Запись запутанности в скобочной нотации

Question

Запись запутанности в скобочной нотации

пользователь129412

У меня относительно сложная (во всяком случае для меня) ситуация, которую я хотел бы описать в скобках, а не словами. Однако мне не удалось найти источник, который помог бы мне лучше понять, как это сделать, и я надеялся, что один из вас может мне помочь. Сначала я опишу именно то, что хочу выразить, чтобы было немного понятнее, что я имею в виду. Обратите внимание, что это не вопрос домашнего задания или что-то в этом роде, это связано с экспериментом, который я придумал, поэтому есть вероятность, что на самом деле написать его так, как я хочу, может быть несколько невозможно.

У меня есть система, живущая на сфере Блоха , как эта, но с $\left|\uparrow\right>$ вместо $\left|0\right>$ и $\left|\downarrow\right>$ вместо $\left|1\right>$

Теперь изначально я могу полностью инициализировать что-то, скажем, вращение, в 1 состояние, будучи $\left|0\right>$ . Затем я поворачиваю состояние на pi/2 вокруг оси x и жду время t. За это время t происходят более сложные вещи. В зависимости от состояния второго вращения, что-то будет происходить. Этот второй спин может находиться в любом из трех состояний: $\left|-1\right>$ , $\left|0\right>$ и $\left|1\right>$ .

Сейчас, в это время $t$ , состояние первого спина будет прецессировать вокруг сферы Блоха в зависимости от состояния второго спина. Если второй спин находится в состоянии $\left|-1\right>$ первое состояние будет вращаться вокруг оси Z по часовой стрелке, если второе вращение находится в состоянии $\left|0\right>$ первый спин не изменится, а если второй спин находится в состоянии $\left|1\right>$ первый спин будет вращаться вокруг $z$ -ось против часовой стрелки.

Итак, после этого времени $t$ , я снова поверну первый спин, но на этот раз $\pi/2$ вокруг $y$ -ось. Это означает, что если я выберу t так, чтобы оно составляло ровно четверть периода, за который спин совершает полный оборот, два спиновых состояния будут запутаны. Я могу использовать это, чтобы установить, что такое второе состояние вращения, считывая первое состояние вращения:

Я понимаю, что это, вероятно, может быть немного запутанным, что, конечно же, также является основной причиной, по которой я просто хотел бы написать это в красивой, чистой нотации скобок. Если есть что-то конкретное, что не ясно, пожалуйста, дайте мне знать. И если кто-то может помочь мне начать работу (возможно, указав мне на аналогичный пример), я был бы очень благодарен.

Редактировать: Хорошо, я немного почитал о том, что смог найти, и вот как далеко я продвинулся сейчас.

Изначально: $\left|\psi\right>$ "=" $\left|\psi_1\right> \otimes \left|\psi_2\right> = \left|\uparrow\right> \otimes \frac{1}{\sqrt{3}}\left( \left|-1\right> + \left|0\right>+ \left|1\right> \right)$

Повернуть первое вращение на $\pi /2$ вокруг оси x

$\left|\psi\right>$ "=" $R_x (\frac{\pi}{2}) \left|\psi_1\right> \otimes \left|\psi_2\right> = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \left|\uparrow\right> -i \left|\downarrow\right> \right) \otimes \frac{1}{\sqrt{3}}\left( \left|-1\right> + \left|0\right>+ \left|1\right> \right)$

Но здесь я снова застреваю, так как именно здесь должно произойти вращение, обусловленное вторым вращением, и я не знаю, как это сделать.

пользователь129412

Конечно, было бы лучше, если бы я мог сделать это для общего угла поворота phi и общего времени t (общая ось сделает это довольно сложным, для моих целей подойдет либо x, либо y)

Ответы (2)

Запись запутанности в скобочной нотации

Конечно, было бы лучше, если бы я мог сделать это для общего угла поворота phi и общего времени t (общая ось сделает это довольно сложным, для моих целей подойдет либо x, либо y)

Мартин · Answer 1

Хорошо, я не совсем понимаю, что вы делаете, но, поскольку это линейная алгебра, я бы посоветовал вам использовать линейную алгебру. Затем вы можете легко переключаться между нотацией скобок и матрицами.

