Нахождение эквивалентной системы бесконечно длинного цилиндра с вектором поляризации P⃗ =Py^P→=Py^\vec P = P\hat y

Поляризация вызовет смещение всех положительных зарядов относительно отрицательных зарядов в направлении y, так что вид цилиндров сверху будет выглядеть так:

Поскольку вектор поляризации указывает в положительном направлении y, вектор электрического дипольного момента будет указывать в том же направлении, что говорит вам о том, что отрицательно заряженный цилиндр находится слева, а положительно заряженный - справа ($\vec{p}$точек от отрицательного к положительному заряду)

Теперь все, что вам нужно сделать, это найти потенциал, используя полиномы Лежандра (по крайней мере, так его решает Гриффитс), затем взять градиент, чтобы найти электрическое поле как снаружи, так и внутри цилиндра.

Примечание:

Тем не менее, есть изящный трюк, который вы можете использовать, чтобы найти электрическое поле из-за цилиндра (я считаю, что он имеет отношение к вашему вопросу, и я хочу изложить его там). Однако обратите внимание, что его можно использовать только тогда, когда поляризация постоянна в одном направлении, как и в вашем случае. Вы можете использовать эту постоянную поляризацию, которая эффективно смещает все отрицательные и положительные заряды на одинаковое расстояние друг относительно друга. Тогда вы рассматриваете ситуацию как ситуацию двух отдельных цилиндров с постоянной плотностью объемного заряда ($\rho_0$) Пусть радиус цилиндра равен R

Внутри цилиндра

$\vec{E}$"="$\frac{\rho_0 r}{2\epsilon_0}$(Общая формула для E-поля внутри равномерно заряженного цилиндра)

Итак, из двух цилиндров (см. рисунок)

$\vec{E_{net}}$"="$\frac{\rho_0 \vec{r}}{2\epsilon_0}-\frac{\rho_0 (\vec{r}-\delta \vec{r})}{2\epsilon_0} =\frac{\rho_0 \vec{\delta r}}{2\epsilon_0}=-\frac{\vec{P}}{2\epsilon_0}$

Снаружи цилиндра

$\vec{E}$"="$\frac{\rho_0 R^2}{2\epsilon_0 r}=\frac{Q}{2 \pi \epsilon_0 hr}$(Общая формула для E-поля вне равномерно заряженного цилиндра)

Итак, из двух цилиндров (см. рисунок)

$\vec{E_{net}}$"="$\frac{1}{2 \pi \epsilon_0 h}(\frac{Q}{r}-\frac{Q}{r-\delta r})\hat{r}=\frac{1}{2 \pi \epsilon_0 h}\frac{\vec{p}}{r^2}\hat{r}$, где$\vec{p}$- чистый дипольный момент в объеме$(\vec{p}=\vec{P}V)$

$\vec{E_{net}}$"="$\frac{\vec{P} R^2}{2 \epsilon_0 r^2}$

Надеюсь я ответил на ваш вопрос!