Является ли тензор энергии-импульса симметричным для классического действия, явно нарушающего вращательную симметрию?

Мне нравится отвечать на подобные вопросы на простом рабочем примере. Итак, давайте напишем простую скалярную теорию поля, которая нарушает вращение, но не трансляционную инвариантность:

$$\begin{equation} \mathcal{L}= -\frac{1}{2} \left( \eta^{\mu\nu} + \lambda e^\mu e^\nu \right) \partial_\mu \phi \partial_\nu \phi \end{equation}$$ где$\lambda$является константой и$e^\mu$– некоторая фиксированная единичная норма ($\eta_{\mu\nu} e^\mu e^\nu=1$) пространственноподобный 4-вектор, постоянный в пространстве-времени.

Теперь давайте сделаем вариант со сдвигом, зависящим от пространства-времени.$\epsilon(x)$; затем мы воспользуемся приемом: поскольку переводы с$\epsilon={\rm const}$являются симметрией, мы всегда можем записать вариацию как$\delta \mathcal{L}=-\partial_\mu \epsilon_\nu \tilde{T}^{\mu\nu}$, который после интегрирования по частям равен$\epsilon_\mu \partial_\nu \delta T^{\mu\nu}$(где$\tilde{T}$и$T$потенциально отличаются на член, дивергенция которого тождественно равна нулю). Тогда с тех пор$\partial_\mu T^{\mu\nu}=0$на оболочке мы можем определить$T^{\mu\nu}$как тензор энергии-импульса.

Более конкретно, мы пишем$x^\mu \rightarrow x^\mu - \epsilon^\mu(x)$, так$\phi \rightarrow \phi + \epsilon^\mu \partial_\mu \phi$и$\partial_\mu \phi \rightarrow \partial_\mu \phi + \epsilon^\nu \partial_\mu \partial_\nu \phi + \partial_\nu \phi \partial_\mu \epsilon^\nu$, что приводит к

$$\begin{eqnarray} % \delta \mathcal{L} &=& - \frac{1}{2} \left[ \eta^{\rho\sigma} + \lambda e^\rho e^\sigma \right] \left[ \delta(\partial_\rho \phi) \partial_\sigma \phi + \partial_\rho \phi \delta (\partial_\sigma \phi) \right] \\ % &=& - \frac{1}{2} \left[ \eta^{\rho\sigma} + \lambda e^\rho e^\sigma \right] \left[ \epsilon^\nu \partial_\rho \partial_\nu \phi \partial_\sigma \phi + \epsilon^\nu \partial_\sigma \partial_\nu \phi \partial_\rho \phi + \partial_\rho \phi \partial_\nu \phi \partial_\sigma \epsilon^\nu + \partial_\sigma \phi \partial_\nu \phi \partial_\rho \epsilon^\nu \right] \\ % &=& - \frac{1}{2} \left[ \eta^{\rho\sigma} + \lambda e^\rho e^\sigma \right] \left[ \epsilon^\nu \partial_\nu \left( \partial_\rho \phi \partial_\sigma \phi \right) - \epsilon_\mu \partial_\sigma \left(\partial^\mu \phi \partial_\rho \phi \right) - \epsilon_\mu \partial_\rho \left(\partial^\mu \phi \partial_\sigma \phi \right) \right] \\ % &=& \epsilon_\mu \partial_\nu \left[ \partial^\mu \phi \partial^\nu \phi - \frac{1}{2} \eta^{\mu\nu} (\partial \phi)^2 + \lambda \left( e^\mu \partial^\nu \phi e^\rho \partial_\rho \phi - \frac{1}{2} e^\mu e^\nu (\partial \phi)^2\right) \right]\\ % &=& \epsilon_\mu \partial_\nu \left[T_{\rm K.G.}^{\mu\nu} + \lambda T_{\rm S.B.}^{\mu\nu} \right] \end{eqnarray}$$ где$T_{\rm K.G.}^{\mu\nu} = \partial^\mu \phi \partial^\nu \phi - \frac{1}{2} \eta^{\mu\nu}(\partial \phi)^2$— тензор напряжений для безмассового поля Клейна-Гордона, а член$T^{\mu\nu}_{\rm S.B.}$- тензор энергии-импульса из-за нарушения вращательной симметрии (SB = нарушение симметрии).

Действительно, выражение для$T^{\mu\nu}_{\rm S.B.}$

$$\begin{equation} T^{\mu\nu}_{\rm S.B.} = e^\mu \partial^\nu \phi e^\rho \partial_\rho \phi - \frac{1}{2} e^\mu e^\nu (\partial \phi)^2 \end{equation}$$

имеет ненулевую антисимметричную часть$\sim (e \cdot \partial)\phi e^{[\mu}\partial^{\nu]} \phi$. Один из способов объяснить словами то, что происходит, состоит в том, что$\epsilon_\mu$никогда не заключал прямых договоров с$e^\rho$или$e^\sigma$, и в отличие от метрического тензора нет возможности «генерировать больше»$e^\rho$или$e^\sigma$путем повышения и понижения индексов. Другой способ объяснить разницу между вращательно-инвариантными членами и терминами, нарушающими симметрию, состоит в том, чтобы указать, что если мы заменим$e^\mu e^\rho$с$\eta^{\mu\rho}$в первый срок$T^{\mu\nu}_{\rm S.B.}$, первый член становится$\partial^\mu\phi \partial^\nu \phi$, что является симметричным; термин «нарушение симметрии»$\sim e^\mu e^\rho$выбирает особое направление, от которого может зависеть окончательный ответ, что допускает антисимметричную часть. Честно говоря, это не тот результат, которого я ожидал, когда начал работать над этим (хотя я не знаю, почему, поскольку угловой момент не может быть сохранен, и я согласен с логикой в ​​​​вашем вопросе), но поскольку насколько я могу судить, это правильно.

Всегда можно определить симметричный тензор энергии-импульса, определив его как вариацию действия относительно метрики, но я исхожу из вопроса, что это не то, что вас интересует.

Другой вопрос, можно ли добавить кусок, тождественно свободный от дивергенции, к$T^{\mu\nu}_{\rm S.B.}$чтобы отменить антисимметричную часть ... Я подозреваю (но не уверен на 100%), что ответ положительный, поскольку я думаю, что вы должны быть в состоянии вывести версию Эйнштейна-Гильберта тензора энергии-импульса таким образом. (Это не всегда возможно, но я подозреваю, что это, вероятно, в этом примере)