Входя в черную дыру, имеет ли вообще значение угол падения?

У вас неправильная картинка, резкого изменения ракурса нет. Частица, приближающаяся к черной дыре под углом, будет иметь такую ​​траекторию (моделирование проводилось в координатах Керра Шильда, но выглядит так же и в координатах Капли дождя и Дросте):

r может только уменьшаться, но это не означает, что движение должно быть чисто радиальным. Угловой момент сохраняется.

Ваша картинка неверна, потому что на ней черная дыра изображена в виде круга с сингулярностью в виде точки в центре. Сингулярность — это пространственноподобная поверхность, которая лежит в будущем каждого наблюдателя. См. Является ли сингулярность черной дыры одной точкой? .

Наивная концепция траектории не имеет особого смысла во внутренней части черной дыры, потому что внутренняя часть не статична. По этой причине мы не можем определить такие вещи, как правильные расстояния внутри. См. Каково правильное расстояние от горизонта событий до сингулярности? . Если вы не можете определить расстояния, вы явно не можете определить траекторию.

Вы, конечно, можете выбрать координатную диаграмму, которая хорошо себя ведет (имеется в виду не координаты Шварцшильда) и построить графики на них, но это не покажет вам траекторию в смысле геометрической формы на евклидовой плоскости. Например, если у вас есть одна времяподобная координата и три пространственноподобные координаты, то, в зависимости от движения и выбора координат, график движения падающей частицы может быть просто точкой, если вы проецируете временную координату. То есть все пространственноподобные координаты могут быть постоянными. Да, график будет зависеть от угла падения объекта.

по какому пути пойдет объект (массивный или безмассовый) при входе в ЕН?

Действительно хороший вопрос. Интуиция здесь может подвести.

Любой объект пересекает горизонт событий почти по радиальному пути.

Представьте, что вы сидите в ракете и чувствуете очень большое ускорение. Если вы бросите что-то горизонтально, предмет упадет и ударится об пол почти вертикально.

По той же причине наблюдатель, находящийся очень близко к горизонту (которому нужна мощная ракетная тяга, чтобы сохранять неподвижное положение), увидит падающий объект, пересекающий горизонт почти вертикально (т. е. почти радиально). Так что картинки не соответствуют действительности.

Как это выглядит в координатах Шварцшильда? На основании заметок Кэрролла (глава 7) получается:

Параметр$r$"="$R_S$урожаи$\cos\psi=1$. Однако это нельзя понимать как предсказание приведенной выше формулы из-за сингулярности координат на горизонте. Так что траектория на горизонте почти, но не совсем радиальная.

Метрика Шварцшильда неприменима к движению внутри горизонта. Здесь можно использовать метрику Rain Frame без бесконечностей при$r = R_S$, который дается

$d\tau^2=(1-2M/r)dt^2-2(2M/r)dtdr-dr^2-dr^2-r^2d\psi^2$и что дает движение капли дождя внутри горизонта (немного сложно, поищите в сети).

Падающие светоподобные геодезические также будут искривлены в радиальную сторону, но, по-видимому, в меньшей степени.

какой будет траектория объекта (массивного или безмассового), движущегося к сингулярности, должен ли он следовать кратчайшему пути (геодезическому)?

Кажется, есть путаница в том, что означает «геодезический» . В общем, геодезическая - это путь, который минимизирует или максимизирует определенную величину.$^1$. Например, принцип Ферма гласит, что свет перемещается из одной точки в другую таким образом, что необходимое для этого время минимально.

Точно так же общая теория относительности может быть выражена в терминах геодезических , но вы должны быть осторожны, какие геодезические использовать!

Возьмем, к примеру, точку$A$на поверхности земли и точка$B$один метр под ним. Тогда кратчайший путь, соединяющий их, есть прямая, т. е. прямая в евклидовой$^2$космос.

Теперь рассмотрим свободно падающее тело, начиная с$t=0$в$A$и заканчивается через 1 секунду в$B$, т.е. ищем путь, соединяющий$(A,t=0)$с$(B,t=1)$это траектория свободно падающего объекта. Этот путь больше не находится в привычном 3-пространстве, он находится в некотором математическом пространстве, для краткости пространство-время , и характеризуется собственным временем вдоль максимизируемого пути : Для всех наблюдателей, движущихся из$(A,0)$к$(B,1)$, наблюдатель, который получает максимальное показание на своих часах, находится в свободном падении. И это движение не по прямой линии в трехмерном пространстве: время течет медленнее из-за гравитации (в данном случае ближе к земле), поэтому объект может ускорить свои часы, двигаясь вверх. Однако при движении (вверх) замедление времени также играет роль, и лучшим компромиссом для максимизации собственного времени является известная парабола свободного падения из классической механики.

$^1$Математическое определение более сложное.

$^2$В общей теории относительности трехмерное пространство больше не является евклидовым в целом, но для всех практических целей пространство можно считать евклидовым (плоским) вокруг Земли или внутри нее.