Почему мы используем операторы в квантовой механике?

Короткий ответ заключается в том, что вы можете обращаться с классическими наблюдаемыми как с операторами, если хотите, но алгебра наблюдаемых, которая фактически описывает мир, оказывается некоммутативной. Или другими словами, на вопрос:

• Если состояние физической системы полностью определяется с точки зрения определенных результатов некоторых наблюдаемых (наблюдаемых), могут ли все еще быть сделаны измерения, которые не определены окончательно?

Квантовая механика отвечает «да», и это именно то, что мы находим в мире, например, для простого спина.$0$частица в определенном положении полностью определяет состояние (собственное состояние положения), но не приводит к определенному результату измерения импульса. И т.п.

В классической механике в гамильтоновой формулировке наблюдаемые — это не числа, а функции (или распределения) в фазовом пространстве. В терминах канонических координат положения и импульса$(q;p)$, некоторые из обычных подозреваемых имеют особенно простые формы, например, кинетическая энергия частицы$T(q;p) = p^2/2m$. Эволюция во времени классической наблюдаемой задается уравнением Гамильтона

Произведение или сумма любых двух наблюдаемых является наблюдаемой, и математически скобка Пуассона является как скобкой Ли, так и производной. Детали этого вы можете найти самостоятельно, но непосредственный эффект заключается в том, что классические наблюдаемые образуют коммутативную алгебру Пуассона, подтип алгебры Ли.

Как только кто-то привык думать о наблюдаемых как об алгебре, естественно возникают некоторые вопросы:

• Действительно ли наша алгебра получает все физические наблюдаемые, соответствует ли все, что мы можем измерить, чему-то в алгебре классических наблюдаемых? Если нет, то требуют ли физические наблюдаемые несколько ослабить правила этой алгебры, например сделать ее некоммутативной?

Оказывается, ответ заключается в том, что алгебра, необходимая для описания мира, действительно некоммутативна, хотя, конечно, исторически она не была открыта по этой аналогии.

Что касается, в частности, линейных операторов, то потому, что они работают — хотя мы могли бы ожидать, что они будут работать, потому что довольно общий класс алгебр может быть представлен как линейные операторы в комплексном гильбертовом пространстве. В этом суть теоремы Гельфанда-Наймарка относительно$C^\star$-алгебры.

Любопытно, что классическая механика может быть сформулирована с использованием волновых функций/кетов в комплексном гильбертовом пространстве, где физические наблюдаемые представлены операторами, а измерения являются вероятностными, как и в квантовой механике. Это даже не так уж и странно, превращаясь в усложненную переформулировку классического уравнения Лиувилля (которое обрабатывает распределения вероятностей в фазовом пространстве).

Общий формализм КМ весьма общий и вполне пригоден для обработки классической механики; в чем они расходятся, так это в том, какие операторы представляют вещи, которые мы на самом деле измеряем в мире.

В классической механике физические величины, такие как, например, координаты положения, скорость, импульс, энергия и т. д., являются действительными числами, но в квантовой механике они становятся операторами. Почему это так?

Расхождения классических теорий с экспериментальными результатами потребовали разработки новой теории. Излучение черного тела требовало модели гармонических осцилляторов, которые могли бы излучать в единицах h*nu, чтобы давать конечные результаты и не переходить в режим ультрафиолетовой катастрофы. Спектры недавно открытых атомов показали дискретные энергетические уровни, требующие модели Бора . Данные не могли вписаться в классическую форму. Уровни энергии предполагали, что они подчиняются уравнениям, которые дают стоячие волны, подобные классической струне с ее стоячими волнами. Почитайте исторический фон , который привел к уравнениям, описывающим наблюдаемую квантовую природу.

Теория медленно строилась, было обнаружено, что для решения уравнений необходимы комплексные числа, и для объяснения данных было найдено предположение о том, что квадрат волновой функции является распределением вероятностей. Затем аналогия форм дифференциальных уравнений с гамильтонианом привела к выделению операторов вместо простых переменных для ожидаемых средних значений переменных. Это был процесс проб и ошибок, а затем он взлетел.

Это потому, что в квантовой механике математическим языком является линейная алгебра. Операторы, используемые в квантовой механике, могут определять собственные значения, собственные состояния, а также выполнять преобразование квантовых состояний и так далее.