Интегралы по числам Грассмана

Question

Интегралы по числам Грассмана

Физика
Интеграция
Грассмановы-номер
Квантово-полевая-теория

TheoPhysicae

Я хочу доказать идентичность от Пескина и Шредера, а именно, что

(Π_{я}^{} \int d θ_{я}^{*} d θ_{я}) θ_{м}^{*} θ_{L} ехр (θ_{J}^{*} В_{J К} θ_{К}) знак равно йе (В) В_{м L}^{- 1}

B

B

В

это hermiteam

N \times N

N \times N

N \times N

N \times N

N \times N

матрица и

N

N

N

должно быть четным.

θ_{j}

θ_{j}

θ_{j}

θ_{j}

θ_{J}

и

θ_{j}^{*}

θ_{j}^{*}

θ_{j}^{*}

θ_{j}^{*}

θ_{j}^{*}

θ_{j}^{*}

θ_{J}^{*}

находятся

N

N

N

комплексные грассмановы числа.

Я хотел бы сделать это аналогично случаю сложных, а не грассмановых гауссовых интегралов, где вы искусственно вводите член в экспоненте, а затем дифференцируете. Я мог доказать, что

(Π_{я}^{} \int d θ_{я}^{*} d θ_{я}) ехр (θ_{J}^{*} В_{J К} θ_{К} + η_{J}^{*} θ_{J} + θ_{J}^{*} η_{J}) знак равно йе (В) ехр (- η_{J}^{*} В_{J К}^{- 1} η_{К})

где

η

η

η

и

θ

θ

θ

являются (сложными) числами Грассмана. Если бы они были просто сложными переменными, остальное было бы понятно. Я мог бы получить первое уравнение, дифференцирующее второе по отношению к

η_{m}

η_{m}

η_{m}

η_{m}

η_{м}

и

η_{l}^{*}

η_{l}^{*}

η_{l}^{*}

η_{l}^{*}

η_{l}^{*}

η_{l}^{*}

η_{L}^{*}

а потом пусть

η = η^{*} = 0

η = η^{*} = 0

η = η^{*} = 0

η = η^{*} = 0

η = η^{*} = 0

η = η^{*} = 0

η = η^{*} = 0

η = η^{*} = 0

η знак равно η^{*} знак равно 0

, Проблема в том, что для числа грассмана экспонента равна

e^{θ} = 1 + θ

e^{θ} = 1 + θ

e^{θ} = 1 + θ

e^{θ} = 1 + θ

e^{θ} = 1 + θ

e^{θ} = 1 + θ

е^{θ} знак равно 1 + θ

поскольку все условия высшего порядка отменяются. Для такой суммы, как у нас здесь, также должны быть члены второго порядка, но, тем не менее, экспонента не воспроизводится дифференцированием.

Могу ли я получить желаемый результат таким образом? Это выглядит довольно многообещающе, я просто не вижу, как перейти от второго уравнения (левая сторона) к первому уравнению (левая сторона). Это должно работать с дифференцированием, но я не понимаю, почему.

lionelbrits

Пока

e^{θ} = 1 + θ

e^{θ} = 1 + θ

e^{θ} = 1 + θ

e^{θ} = 1 + θ

e^{θ} = 1 + θ

e^{θ} = 1 + θ

е^{θ} знак равно 1 + θ

,

e^{θ + ϕ} = 1 + θ + ϕ + \frac{1}{2} θ ϕ

e^{θ + ϕ} = 1 + θ + ϕ + \frac{1}{2} θ ϕ

e^{θ + ϕ} = 1 + θ + ϕ + \frac{1}{2} θ ϕ

e^{θ + ϕ} = 1 + θ + ϕ + \frac{1}{2} θ ϕ

e^{θ + ϕ} = 1 + θ + ϕ + \frac{1}{2} θ ϕ

e^{θ + ϕ} = 1 + θ + ϕ + \frac{1}{2} θ ϕ

e^{θ + ϕ} = 1 + θ + ϕ + \frac{1}{2} θ ϕ

e^{θ + ϕ} = 1 + θ + ϕ + \frac{1}{2} θ ϕ

e^{θ + ϕ} = 1 + θ + ϕ + \frac{1}{2} θ ϕ

e^{θ + ϕ} = 1 + θ + ϕ + \frac{1}{2} θ ϕ

е^{θ + φ} знак равно 1 + θ + φ + \frac{1}{2} θ φ

, так что будьте осторожны.

