Заряд Нётер для скалярных полей при преобразованиях Лоренца

Это количество, сохраняемое наддувом. Фактор$1/2$не используется. Чтобы иметь представление о его значении, вы должны записать его закон сохранения. Начните с определения, где$t= x^0$(я предполагаю$c=1$):

$$B^i(t) := t\int_{\mathbb R^3}d^3x T^{0i}- \int_{\mathbb R^3}d^3x x^i T^{00}\:, \quad i=1,2,3 \:.$$

Закон сохранения$B^i$является$\vec{B}(t)= \vec{B}(0)$, а именно:

$$t \vec{P}= \int_{\mathbb R^3}d^3x T^{00}(t, \vec{x}) \:\vec{x}\:-\int_{\mathbb R^3}d^3x T^{00}(0, \vec{x})\:\vec{x}\:$$

дифференциация в$t$и принимая во внимание, что$\vec{P}$постоянна:

$$\vec{P} = \frac{d}{dt} \int_{\mathbb R^3}d^3x T^{00}(t, \vec{x}) \:\:\vec{x}\:\:$$

то есть в свою очередь:

$$\vec{P} = M\frac{d}{dt}\left( \frac{1}{M}\int_{\mathbb R^3}d^3x T^{00}(t, \vec{x})\:\:\vec{x}\:\:\right) \quad (1)$$

Где я ввел полную энергию системы в рассматриваемой системе отсчета (которая также является сохраняющейся величиной):

$$M = \int_{\mathbb R^3}d^3x T^{00}\:.$$

(1) есть не что иное, как релятивистская версия классической теоремы о центре масс . Положение центра масс:

$${\vec X}(t) := \frac{1}{M}\int_{\mathbb R^3}d^3x T^{00}(t, \vec{x})\:\:\vec{x}\:\:$$

Произведение полной энергии на скорость центра масс равно полному$3$-импульс. Теперь правильным понятием «массы», которое следует использовать для определения «центра масс», является временная составляющая тела.$4$-импульс, т.е. "релятивистская масса".

ПРИЛОЖЕНИЕ. Тот же результат существует и в классической механике для системы, состоящей из некоторых точек материи. В этом случае группа инвариантности является галилеевой. Точно так же теорема о центре масс возникает при рассмотрении буста, связанного с симметрией по отношению к чисто галилеевым преобразованиям, т. е.$t \to t':=t$,$\vec{x}_i \to \vec{x}_i' = \vec{x}_i + t\vec{V}$. Отличие в том, что в классической механике полная масса$M$представляет собой сумму масс точек систем, в теории относительности вместо системы невзаимодействующих материальных точек соответствующая масса включает в себя энергии, поскольку она является временной составляющей полного$4$-импульс. Таким образом, этот закон сохранения включает соотношение$E=mc^2$.