Замедление времени внутри полой оболочки

Question

Замедление времени внутри полой оболочки

Юктерез

Предполагая, что у меня есть полая оболочка с общей массой $M$ и радиус $r$ . На поверхности гравитационное замедление времени будет

т "=" т \cdot \sqrt{1 - \frac{в_{е с с}^{2}}{с^{2}}}

$\tau=t \cdot \sqrt{1-\frac{v_{esc}^2}{c^2}}$

где

в_{е с с} "=" \sqrt{\frac{2 \cdot г \cdot М}{р}}

$v_{esc} = \sqrt{\frac{2 \cdot G \cdot M}{r}}$

но внутри оболочки не было бы гравитационного поля (теорема Ньютона об оболочке и теорема Биркгофа).

Но все же скорость убегания, необходимая для ухода в бесконечность, будет такой же, как и на поверхности, поскольку внутри оболочки вы можете двигаться без каких-либо ускоряющих или замедляющих сил, действующих на вас, пока вы не достигнете поверхности, откуда вас будет тянуть назад.

Так же как и замедление времени внутри полой оболочки относительно свободного от поля наблюдателя на бесконечности.

ноль (я предполагаю, что это не так) или
так же, как на поверхности (мое лучшее предположение), или
что-то совсем другое?

Я нашел несколько не совсем дублирующихся, но связанных тем внутри черных дыр, которые на самом деле не были сосредоточены на математике, но я больше отстал от расчетов с точки зрения $M$ и $r$ .

Ответы (2)

Замедление времени внутри полой оболочки

Майкл Зайферт · Answer 1

Для асимптотически плоской метрики собственное время, измеренное «неподвижным» наблюдателем (определяемым здесь как тот, чей путь в пространстве-времени только меняется $t$ , и без изменения пространственных координат)

д т "=" \sqrt{- г_{т т}} д т,

$d \tau = \sqrt{ - g_{tt}} dt,$ где

g_{t t}

$g_{tt}$ является компонентом время-время метрики. Для «слабого» гравитационного поля это получается

г_{т т} \approx - (1 + \frac{2 Φ}{с^{2}}),

$g_{tt} \approx - \left( 1 + \frac{2 \Phi}{c^2} \right),$ где

Φ

$\Phi$ - гравитационный потенциал, определенный таким образом, что

Φ \to 0

$\Phi \to 0$ как

r \to \infty

$r \to \infty$ . Таким образом,

д т "=" \sqrt{1 + \frac{2 Φ}{с^{2}}} д т .

$d \tau = \sqrt{ 1 + \frac{2 \Phi}{c^2}} dt.$ В этой форме довольно очевидно, что коэффициент замедления времени везде одинаков внутри оболочки, поскольку

Φ

$\Phi$ является константой внутри полой оболочки (сравните электростатический эквивалент, если вы не уверены в этом).

Обратите внимание, что ваша формула в терминах скорости убегания эквивалентна этой, если вы определяете скорость убегания в любой точке как «скорость, при которой полная энергия объекта равна нулю». (Нулевая полная энергия означает, конечно, что частица может уйти на бесконечность.) В этом случае мы имеем

\frac{1}{2} м в_{выход}^{2} + м Φ "=" 0 \Rightarrow в_{выход}^{2} "=" - 2 Φ

$\frac{1}{2} m v_\text{esc}^2 + m \Phi = 0 \quad \Rightarrow \quad v_\text{esc}^2 = - 2 \Phi$ и ваш результат выше восстановлен. В этой интерпретации «скорость убегания» изнутри полой сферы будет такой же, как скорость убегания с поверхности: если мы запустим снаряд внутри оболочки, он будет двигаться с постоянной скоростью, пока не достигнет поверхности оболочки; и если мы в этом месте откроем маленькое отверстие в оболочке для снаряда, мы как будто запустим его с поверхности с той же скоростью.