lionelbrits

«Быстрый» способ сделать это вычисление состоит в том, чтобы сделать унитарное преобразование переменных, которое делает

B

B

В

диагональ, (мера интегрирования неизменна). Осталось только сделать произведение одномерных интегралов.

Йоссариан

@lionelbrits это так? унитарное преобразование вводит унитарную матрицу из-за

θ_{m}

θ_{m}

θ_{m}

θ_{m}

θ_{м}

и

θ_{l}

θ_{l}

θ_{l}

θ_{l}

θ_{L}

, как вы от них избавляетесь?

lionelbrits

Спасибо, Сильв. Мой комментарий неверен. Я не думал о свободных индексах.

Ответы (1)

Интегралы по числам Грассмана

Пока $e^{θ} = 1 + θ$ $e^{θ} = 1 + θ$ $e^{θ} = 1 + θ$ $e^{θ} = 1 + θ$ $e^{θ} = 1 + θ$ $e^{θ} = 1 + θ$ $е^{θ} знак равно 1 + θ$ , $e^{θ + ϕ} = 1 + θ + ϕ + \frac{1}{2} θ ϕ$ $e^{θ + ϕ} = 1 + θ + ϕ + \frac{1}{2} θ ϕ$ $e^{θ + ϕ} = 1 + θ + ϕ + \frac{1}{2} θ ϕ$ $e^{θ + ϕ} = 1 + θ + ϕ + \frac{1}{2} θ ϕ$ $e^{θ + ϕ} = 1 + θ + ϕ + \frac{1}{2} θ ϕ$ $e^{θ + ϕ} = 1 + θ + ϕ + \frac{1}{2} θ ϕ$ $e^{θ + ϕ} = 1 + θ + ϕ + \frac{1}{2} θ ϕ$ $e^{θ + ϕ} = 1 + θ + ϕ + \frac{1}{2} θ ϕ$ $e^{θ + ϕ} = 1 + θ + ϕ + \frac{1}{2} θ ϕ$ $e^{θ + ϕ} = 1 + θ + ϕ + \frac{1}{2} θ ϕ$ $е^{θ + φ} знак равно 1 + θ + φ + \frac{1}{2} θ φ$ , так что будьте осторожны.
«Быстрый» способ сделать это вычисление состоит в том, чтобы сделать унитарное преобразование переменных, которое делает $B$ $B$ $В$ диагональ, (мера интегрирования неизменна). Осталось только сделать произведение одномерных интегралов.
@lionelbrits это так? унитарное преобразование вводит унитарную матрицу из-за $θ_{m}$ $θ_{m}$ $θ_{m}$ $θ_{m}$ $θ_{м}$ и $θ_{l}$ $θ_{l}$ $θ_{l}$ $θ_{l}$ $θ_{L}$ , как вы от них избавляетесь?
Спасибо, Сильв. Мой комментарий неверен. Я не думал о свободных индексах.

VNB · Answer 1

РЕДАКТИРОВАТЬ

Метод, который вы хотите использовать, в порядке и дает быстрый результат. Вот:

я знак равно \int Π d θ^{*} d θ θ_{К}^{*} θ_{L} е Икс п (θ^{*} В θ + η^{*} θ + θ^{*} η) знак равно (\frac{\partial}{\partial η_{К}^{*}}) (\frac{\partial}{\partial η_{L}}) \int Π d θ^{*} d θ е Икс п (θ^{*} В θ + η^{*} θ + θ^{*} η)