Во-первых, давайте исправим то, о чем мы говорим: У вас есть одна система $A$ содержащий один спин, поэтому система представляет собой пространство $\mathbb{C}^2$ с базисными состояниями $|0\rangle,|1\rangle$ (вниз и вверх - можно конечно называть их вниз и вверх, но это ничего не меняет). Кроме того, у вас есть вторая система $B$ с состоянием, которое может быть в любом $|-1\rangle,|0\rangle,|1\rangle$ , т.е. $\mathbb{C}^3$ .

Это означает, что ваши государства живут в $\mathbb{C}^2\otimes \mathbb{C}^3$ и ваши временные эволюции будут просто некими унитарами этого пространства. Чтобы их было легче записывать, выберем порядок основания $|0\rangle\otimes|-1\rangle,|0\rangle\otimes|0\rangle,|0\rangle\otimes|1\rangle,|1\rangle\otimes|-1\rangle,|1\rangle\otimes|0\rangle,|1\rangle\otimes|1\rangle$ , Который означает, что $|0\rangle\otimes|-1\rangle$ соответствует вектору $(1,0,0,0,0,0)^{\mathrm{tr}}\in\mathbb{C}^2\otimes \mathbb{C}^3$ .

Выбор такого базиса облегчает запись соответствующих унитаров. Позвольте мне привести два примера:

Вы вращаете первый спин pi/2 вокруг оси x. Вращение спина вокруг оси x есть не что иное, как унитарная эволюция оси Паули-x. Вы можете показать, что вращение блоховской сферы вокруг оси $\boldsymbol n$ под углом $\theta$ дан кем-то

р_{н} (θ) "=" е^{- я θ о \cdot н / 2}

$R_{\boldsymbol n}(\theta)=e^{-i\theta \boldsymbol \sigma\cdot \boldsymbol n/2}$ где

σ

$\boldsymbol \sigma$ — вектор матриц Паули.

Таким образом, простой поворот первой части системы на $\pi/2$ вокруг оси x задается унитарным

е^{- я π Икс / 4} \otimes 1_{3} е Б (С^{2} \otimes С^{3})

$e^{-i\pi X/4}\otimes 1_3 \in \mathcal{B}(\mathbb{C}^2\otimes \mathbb{C}^3)$ с тождеством, действующим на вторую систему.

Теперь предположим, что вы хотите реализовать условное унитарное выражение. Ну, нет ничего проще, ты просто придумываешь. Вы знаете, где должны заканчиваться ваши базисные состояния (вы просто записываете, как будет выглядеть состояние после применения условного унитарного для любого из базисных состояний $|0\rangle\otimes|-1\rangle,|0\rangle\otimes|0\rangle,|0\rangle\otimes|1\rangle,|1\rangle\otimes|-1\rangle,|1\rangle\otimes|0\rangle,|1\rangle\otimes|1\rangle$ . Это даст вам все записи $6\times 6$ унитарный, соответствующий оператору. Поскольку у вас есть параметр $t$ , ваш унитар будет $t$ -зависимый.

Это позволяет создавать унитарные элементы для каждого шага пути. Теперь, чтобы получить общее унитарное значение всего процесса, вам просто нужно перемножить их все справа налево (более поздние процессы умножаются слева) — как общая квантовая схема.

В принципе, теперь, чтобы получить ваше конечное состояние, вы просто перемножаете матрицу и вектор вашего начального состояния. Здесь может быть оговорка - я не совсем уверен, можно ли вообще инициализировать всю систему (т.е. обе части системы находятся в каком-то определенном состоянии - может суперпозиция, а может и нет). Если вы можете, то это будет соответствовать некоторому вектору, если вы не можете, вам нужно будет использовать матрицы плотности.

Спасибо за отличный ответ. Я постараюсь решить это таким образом, посмотрим, смогу ли я это осуществить. Похоже, это действительно правильный путь.
Я понимаю большую часть того, что вы написали, но меня немного смущает та часть, где вы описываете, как составить условное предложение. Я только что понял, что то, что я хотел написать здесь, слишком длинное, поэтому я отредактировал его в нижней части моего «ответа» после вашего.

