем Лагранжа.

Найдем еом в пространстве Минковского:

\begin{matrix} (5) & 0 "=" {\dot{п}}_{мю} "=" \frac{г}{г т} (\frac{- {\dot{Икс}}_{мю}}{\sqrt{- {\dot{Икс}}_{мю} {\dot{Икс}}^{мю}}} + 2 λ {\dot{Икс}}_{мю}) \end{matrix}

$0 = \dot{p}_\mu = \frac{d}{d\tau}\left(\frac{-\dot{x}_\mu}{\sqrt{-\dot{x}_\mu\dot{x}^\mu}} + 2\lambda\dot{x}_\mu\right)\tag{5}$

\begin{matrix} (6) & {\dot{Икс}}_{мю} {\dot{Икс}}^{мю} + 1 "=" 0. \end{matrix}

$\dot{x}_\mu\dot{x}^\mu + 1 = 0.\tag{6}$

Квадратный корень в первом уравнении равен 1. Итак,

\begin{matrix} (7) & п_{мю} "=" (2 λ - 1) {\dot{Икс}}_{мю} . \end{matrix}

$p_\mu = (2\lambda - 1)\dot{x}_\mu.\tag{7}$ Из второго уравнения нахожу

{\ddot{Икс}}^{мю} {\dot{Икс}}_{мю} "=" 0.

$\ddot{x}^\mu \dot{x}_\mu = 0.$ Используя это

\begin{matrix} (8) & \frac{г}{г т} {\dot{Икс}}^{мю} п_{мю} "=" {\ddot{Икс}}^{мю} п_{мю} + {\dot{Икс}}^{мю} {\dot{п}}_{мю} "=" 0. \end{matrix}

$\frac{d}{d\tau} \dot{x}^\mu p_\mu = \ddot{x}^\mu p_\mu + \dot{x}^\mu \dot{p}_\mu = 0.\tag{8}$ Так

\begin{matrix} (9) & с о н с т . "=" {\dot{Икс}}^{мю} п_{мю} "=" 1 - 2 λ \Rightarrow \dot{λ} "=" 0 \end{matrix}

$\mathrm{const.} = \dot{x}^\mu p_\mu = 1-2\lambda \Rightarrow \dot{\lambda} = 0\tag{9}$ Если сложить все вместе, получится:

\begin{matrix} (10) & {\dot{п}}_{мю} "=" (2 λ - 1) {\ddot{Икс}}_{мю} "=" 0. \end{matrix}

$\dot{p}_\mu = (2\lambda - 1) \ddot{x}_\mu = 0.\tag{10}$

В случае $\lambda \neq \frac{1}{2}$ это просто дает старый эом $\ddot{x} = 0$ . Однако в случае $\lambda = \frac{1}{2}$ нет ограничений на $\ddot{x}$ .

Я не понимаю, где этот случай $\lambda = \frac{1}{2}$ происходит от. Как мне с этим справиться? Могу ли я просто пренебречь этим? Или я что-то забыл?

Ответы (1)

Вывод геодезического уравнения с использованием множителя Лагранжа для исправления аффинной параметризации