откуда следует, что $I$ $I$ $я$ равно

{я знак равно d е T В (\frac{\partial}{\partial η_{К}^{*}}) (\frac{\partial}{\partial η_{L}}) е Икс п (η_{J}^{*} (В^{- 1})_{я J} η_{я}) |}_{η^{*} знак равно η знак равно 0}

я знак равно d е T В (В^{- 1})_{К L}

Примечание: я использую смену $θ_{i} \to θ_{i} + (B^{- 1})_{i j} η_{j}$ $θ_{i} \to θ_{i} + (B^{- 1})_{i j} η_{j}$ $θ_{i} \to θ_{i} + (B^{- 1})_{i j} η_{j}$ $θ_{i} \to θ_{i} + (B^{- 1})_{i j} η_{j}$ $θ_{i} \to θ_{i} + (B^{- 1})_{i j} η_{j}$ $θ_{i} \to θ_{i} + (B^{- 1})_{i j} η_{j}$ $θ_{i} \to θ_{i} + (B^{- 1})_{i j} η_{j}$ $θ_{i} \to θ_{i} + (B^{- 1})_{i j} η_{j}$ $θ_{i} \to θ_{i} + (B^{- 1})_{i j} η_{j}$ $θ_{i} \to θ_{i} + (B^{- 1})_{i j} η_{j}$ $θ_{i} \to θ_{i} + (B^{- 1})_{i j} η_{j}$ $θ_{i} \to θ_{i} + (B^{- 1})_{i j} η_{j}$ $θ_{i} \to θ_{i} + (B^{- 1})_{i j} η_{j}$ $θ_{i} \to θ_{i} + (B^{- 1})_{i j} η_{j}$ $θ_{i} \to θ_{i} + (B^{- 1})_{i j} η_{j}$ $θ_{i} \to θ_{i} + (B^{- 1})_{i j} η_{j}$ $θ_{i} \to θ_{i} + (B^{- 1})_{i j} η_{j}$ $θ_{i} \to θ_{i} + (B^{- 1})_{i j} η_{j}$ $θ_{i} \to θ_{i} + (B^{- 1})_{i j} η_{j}$ $θ_{i} \to θ_{i} + (B^{- 1})_{i j} η_{j}$ $θ_{я} \to θ_{я} + (В^{- 1})_{я J} η_{J}$ и $θ_{i}^{*} \to θ_{i}^{*} + η_{j}^{*} (B^{- 1})_{j i}$ $θ_{i}^{*} \to θ_{i}^{*} + η_{j}^{*} (B^{- 1})_{j i}$ $θ_{i}^{*} \to θ_{i}^{*} + η_{j}^{*} (B^{- 1})_{j i}$ $θ_{i}^{*} \to θ_{i}^{*} + η_{j}^{*} (B^{- 1})_{j i}$ $θ_{i}^{*} \to θ_{i}^{*} + η_{j}^{*} (B^{- 1})_{j i}$ $θ_{i}^{*} \to θ_{i}^{*} + η_{j}^{*} (B^{- 1})_{j i}$ $θ_{i}^{*} \to θ_{i}^{*} + η_{j}^{*} (B^{- 1})_{j i}$ $θ_{i}^{*} \to θ_{i}^{*} + η_{j}^{*} (B^{- 1})_{j i}$ $θ_{i}^{*} \to θ_{i}^{*} + η_{j}^{*} (B^{- 1})_{j i}$ $θ_{i}^{*} \to θ_{i}^{*} + η_{j}^{*} (B^{- 1})_{j i}$ $θ_{i}^{*} \to θ_{i}^{*} + η_{j}^{*} (B^{- 1})_{j i}$ $θ_{i}^{*} \to θ_{i}^{*} + η_{j}^{*} (B^{- 1})_{j i}$ $θ_{i}^{*} \to θ_{i}^{*} + η_{j}^{*} (B^{- 1})_{j i}$ $θ_{i}^{*} \to θ_{i}^{*} + η_{j}^{*} (B^{- 1})_{j i}$ $θ_{i}^{*} \to θ_{i}^{*} + η_{j}^{*} (B^{- 1})_{j i}$ $θ_{i}^{*} \to θ_{i}^{*} + η_{j}^{*} (B^{- 1})_{j i}$ $θ_{i}^{*} \to θ_{i}^{*} + η_{j}^{*} (B^{- 1})_{j i}$ $θ_{i}^{*} \to θ_{i}^{*} + η_{j}^{*} (B^{- 1})_{j i}$ $θ_{i}^{*} \to θ_{i}^{*} + η_{j}^{*} (B^{- 1})_{j i}$ $θ_{i}^{*} \to θ_{i}^{*} + η_{j}^{*} (B^{- 1})_{j i}$ $θ_{i}^{*} \to θ_{i}^{*} + η_{j}^{*} (B^{- 1})_{j i}$ $θ_{i}^{*} \to θ_{i}^{*} + η_{j}^{*} (B^{- 1})_{j i}$ $θ_{i}^{*} \to θ_{i}^{*} + η_{j}^{*} (B^{- 1})_{j i}$ $θ_{i}^{*} \to θ_{i}^{*} + η_{j}^{*} (B^{- 1})_{j i}$ $θ_{i}^{*} \to θ_{i}^{*} + η_{j}^{*} (B^{- 1})_{j i}$ $θ_{i}^{*} \to θ_{i}^{*} + η_{j}^{*} (B^{- 1})_{j i}$ $θ_{я}^{*} \to θ_{я}^{*} + η_{J}^{*} (В^{- 1})_{J я}$ , Здесь я использовал тот факт, что вторые моменты могут быть вычислены как производные следующим образом.