пользователь129412 · Answer 2

Следуя тому, что мне объяснили выше, я думаю, что смогу решить свою проблему, написав ее как таковую:

Изначально:

| ψ ⟩ "=" | ψ_{1} ⟩ \otimes | ψ_{2} ⟩ "=" | ↑ ⟩ \otimes \frac{1}{\sqrt{3}} (| - 1 ⟩ + | 0 ⟩ + | 1 ⟩)

$\begin{equation} \left|\psi\right> = \left|\psi_1\right> \otimes \left|\psi_2\right> = \left|\uparrow\right> \otimes \frac{1}{\sqrt{3}}\left( \left|-1\right> + \left|0\right>+ \left|1\right> \right) \end{equation}$ Вращение первого вращения на

π / 2

$\pi /2$ вокруг оси x

| ψ ⟩ "=" (е^{- я \frac{π}{4} Икс} \otimes я) \otimes (| ↑ ⟩ \otimes \frac{1}{\sqrt{3}} (| - 1 ⟩ + | 0 ⟩ + | 1 ⟩)) "=" \frac{1}{\sqrt{6}} (| ↑ ⟩ - я | ↓ ⟩) \otimes (| - 1 ⟩ + | 0 ⟩ + | 1 ⟩)

$\begin{equation} \left|\psi\right> = \left(e^{-i \frac{\pi}{4}X}\otimes I\right)\otimes \left( \left|\uparrow\right> \otimes \frac{1}{\sqrt{3}}\left( \left|-1\right> + \left|0\right>+ \left|1\right> \right) \right) = \frac{1}{\sqrt{6}} \left( \left|\uparrow\right> -i \left|\downarrow\right> \right) \otimes \left( \left|-1\right> + \left|0\right>+ \left|1\right> \right) \end{equation}$ Условное вращение:

\begin{matrix} | ψ ⟩ "=" р_{с о н} \frac{1}{\sqrt{6}} (| ↑ ⟩ - я | ↓ ⟩) \otimes (| - 1 ⟩ + | 0 ⟩ + | 1 ⟩) \\ "=" \frac{1}{\sqrt{6}} [(| ↑ ⟩ + | ↓ ⟩) \otimes | - 1 ⟩ + (| ↑ ⟩ - я | ↓ ⟩) \otimes | 0 ⟩ + (| ↑ ⟩ - | ↓ ⟩) \otimes | 1 ⟩] \end{matrix}

$\begin{multline} \left|\psi\right> = R_{con}\frac{1}{\sqrt{6}} \left( \left|\uparrow\right> -i \left|\downarrow\right> \right) \otimes \left( \left|-1\right> + \left|0\right>+ \left|1\right> \right) \\ = \frac{1}{\sqrt{6}}\left[\left( \left|\uparrow\right> + \left|\downarrow\right> \right)\otimes\left|-1\right> + \left( \left|\uparrow\right> -i \left|\downarrow\right> \right)\otimes\left|0\right> + \left( \left|\uparrow\right> - \left|\downarrow\right> \right)\otimes\left|1\right>\right] \end{multline}$ Вращение первого вращения на

π / 2

$\pi /2$ вокруг оси Y

\begin{matrix} | ψ ⟩ "=" (е^{- я \frac{π}{4} Икс} \otimes я) \otimes \frac{1}{\sqrt{6}} [(| ↑ ⟩ + | ↓ ⟩) \otimes | - 1 ⟩ + (| ↑ ⟩ - я | ↓ ⟩) \otimes | 0 ⟩ + (| ↑ ⟩ - | ↓ ⟩) \otimes | 1 ⟩] \\ "=" \frac{1}{\sqrt{3}} | ↓ ⟩ \otimes | - 1 ⟩ + \frac{1}{\sqrt{3}} | ↑ ⟩ \otimes | 1 ⟩ + \frac{1}{\sqrt{6}} (| ↑ ⟩ + | ↓ ⟩) \otimes | 0 ⟩ \end{matrix}

$\begin{multline} \left|\psi\right> = \left(e^{-i \frac{\pi}{4}X}\otimes I\right)\otimes \frac{1}{\sqrt{6}}\left[\left( \left|\uparrow\right> + \left|\downarrow\right> \right)\otimes\left|-1\right> + \left( \left|\uparrow\right> -i \left|\downarrow\right> \right)\otimes\left|0\right> + \left( \left|\uparrow\right> - \left|\downarrow\right> \right)\otimes\left|1\right>\right] \\ = \frac{1}{\sqrt{3}}\left|\downarrow\right>\otimes\left|-1\right> + \frac{1}{\sqrt{3}}\left|\uparrow\right>\otimes\left|1\right> + \frac{1}{\sqrt{6}} \left( \left|\uparrow\right> + \left|\downarrow\right> \right) \otimes\left|0\right> \end{multline}$

Здесь мне еще предстоит выяснить, какова реальная форма условного поворота, так что это еще осталось. Может ли кто-нибудь увидеть, имеет ли смысл то, что я записал?