См. также: Если гравитация искривляет пространство-время, можно ли ею манипулировать, чтобы заморозить время?
Сохранились бы те же выводы, если бы гравитационное поле было сильным, а не слабым?
Просто чтобы понять это правильно: если я помещу планету с массой и радиусом, соответствующими гравитационному коэффициенту замедления времени x, внутрь полой оболочки, которая имеет (без планеты внутри) замедление времени с коэффициентом y на своей поверхности, новый фактор на поверхность планеты, которая сейчас находится внутри оболочки, будет равна x*y по сравнению с наблюдателем в бесконечности?
@ no_choice99: оказывается, что для метрики Шварцшильда выражение слабого поля с использованием ньютоновского потенциала дает правильный ответ, поэтому вывод Майкла верен даже для объектов, которые достаточно массивны, чтобы быть почти черными дырами. Однако в целом это не так.
@СимонТыран: Я бы скорее сказал, что если у вас есть две конфигурации ньютоновской массы, одна из которых дает коэффициент замедления времени $(1 + \delta)$ в определенной точке сам по себе, а другой дает фактор $(1 + \epsilon)$ , то суммарный коэффициент замедления времени будет $(1 + \delta + \epsilon)$ . Это примерно равно $(1 + \delta)(1 + \epsilon)$ если $\delta, \epsilon \ll 1$ , так что в этом смысле ваше утверждение верно. Однако мне было бы удобнее сделать свое заявление, поскольку оно опирается на линейность ньютоновской гравитации (чего нет в ОТО).
@СимонТыран: Тем не менее, разница несущественна в пределе слабой гравитации, так что в этом режиме ваше утверждение в порядке. Просто поймите, что ни одно из наших утверждений не сработает, если вы когда-нибудь попытаетесь применить его к сильным гравитационным полям ( $\Phi \lesssim c^2$ .)
@no_choice99: В дополнение к тому, что сказал Джон, понятие «убегающая скорость» (в моем последнем абзаце) не связано с $\Phi$ таким простым способом, когда $\Phi$ большой.
@Michael Seifert Действительно ли это (1 + δ + ε) вместо (1 + δ) (1 + ε)? Я всегда думал, что первый вариант — это упрощение для малых δ и ε, в то время как последнее решение кажется мне более интуитивным, так как подходит и для больших δ и ε.
@СимонТыран: Проблема в том, что GR нелинейна: если вы хотите найти поле, создаваемое двумя объектами, вы не можете просто найти два из них, а затем объединить два поля. Это означает, что если $\delta$ и $\epsilon$ не малы, то правильный ответ (вероятно) ни $(1 + \delta + \epsilon)$ или $(1 + \delta)(1 + \epsilon)$ , а какая-то другая сложная функция $\delta$ и $\epsilon$ что согласуется с ними обоими в первом порядке. Только когда $\delta$ и $\epsilon$ малы («линеаризованный» режим), можно ли игнорировать члены более высокого порядка, и тогда наши ответы эквивалентны.
Но @John Rennie сказал, что в сценариях Шварцшильда решение также сохраняется в сильных полях, поэтому, если $\delta=1$ и $\epsilon=1$ это решение скорее $1+\delta+\epsilon=3$ или $(1+\delta)(1+\epsilon)=4$ ?
@СимонТыран: для составного объекта, который вы описываете, геометрия внутри самой внешней оболочки не описывается метрикой Шварцшильда. Метрика Шварцшильда дает геометрию вне сферически-симметричного распределения массы. Мне пришлось бы спуститься вниз и выяснить, как выглядит метрика для вашего массового распространения, и это было бы много работы.
В этом случае я отмечу ответ Зайферта как принятый и назначу награду за новый вопрос, касающийся уравнений ОТО.
Я собирался задать тот же вопрос, но я не понимаю этого ответа. С внешней точки зрения, испытывает ли внутри достаточно массивной/достаточно плотной сферы Дайсона замедление времени только из-за массы сферы?
@CJDennis: Да, потому что внутренняя часть оболочки имеет более низкий гравитационный потенциал. $\Phi$ по сравнению с точками, удаленными от оболочки.
@MichaelSeifert Боюсь, я тоже этого не понимаю. Меркурий испытывает небольшое замедление времени, потому что он находится глубоко в гравитационном колодце Солнца. Спутники GPS испытывают небольшое замедление времени, потому что они очень быстро перемещаются вокруг Земли. Как мне перейти оттуда к замедлению времени внутри сферы Дайсона?
@CJDennis: наверное, стоило бы задать об этом отдельный вопрос, но для наброска: используйте закон Гаусса для расчета поля гравитационного ускорения от сферы Дайсона, а затем интегрируйте его по радиальной траектории, чтобы найти $\Phi$ . Процесс в основном такой же, как нахождение электрического потенциала внутри заряженной оболочки. Затем используйте приведенное выше уравнение, относящее $\tau$ (собственное время покоящегося внутри сферы наблюдателя) и $t$ (время, наблюдаемое на бесконечности).

Джим Пэмплин · Answer 2

Мне кажется, тактовая частота внутри оболочки Ньютона не должна зависеть от массы оболочки, как будто этой массы не существует. Нет чистой силы, поэтому нет гравитационного потенциала по отношению к массе. Рассмотрение скорости убегания изнутри оболочки куда-то бесконечно далеко — интересный поворот, но часы внутри оболочки не ощущают присутствия массы оболочки и не «знают», что есть что-то, от чего можно убежать. Я подозреваю, что с точки зрения гравитационного замедления времени внутри оболочки Ньютона вопрос о скорости убегания является отвлекающим маневром и не имеет отношения к внутренней тактовой частоте.

Каждые часы идут локально со своей естественной скоростью. Гравитационное замедление времени влияет на наблюдение за часами из других мест. И хотя все часы внутри оболочки согласуются друг с другом, OP явно запрашивает сравнение с часами расстояния.

Замедление времени внутри полой оболочки

Юктерез

Ответы (2)

Майкл Зайферт

Джон Ренни

необработанный_парамедицинский_карник

Юктерез

Джон Ренни

Майкл Зайферт

Майкл Зайферт

Майкл Зайферт

Юктерез

Майкл Зайферт

Юктерез

Джон Ренни

Юктерез

Си Джей Деннис

Майкл Зайферт

Си Джей Деннис

Майкл Зайферт

Джим Пэмплин

dmckee --- котенок экс-модератор

Измерения геометрии пространства-времени внутри чрезвычайно плотной сферической оболочки

Гравитационное замедление времени и координаты Шварцшильда

Существует ли воображаемое замедление времени?

Недиагональные элементы метрики Шварцшильда

Решение метрики Шварцшильда: уравнения поля Эйнштейна кажутся излишними

Справедлива ли теорема Биркгофа внутри горизонта событий?

Как мне поступить с радиусом-координатой метрики Шварцшильда в этой числовой задаче?

Теорема Биркгофа в общем виде (r2→e2γ(r)r2→e2γ(r)r^2 \rightarrow e^{2\gamma(r)})

Вывод теоремы Биркгофа

Безмассовая черная дыра Керра