{⟨ η_{L} η_{К}^{*} ⟩ знак равно (\frac{\partial}{\partial η_{К}^{*}}) (\frac{\partial}{\partial η_{L}}) е Икс п (η_{J}^{*} (В^{- 1})_{я J} η_{я}) |}_{η^{*} знак равно η знак равно 0} знак равно (В^{- 1})_{я J}

Более или менее, вы можете принять это как определение. Но если вы все еще хотите доказать это, сделайте следующее:

J знак равно (\frac{\partial}{\partial η_{К}^{*}}) (\frac{\partial}{\partial η_{L}}) е Икс п (η_{J}^{*} (В^{- 1})_{я J} η_{я}) знак равно (\frac{\partial}{\partial η_{К}^{*}}) (\frac{\partial}{\partial η_{L}}) \underset{я J}{Π} (1 - η_{J}^{*} (В^{- 1})_{я J} η_{я})

После прямой дифференциации вы получите

J знак равно \underset{я J}{Π} δ_{К J} δ_{L я} (В^{- 1})_{я J} знак равно (В^{- 1})_{К L}

Вы можете игнорировать то, что ниже черты, это был мой первый ответ. Но я оставлю это, потому что это может быть поучительным для других.

Поскольку я пока не могу комментировать, я нарисую доказательство для более простого случая

я знак равно \int \underset{я}{Π} d θ_{я}^{*} d θ_{я} е Икс п (θ_{я}^{*} В_{я J} θ_{J}) знак равно d е T (В)

и надеюсь, что это поможет вам вычислить ваши интегралы. После расширения всех экспонент мы приходим к

я знак равно \frac{1}{N!} \int d θ_{1}^{*} d θ_{1} ... d θ_{N}^{*} d θ_{N} (θ_{я_{1}}^{*} В_{я_{1} J_{1}} θ_{J_{1}}) (θ_{я_{2}}^{*} В_{я_{2} J_{2}} θ_{J_{2}}) ... (θ_{я_{N}}^{*} В_{я_{N} J_{N}} θ_{J_{N}})

На данный момент некоторые объяснения в порядке. Фактор $1 / N!$ $1 / N!$ $1 / N!$ $1 / N!$ $1 / N!$ появляется из расширения экспонент. Чтобы увидеть, как получилось подынтегральное выражение, давайте рассмотрим случай, когда $N = 2$ $N = 2$ $N = 2$ $N = 2$ $N знак равно 2$ , У нас будет что то подобное

\int d θ_{1}^{*} d θ_{1} d θ_{2}^{*} d θ_{2} (1 + θ_{я}^{*} В_{я J} θ_{J} + \frac{(θ_{я}^{*} В_{я J} θ_{J})^{2}}{2!} + \dots)

Очевидно, что только квадратичный член будет вносить вклад в вышеуказанный интеграл, потому что только этот член может насытить число грассмановых переменных в интегральной мере.

