Рассмотрим следующий аргумент:
Число 2 является простым числом и делится на 2. Таким образом, некоторое простое число делится на 2.
Первое утверждение в этом аргументе касается частного, т.е. числа 2. А вот во втором утверждении я не так уверен. Он касается экзистенциального, произвольного элемента в классе простых чисел. Является ли это второе утверждение общим утверждением или частным? В общем, считаются ли требования, определяемые квантором существования в классе объектов, общими или частными?
У нас есть традиционная точка зрения на категорические суждения , основанная на логике Аристотеля .
Категориальное суждение — это суждение, утверждающее или отрицающее, что все или некоторые члены одной категории (термин- субъект ) включены в другую (термин- сказуемое ).
Согласно этой точке зрения, конкретное предложение имеет логическую форму: «Некоторые S есть P», что переводится в современной символической форме: ∃x(Sx ∧ Px) .
Но в современной логике предикатов правило вывода, которое вы использовали, обычно называется экзистенциальным введением или экзистенциальным обобщением .
Мы можем назвать ∃xPx своего рода обобщением , потому что утверждение не утверждает что-то о конкретном, как, например, Сократ в «Сократ — философ», но утверждает, что класс не пуст (или свойство конкретизировано).
Рассмотрим аргумент:
Число 2 является простым числом и делится на 2. Таким образом, некоторое простое число делится на 2.
Пусть «P» будет свойством того, что натуральное число является простым и делится на 2. Пусть «a = 2».
Тогда из посылки «Pa» мы можем достоверно доказать, что «∃xPx», используя логику первого порядка.
«Х» в этом заключении — просто переменная. Это не «произвольный элемент в классе простых чисел», а один из элементов домена, обладающих этим свойством. Мы знаем, что есть один с этим свойством из-за предположения «Па». «x» относится к любому натуральному числу в домене, обладающему свойством «P», без присвоения ему определенного имени, такого как «2» или «a».
Рассмотрим, как некоторые тексты описывают квантор существования.
Вот что говорит Фредерик Фитч из «Символической логики », написанной в 1952 году: (стр. 145)
Атрибут считается непустым или существующим , если что-то имеет этот атрибут. Таким образом, непустота есть атрибут атрибутов. Он применяется только к тем атрибутам, которые сами по себе относятся к чему-то. Атрибут пуст, если его дополнение универсально. Оно непусто, если его дополнение не универсально.
Можно думать о «∃xPx» как о утверждении, что атрибут «P» непуст.
Вот что говорят о кванторе существования авторы forall x , написанного в 2018 году: (стр. 160)
В FOL домен всегда должен включать хотя бы одну вещь. Более того, в английском языке мы можем вывести «что-то сердитое» из «Грегор сердится». Таким образом, в FOL мы хотим иметь возможность вывести «∃xAx» из «Ag». Поэтому мы будем настаивать на том, чтобы каждое имя соответствовало только одному объекту домена. Если мы хотим назвать людей не только в Чикаго, нам нужно включить этих людей в домен.
Используя этот пример, квантор существования утверждает, что свойство гневаться непусто. В домене есть кто-то, кто злится. Однако экзистенциальный квантификатор больше не выбирает только Грегора. Кто-то, кроме Грегора, тоже может быть зол. Он обобщает, чтобы выбрать любого из тех людей в домене, которые злятся, и есть по крайней мере один из них. (Этот последний абзац отредактирован после прочтения ответа Мауро ALLEGRANZA .)
использованная литература
Фитч, FB (1952). Символическая логика.
Ответ Мауро ALLEGRANZA, https://philosophy.stackexchange.com/a/56213/29944
PD Магнус, Тим Баттон с дополнениями Дж. Роберта Лофтиса, ремикшированный и отредактированный Аароном Томасом-Болдуком, Ричардом Заком, forallx Calgary Remix: An Introduction to Formal Logic, зима 2018 г. http://forallx.openlogicproject.org/
Фрэнк Хьюбени