Зарядка в многослойный шар

Шар (радиус$R$) имеет три слоя. Для$0<r<a$это проводник с бесплатным зарядом$+Q$. Для$a<r<b$это линейный диэлектрик$\epsilon$со встроенным в него свободным зарядом с плотностью$\rho_{free}(r) = \left(\frac{\rho_0}{a^2}\right)r^2$. От$b<r<R$это снова проводник с некоторым количеством заряда на нем$q$что заставляет поле исчезнуть для$r\lt R$. Я должен:

1. Найдите поляризацию$\vec P$в диэлектрике
2. Найти плотность связанного объемного заряда в диэлектрике.
3. Найдите свободную и связанную поверхностные плотности на каждой поверхности$r=a,b,R$

Поэтому я попытался использовать здесь закон Гаусса со сферой радиуса$a<r<b$как моя поверхность, чтобы получить$\vec P$:

$$\oint \vec D\cdot d\vec A =Q_{free}+\int_a^r \rho_{free} dr$$ $$D = {Q+\frac{\rho_0}{3a^2}(r^3-a^3)\over4\pi r^2}$$

С использованием$\vec D = \frac{\vec E}{\varepsilon}$и$\vec P = \varepsilon_0\chi_e\vec E$и$\rho_b=-\nabla\cdot\vec P$Я рассчитал:

$$\vec P = \frac{\varepsilon_0\chi_eQ}{4\pi\varepsilon r^2}+\frac{\varepsilon_0\chi_e\rho_0}{12\pi\varepsilon}({r\over a^2}-{a\over r^2})\hat r$$ $$\rho_b = \frac{\varepsilon_0\chi_e}{2\pi\varepsilon}(\frac{Q}{2r^2}-\frac{\rho_0r}{3a^2}+\frac{\rho_0}{6r^2})$$

Два вопроса:

1. Это правильно?

2. Как я могу использовать это для расчета плотности поверхностного заряда$\sigma_b$и$\sigma_f$для каждой поверхности?