\int d θ_{1}^{*} d θ_{1} d θ_{2}^{*} d θ_{2} (\frac{(θ_{я}^{*} В_{я J} θ_{J})^{2}}{2!}) знак равно \frac{1}{2} \int d θ_{1}^{*} d θ_{1} d θ_{2}^{*} d θ_{2} Σ_{я_{1}, я_{2}, J_{1}, J_{2}}^{2} (θ_{я_{1}}^{*} В_{я_{1} J_{1}} θ_{J_{1}}) (θ_{я_{2}}^{*} В_{я_{2} J_{2}} θ_{J_{2}})

Разложив сумму и выполнив все четыре интеграла, получим

\int d θ_{1}^{*} d θ_{1} d θ_{2}^{*} d θ_{2} (\frac{(θ_{я}^{*} В_{я J} θ_{J})^{2}}{2!}) знак равно \frac{1}{2!} [2 (В_{11} В_{22} - В_{12} В_{21})] знак равно d е T В

Теперь давайте вернемся к нашему первоначальному интегралу $I$ $I$ $я$ , Следующий шаг перед выполнением интегралов - это переупорядочить интегралы и числа Грассмана.

я знак равно \frac{1}{N!} \int d θ_{1}^{*} ... d θ_{N}^{*} θ_{я_{1}}^{*} ... θ_{я_{1}}^{*} \int θ_{1} ... d θ_{N} θ_{J_{1}} ... θ_{J_{1}} В_{я_{1} J_{1}} ... В_{я_{N} J_{N}}

Откуда мы наконец приходим

я знак равно \frac{1}{N!} ε_{я_{1} ... я_{N}} ε_{J_{1} ... J_{N}} В_{я_{1} J_{1}} ... В_{я_{N} J_{N}} знак равно d е T В