Для условного я знаю, что я хочу сделать так, чтобы R (t) работал, как показано ниже:

\begin{matrix} р_{с о н} (1 / 4) (| ↑ ⟩ - я | ↓ ⟩) \otimes | - 1 ⟩ "=" (| ↑ ⟩ + | ↓ ⟩) \otimes | - 1 ⟩ \end{matrix}

$\begin{multline} R_{con}(1/4)\left( \left|\uparrow\right> -i \left|\downarrow\right> \right) \otimes \left|-1\right> = \left( \left|\uparrow\right> + \left|\downarrow\right> \right) \otimes \left|-1\right> \end{multline}$

\begin{matrix} р_{с о н} (1 / 4) (| ↑ ⟩ - я | ↓ ⟩) \otimes | 0 ⟩ "=" (| ↑ ⟩ - я | ↓ ⟩) \otimes | 0 ⟩ \end{matrix}

$\begin{multline} R_{con}(1/4)\left( \left|\uparrow\right> -i \left|\downarrow\right> \right) \otimes \left|0\right> = \left( \left|\uparrow\right> -i \left|\downarrow\right> \right) \otimes \left|0\right> \end{multline}$

\begin{matrix} р_{с о н} (1 / 4) (| ↑ ⟩ - я | ↓ ⟩) \otimes | 1 ⟩ "=" (| ↑ ⟩ - | ↓ ⟩) \otimes | 1 ⟩ \end{matrix}

$\begin{multline} R_{con}(1/4)\left( \left|\uparrow\right> -i \left|\downarrow\right> \right) \otimes \left|1\right> = \left( \left|\uparrow\right> - \left|\downarrow\right> \right) \otimes \left|1\right> \end{multline}$

Должен ли я буквально просто выписать всю матрицу 6x6, которой является Rcon, и решить все ее элементы?
на самом деле это один из способов сделать это, хотя вы можете более или менее прочитать записи. Другой способ сделать это - отметить, что $R_{con~-1}(t)\otimes |-1\rangle\langle -1|+R_{con~0}(t)\otimes |0\rangle\langle 0| + R_{con~1}(t)\otimes |1\rangle\langle 1|$ с условными унитарами 2x2 $R_{con}$ делает свое дело (это унитарно, так как ваш базис ортогонален). Остается выяснить, какие унитарии действуют в зависимости от чего.
Большое спасибо за вашу помощь, Мартин, это было очень ценно.

Запись запутанности в скобочной нотации

пользователь129412

пользователь129412

Ответы (2)

Мартин

пользователь129412

пользователь129412

пользователь129412

пользователь129412

Мартин

пользователь129412

В каком состоянии находится один электрон в запутанном состоянии?

Максимально смешанное состояние находится в центре всех квантовых состояний.

Матрицы 2x2, которые не являются действительными квантовыми состояниями

Квантовая запутанность неразличимых частиц

Когда состояние вида ρ=∑ipi|ψi⟩⟨ψi|ρ=∑ipi|ψi⟩⟨ψi|\rho=\sum_i p_i\lvert\psi_i\rangle\langle\psi_i\rvert может быть чистым состоянием?

Кажущийся парадоксом для гипотезы термализации собственных состояний (ETH)

Какова важность диагональной матрицы плотности после измерения/декогеренции?

Если B1,B2B1,B2B_1,B_2 и B2,B3B2,B3B_2,B_3 являются MUB, можем ли мы заключить, что либо B1,B3B1,B3B_1,B_3 являются MUB, либо они имеют эквивалентные матрицы Адамара?

След операторной матрицы (квантовые вычисления и квантовая информация)

Важность нулевых и ненулевых собственных значений матрицы плотности