Qмеханик · Answer 1

Прежде всего, мы должны подчеркнуть, что то, что ОП называет $\tau$ не _ $^{\dagger}$ правильное время вне оболочки, а просто некоторая параметризация мировой линии (WL). Однако ограничение
$\begin{matrix} (А) & {\dot{Икс}}_{мю} {\dot{Икс}}^{мю} \approx - 1 \end{matrix}$ $\dot{x}_\mu\dot{x}^\mu ~\approx ~-1\tag{A}$ будет означать, что параметр WL $\tau$ это правильное время на оболочке.
Поскольку EOM зависит от первой производной $\frac{d\lambda}{d\tau}$ множителя Лагранжа, мы должны указать одно условие, например, инерционное условие (IC) для $\lambda$ . Если мы выберем IC, отличный от $1/2$ , мы избегаем проблемы, когда $\lambda$ является $1/2$ .
Природа $\lambda=1/2$ патология - это вырождение проблемы силы ограничения/отсутствия ранга. Чтобы увидеть это более четко, обратите внимание, что мы можем получить эквивалентное действие
$\begin{matrix} (Б) & \tilde{С} "=" \int_{т_{я}}^{т_{ф}} г т (\sqrt{1} + λ ({\dot{Икс}}_{мю} {\dot{Икс}}^{мю} + 1)) \end{matrix}$ $\tilde{S} ~=~ \int_{\tau_i}^{\tau_f}\!\mathrm{d}\tau \left(\sqrt{1} + \lambda(\dot{x}_\mu\dot{x}^\mu + 1)\right) \tag{B}$ вставив ограничение (A) в первый член действия OP (4). Если мы повторим расчет OP для эквивалентного действия $\tilde{S}$ мы увидим, что беда переместилась на $\lambda=0$ . Ясно, дело $\lambda=0$ соответствует вырожденному случаю, когда принцип стационарного действия (B) не определен.

--

$^{\dagger}$ Если параметр WL $\tau$ также правильное время вне оболочки, это означало бы, что действие OP (4) просто $S=\tau_f-\tau_i$ , что фиксируется граничными условиями (BC). Иными словами, действие не зависело бы от РЯ, т. е. вариационная задача была бы некорректно определена.

2. Хорошо, это хороший момент. Но я предполагаю, что эта проблема возникнет и в других лагранжианах. Есть ли способ найти некритическое значение $\lambda$ в общем? 3. Есть ли способ исправить это вырождение? Например, добавить еще одно ограничение?
2. Нет, это будет зависеть от вариационной задачи. 3. Да. См. пункт 2.
Я вообще не понимаю, откуда взялась эта дегенерация. Этого не происходит при использовании множителей Лагранжа для минимизации функции. $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ с ограничениями. Почему это происходит здесь? Что мешает мне выбрать $\lambda = \frac{1}{2}$ ?
Аналогичное явление возникает, если мы пытаемся найти стационарные точки для функции вида $ф (г (Икс)) + λ г (Икс), Икс е р^{н} .$ $f(g(x))+\lambda g(x),\qquad x\in \mathbb{R}^n.$
Можно ли решить эту проблему, потребовав, чтобы уравнения Эйлера-Лагранжа выполнялись для каждого $\lambda$ ?
В общем, это было бы слишком сильным требованием.
При расчете фотонного пропагатора в КЭД добавляется фиксирующее ограничение $\frac{1}{2\xi}\partial_\mu A^\mu$ к лагранжиану. Это точно такой же анзац, не так ли? Результат что-то вроде $\sim \eta^{\mu\nu} - (1 - \xi) \frac{p^\mu p^\nu}{p^2}$ . На моей лекции нам сказали, что мы можем выбрать любое значение для $\xi$ мы хотим (они называли это калибровочной свободой). Действительно, элементы матрицы рассеяния не зависят от $\xi$ (это можно показать с помощью идентификатора подопечного). Почему привязка калибра работает для электродинамики, но не для геодезического уравнения?

Вывод геодезического уравнения с использованием множителя Лагранжа для исправления аффинной параметризации

тостер

Ответы (1)

Qмеханик

тостер

Qмеханик

тостер

Qмеханик

тостер

Qмеханик

тостер

Вариационный принцип для точечной частицы (массивной или безмассовой) в искривленном пространстве

Лагранжиан для релятивистской безмассовой точечной частицы

Вычисление символов Кристоффеля из лагранжиана

Путаница с виртуальными смещениями

Вывод уравнений Эйлера-Лагранжа из принципов Гамильтона и Даламбера

Что такое множители Лагранжа относительно голономных ограничений в классической механике?

Принципиальный подход к получению геодезического гамильтониана H=gμνpμpνH=gμνpμpνH = g^{\mu \nu} p_\mu p_\nu?

Определить траекторию движения точечной массы по принципу Гамильтона.

Гамильтоновы системы без соответствующей лагранжевой системы

Уравнение Эйлера-Лагранжа в специальной теории относительности