(примечание: результат заказа $a_{1} b_{1} \dots a_{N} b_{N} = a_{1} \dots a_{N} b_{1} \dots b_{N} (- 1)^{N (N - 1) / 2}$ $a_{1} b_{1} \dots a_{N} b_{N} = a_{1} \dots a_{N} b_{1} \dots b_{N} (- 1)^{N (N - 1) / 2}$ $a_{1} b_{1} \dots a_{N} b_{N} = a_{1} \dots a_{N} b_{1} \dots b_{N} (- 1)^{N (N - 1) / 2}$ $a_{1} b_{1} \dots a_{N} b_{N} = a_{1} \dots a_{N} b_{1} \dots b_{N} (- 1)^{N (N - 1) / 2}$ $a_{1} b_{1} \dots a_{N} b_{N} = a_{1} \dots a_{N} b_{1} \dots b_{N} (- 1)^{N (N - 1) / 2}$ $a_{1} b_{1} \dots a_{N} b_{N} = a_{1} \dots a_{N} b_{1} \dots b_{N} (- 1)^{N (N - 1) / 2}$ $a_{1} b_{1} \dots a_{N} b_{N} = a_{1} \dots a_{N} b_{1} \dots b_{N} (- 1)^{N (N - 1) / 2}$ $a_{1} b_{1} \dots a_{N} b_{N} = a_{1} \dots a_{N} b_{1} \dots b_{N} (- 1)^{N (N - 1) / 2}$ $a_{1} b_{1} \dots a_{N} b_{N} = a_{1} \dots a_{N} b_{1} \dots b_{N} (- 1)^{N (N - 1) / 2}$ $a_{1} b_{1} \dots a_{N} b_{N} = a_{1} \dots a_{N} b_{1} \dots b_{N} (- 1)^{N (N - 1) / 2}$ $a_{1} b_{1} \dots a_{N} b_{N} = a_{1} \dots a_{N} b_{1} \dots b_{N} (- 1)^{N (N - 1) / 2}$ $a_{1} b_{1} \dots a_{N} b_{N} = a_{1} \dots a_{N} b_{1} \dots b_{N} (- 1)^{N (N - 1) / 2}$ $a_{1} b_{1} \dots a_{N} b_{N} = a_{1} \dots a_{N} b_{1} \dots b_{N} (- 1)^{N (N - 1) / 2}$ $a_{1} b_{1} \dots a_{N} b_{N} = a_{1} \dots a_{N} b_{1} \dots b_{N} (- 1)^{N (N - 1) / 2}$ $a_{1} b_{1} \dots a_{N} b_{N} = a_{1} \dots a_{N} b_{1} \dots b_{N} (- 1)^{N (N - 1) / 2}$ $a_{1} b_{1} \dots a_{N} b_{N} = a_{1} \dots a_{N} b_{1} \dots b_{N} (- 1)^{N (N - 1) / 2}$ $a_{1} b_{1} \dots a_{N} b_{N} = a_{1} \dots a_{N} b_{1} \dots b_{N} (- 1)^{N (N - 1) / 2}$ $a_{1} b_{1} \dots a_{N} b_{N} = a_{1} \dots a_{N} b_{1} \dots b_{N} (- 1)^{N (N - 1) / 2}$ $a_{1} b_{1} \dots a_{N} b_{N} = a_{1} \dots a_{N} b_{1} \dots b_{N} (- 1)^{N (N - 1) / 2}$ $a_{1} b_{1} \dots a_{N} b_{N} = a_{1} \dots a_{N} b_{1} \dots b_{N} (- 1)^{N (N - 1) / 2}$ $a_{1} b_{1} \dots a_{N} b_{N} = a_{1} \dots a_{N} b_{1} \dots b_{N} (- 1)^{N (N - 1) / 2}$ $a_{1} b_{1} \dots a_{N} b_{N} = a_{1} \dots a_{N} b_{1} \dots b_{N} (- 1)^{N (N - 1) / 2}$ $a_{1} b_{1} \dots a_{N} b_{N} = a_{1} \dots a_{N} b_{1} \dots b_{N} (- 1)^{N (N - 1) / 2}$ $a_{1} b_{1} \dots a_{N} b_{N} = a_{1} \dots a_{N} b_{1} \dots b_{N} (- 1)^{N (N - 1) / 2}$ $a_{1} b_{1} \dots a_{N} b_{N} = a_{1} \dots a_{N} b_{1} \dots b_{N} (- 1)^{N (N - 1) / 2}$ $a_{1} b_{1} \dots a_{N} b_{N} = a_{1} \dots a_{N} b_{1} \dots b_{N} (- 1)^{N (N - 1) / 2}$ $a_{1} b_{1} \dots a_{N} b_{N} = a_{1} \dots a_{N} b_{1} \dots b_{N} (- 1)^{N (N - 1) / 2}$ $a_{1} b_{1} \dots a_{N} b_{N} = a_{1} \dots a_{N} b_{1} \dots b_{N} (- 1)^{N (N - 1) / 2}$ $a_{1} b_{1} \dots a_{N} b_{N} = a_{1} \dots a_{N} b_{1} \dots b_{N} (- 1)^{N (N - 1) / 2}$ $a_{1} b_{1} \dots a_{N} b_{N} = a_{1} \dots a_{N} b_{1} \dots b_{N} (- 1)^{N (N - 1) / 2}$ $a_{1} b_{1} \dots a_{N} b_{N} = a_{1} \dots a_{N} b_{1} \dots b_{N} (- 1)^{N (N - 1) / 2}$ $a_{1} b_{1} \dots a_{N} b_{N} = a_{1} \dots a_{N} b_{1} \dots b_{N} (- 1)^{N (N - 1) / 2}$ $a_{1} b_{1} \dots a_{N} b_{N} = a_{1} \dots a_{N} b_{1} \dots b_{N} (- 1)^{N (N - 1) / 2}$ $a_{1} b_{1} \dots a_{N} b_{N} = a_{1} \dots a_{N} b_{1} \dots b_{N} (- 1)^{N (N - 1) / 2}$ $a_{1} b_{1} \dots a_{N} b_{N} = a_{1} \dots a_{N} b_{1} \dots b_{N} (- 1)^{N (N - 1) / 2}$ $a_{1} b_{1} \dots a_{N} b_{N} = a_{1} \dots a_{N} b_{1} \dots b_{N} (- 1)^{N (N - 1) / 2}$ $a_{1} b_{1} \dots a_{N} b_{N} = a_{1} \dots a_{N} b_{1} \dots b_{N} (- 1)^{N (N - 1) / 2}$ $a_{1} b_{1} \dots a_{N} b_{N} = a_{1} \dots a_{N} b_{1} \dots b_{N} (- 1)^{N (N - 1) / 2}$ $a_{1} b_{1} \dots a_{N} b_{N} = a_{1} \dots a_{N} b_{1} \dots b_{N} (- 1)^{N (N - 1) / 2}$ $_{1} б_{1} ..._{N} б_{N} знак равно_{1} ..._{N} б_{1} ... б_{N} (- 1)^{N (N - 1) / 2}$ должен быть использован дважды для интегралов).

