Применение теоремы Нётер

Question

Применение теоремы Нётер

человек дождя

Я пытаюсь понять один из примеров применения теоремы Нётер, приведенный в книге Пескина и Шредера « Введение в квантовую теорию поля» (стр. 18, студенческое экономическое издание). Соответствующая часть текста приведена ниже.

Если я правильно понимаю вывод и соответствующее обсуждение здесь , то предполагалось, что лагранжева плотность $\mathcal{L}$ удовлетворяет уравнению Эйлера-Лагранжа:

\frac{\partial л}{\partial ф} "=" \partial_{мю} [\frac{\partial л}{\partial (\partial_{мю} ф)}] .

$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi} = \partial_{\mu}\left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)}\right].$

Мое замешательство: я не понимаю, как $\mathcal{L} = \frac{1}{2} (\partial_{\mu} \phi)^2$ удовлетворяет уравнению Эйлера-Лагранжа. Потому что с левой стороны я получаю $\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi} = 0$ , а в правой части я получаю $\partial_{\mu}\left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)}\right] = \partial_{\mu} \partial^{\mu} \phi.$ Если данный $\mathcal{L}$ не удовлетворяет уравнению Эйлера-Лагранжа, то как формулировка Пескина и Шредера может быть применена к этому случаю? Что мне здесь не хватает?

Ответы (3)

Применение теоремы Нётер

t_sanjana · Answer 1

Вы правильно написали уравнение Эйлера-Лагранжа. Поэтому, когда вы упрощаете его, вы получаете уравнение движения (как вы упомянули в своем вопросе):

\partial_{мю} \partial^{мю} ф "=" \partial^{2} ф "=" 0.

$\partial_\mu\partial^\mu\phi=\partial^2\phi=0.$ Обратите внимание, что в этом нет ничего особенного, потому что если вы использовали лагранжиан также с термином потенциальной энергии, т.е.

л "=" \frac{1}{2} (\partial_{мю} ф)^{2} - \frac{1}{2} м^{2} ф^{2},

$\mathcal{L}=\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi)^2-\frac{1}{2}m^2\phi^2,$ уравнение движения, которое вы получите,

(\partial_{мю} \partial^{мю} + м^{2}) ф "=" 0.

$(\partial_\mu\partial^\mu+m^2)\phi=0.$ Все, что мы здесь делаем, это подключаем

m = 0

$m=0$ , что возвращает первое уравнение.

Если я правильно понимаю, у вас проблема с "удовлетворением" уравнения Эйлера-Лагранжа. Я хотел бы пояснить это, поправив ваше утверждение: неверно говорить, что «лагранжиан» $\mathcal{L}$ удовлетворяет уравнению Эйлера-Лагранжа; это "поле" $\phi$ которая удовлетворяет уравнению Эйлера-Лагранжа.

Уравнение Эйлера-Лагранжа

\partial_{мю} (\frac{\partial л}{\partial (\partial_{мю} ф)}) - \frac{\partial л}{\partial ф} "=" 0,

$\partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right)-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}=0,$ что дает вам разные выражения для LHS в зависимости от того, какой лагранжиан вы используете (мы уже видели два примера выше). Вы приравниваете выражение на LHS к нулю, чтобы получить уравнение Эйлера-Лагранжа (или уравнение движения) и решаете для

ϕ

$\phi$ .

Я надеюсь, что это прояснило вопрос.

Эрик Дэвид Крамер · Answer 2

Уравнению Эйлера-Лагранжа не удовлетворяет автоматически $\mathcal{L}$ . Все наоборот. Данный $\mathcal{L}$ , можно найти классическое уравнение движения, которому удовлетворяет поле $\phi$ . Это все равно, что дать вам формулу силы в ньютоновской механике. Даже если вы знаете $F$ , надо еще знать второй закон Ньютона $F=ma$ найти движение. Здесь тоже: дано $\mathcal{L}$ , вам все еще нужен «закон» (уравнение EL), чтобы найти движение.

Qмеханик · Answer 3

Как бы то ни было, очень важно, на каком этапе используются уравнения Эйлера-Лагранжа (ЭЛ) в приложении (первой) теоремы Нётер . Первая теорема Нётер имеет 2 стороны:

Ввод: глобальный внешний шелл $^1$ (квази)симметрия . Здесь не следует использовать EOM. ( Симметрия на оболочке — бессодержательное понятие, потому что всякий раз, когда мы меняем действие $\delta S$ бесконечно мало и применить EOM, то по определению $\delta S\approx 0$ обращается в нуль по модулю граничных членов.)
Выход: уравнение неразрывности на оболочке . Здесь следует использовать EOM. (Если это происходит и вне оболочки, это происходит потому, что глобальная симметрия является частью большей локальной/калибровочной симметрии. См. вторую теорему Нётер и, например, этот пост Phys.SE.)

--

$^1$ Слова «на оболочке» и «вне оболочки» относятся к тому, выполняются ли уравнения Эйлера-Лагранжа (EL) (=EOM) или нет.

Применение теоремы Нётер

человек дождя

Ответы (3)

t_sanjana

Эрик Дэвид Крамер

Qмеханик

Имеет ли значение постоянный коэффициент в определении тока Нётер?

Порождает ли теорема Нётер также величины, сохраняющиеся в пространстве?

Переводы и теорема Нётер

Сохраняющиеся заряды и генераторы

Каков математический смысл и условие локального сохранения заряда Нётер?

Путаница с теоремой Нётер

Сравнение формулировок теоремы Нётер

Течение Нётера в QFT с вариациями, зависящими от положения?

Вариация действия при бесконечно малых произвольных преобразованиях и теорема Нётер

Какая симметрия отвечает за сохранение массы?