Ведь если бы я начал с попытки сделать гамильтониан лоренц-инвариантным, я бы потерпел неудачу. Действительно, гамильтониан является частью ковариантного тензора. Но откуда мне знать, что лагранжиан не является частью такого тензора?
Все лагранжевы формулировки, гамильтоновы формулировки и формулировки скобок Пуассона включают некоторую частную производную по времени в какой-то момент. Ни один из них не является явно лоренц-инвариантным.
Мы знали, что система, описываемая уравнением Клейна-Гордона, является лоренц-инвариантной, но мог ли я построить нелоренц-инвариантный лагранжиан и вывести из него лоренц-инвариантное уравнение движения?
Идти по пути, указанному в заголовке вопроса, легко: условие Эйлера-Лагранжа по своей сути является условием действия - утверждение состоит в том, что классический путь - это путь, для которого действие принимает минимальное значение для пути. Поскольку это утверждение о значении действия, а действие лоренц-инвариантно, то это минимальное значение остается неизменным при преобразовании Лоренца. Следовательно, уравнения движения должны быть лоренц-ковариантными. Ничто из этого не является автоматически истинным в гамильтоновом формализме, где вы явно выполняете преобразование Лежандра, включающее время, и разрушаете очевидную лоренц-инвариантность теории.
Вопрос, который вы задаете в своем заключении, сложнее: для данного лоренц-инвариантного уравнения движения возможно ли построить нелоренц-инвариантный лагранжиан? Тривиальный ответ: «да, вы можете добавить нелоренц-инвариантные граничные условия». Но я не знаю о менее тривиальном случае.
Qмеханик
Веллоу