Я нашел этот метод наиболее простым, когда имеешь дело с такими интегралами. Я надеюсь, что это поможет вам доказать эти отношения. Тот же самый метод может быть применен очень легко в вашем случае (просто прямое расширение вперед). И с методом, который вы описали, это кажется, что вы слишком усложняете себя. Однако я немного поработаю над этим и посмотрю, что из этого выйдет.

Проблема в этом шаге. Я полагаю, что экспоненциальная функция в первом интеграле - это всего лишь сумма до степени 2, поэтому я не могу рассчитать с ней, как с обычной электронной функцией. $я знак равно d е T В (\frac{\partial}{\partial η_{К}^{*}}) (- \frac{\partial}{\partial η_{L}}) е Икс п (η^{*} В^{- 1} η)$ Например $\partial_{θ} ехр (θ) знак равно 1 \neq ехр (θ)$
И, конечно, также шаг до этого $я знак равно \int Π d θ^{*} d θ θ_{К}^{*} θ_{L} е Икс п (θ^{*} В θ + η^{*} θ + θ^{*} η) знак равно (\frac{\partial}{\partial η_{К}^{*}}) (- \frac{\partial}{\partial η_{L}}) \int Π d θ^{*} d θ е Икс п (θ^{*} В θ + η^{*} θ + θ^{*} η)$ Я не уверен, как бороться с экспонентами. Для меня это выглядит, как будто вы просто проигнорировали, что есть числа Grassmann.
Да, но в интеграле мы имеем сумму, в которой содержится каждый индекс. Поэтому я не понимаю, почему экспоненциальная функция все еще существует после дифференцирования. Не могли бы вы показать, как применение вашего только что упомянутого правила приводит к результату?

Интегралы по числам Грассмана

TheoPhysicae

lionelbrits

lionelbrits

Йоссариан

lionelbrits

Ответы (1)

VNB

VNB

TheoPhysicae

TheoPhysicae

VNB

TheoPhysicae

ϕ 4 ϕ4 теория кинков как фермионов?

Лагранжиан поля Шредингера

Рассеяние, возмущение и асимптотические состояния в формуле редукции LSZ

Momentum Shell RG для модели Ising

Полный фотонный пропагатор в расчете S-матрицы

Если фотоны несут 1 спиновую единицу, почему у видимого света нет углового момента?

Как понять идею функциональной перенормировочной группы?

Тождество Уорда, полученное из глобальной симметрии и SDE, отличается от того, что получено из калибровочной симметрии?

Действительно ли правильно говорить, что идентичность Уорда является следствием калибровочной инвариантности?

Зачем рассматривать сложное скалярное поле и его комплексное сопряжение как два разных поля?