Лагранжево-гамильтонов EOM с диссипативной силой

Question

Лагранжево-гамильтонов EOM с диссипативной силой

пользователь56199

Я пытаюсь написать лагранжиан и гамильтониан для принудительного гармонического осциллятора, прежде чем квантовать его, чтобы получить квантовую картину. Для ЕОМ

м \ddot{д} + β \dot{д} + к д знак равно ф (т),

$m\ddot{q}+\beta\dot{q}+kq=f(t),$ Я пишу лагранжиан

л знак равно \frac{1}{2} м {\dot{д}}^{2} - \frac{1}{2} к д^{2} + ф (т) д

$L=\frac{1}{2}m\dot{q}^{2}-\frac{1}{2}kq^{2}+f(t)q$ с функцией рассеяния Рэлея как

Д знак равно \frac{1}{2} β {\dot{д}}^{2}

$D=\frac{1}{2}\beta\dot{q}^{2}$ ввести лагранжев EOM

0 знак равно \frac{д}{д т} (\frac{\partial л}{\partial {\dot{д}}_{Дж}}) - \frac{\partial л}{\partial д_{Дж}} + \frac{\partial Д}{\partial {\dot{д}}_{Дж}} .

$0 = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left ( \frac {\partial L}{\partial \dot{q}_j} \right ) - \frac {\partial L}{\partial q_j} + \frac {\partial D}{\partial \dot{q}_j}.$

О преобразовании Лежандра $L$ , Я получил

ЧАС знак равно \frac{1}{2 м} п^{2} + \frac{1}{2} к д^{2} - ф (т) д .

$H=\frac{1}{2m}{p}^{2}+\frac{1}{2}kq^{2}-f(t)q.$

Как мне включить диссипативный член, чтобы получить правильный EOM из EOM гамильтониана?

Ответы (2)

Лагранжево-гамильтонов EOM с диссипативной силой

Qмеханик · Answer 1

Проблема: Учитывая второй закон Ньютона

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} м {\ddot{д}}^{Дж} знак равно & - β {\dot{д}}^{Дж} - \frac{\partial В (д, т)}{\partial д^{Дж}}, \\ Дж е & {1, \dots, н}, \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} m\ddot{q}^j~=~&-\beta\dot{q}^j-\frac{\partial V(q,t)}{\partial q^j}, \cr j~\in~&\{1,\ldots, n\}, \end{align}\tag{1}$

для нерелятивистской точечной частицы в $n$ размеров, на которые действует сила трения, а также на которые действуют различные силы, имеющие суммарный потенциал $V(q,t)$ , которая может явно зависеть от времени.

I) Традиционный подход: существует невариационная формулировка уравнений Лагранжа.

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} \frac{д}{д т} (\frac{\partial л}{\partial {\dot{д}}^{Дж}}) - \frac{\partial л}{\partial д^{Дж}} знак равно & {Вопрос}_{Дж}, \\ Дж е & {1, \dots, н}, \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} \frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^j}\right)-\frac{\partial L}{\partial q^j}~=~&Q_j, \cr j~\in~&\{1,\ldots, n\},\end{align}\tag{2}$

куда $Q_j$ являются обобщенными силами, не имеющими обобщенных потенциалов. В нашем случае (1) лагранжиан в уравнении (2) есть $L=T-V$ , с $T=\frac{1}{2}m\dot{q}^2$ ; и сила

\begin{matrix} (3) & {Вопрос}_{Дж} знак равно - β {\dot{д}}^{Дж} \end{matrix}

$Q_j~=~-\beta\dot{q}^j\tag{3}$

есть сила трения. Например, в этом посте Phys.SE показано, что сила трения (3) не имеет потенциала. Как упоминает OP, можно ввести диссипативную функцию Рэлея , но это не настоящий потенциал.

Условно дополнительно потребуем, чтобы лагранжиан имел вид $L=T-U$ , куда $T=\frac{1}{2}m\dot{q}^2$ связана с левой стороной ЭОМ (1) (т.е. кинематической стороной), а потенциал $U$ относится к RHS EOM (1) (т.е. динамической стороне).

При этих дополнительных требованиях ЭОМ (1) не имеет вариационной формулировки уравнений Лагранжа

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} \frac{д}{д т} (\frac{\partial л}{\partial {\dot{д}}^{Дж}}) - \frac{\partial л}{\partial д^{Дж}} знак равно & 0, \\ Дж е & {1, \dots, н}, \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} \frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^j}\right)-\frac{\partial L}{\partial q^j}~=~&0,\cr j~\in~&\{1,\ldots, n\},\end{align}\tag{4}$

т.е. уравнения Эйлера-Лагранжа . Преобразование Лежандра к гамильтоновой формулировке традиционно определяется только для вариационной формулировки (4). Таким образом, не существует обычной гамильтоновой формулировки EOM (1).

II) Нетрадиционные подходы:

Трюк с экспоненциальным множителем $^1$ : Определите для последующего удобства функцию
$\begin{matrix} (5) & е (т) знак равно опыт (\frac{β т}{м}) . \end{matrix}$ $e(t)~:=~\exp(\frac{\beta t}{m}). \tag{5}$ Тогда возможная вариационная формулировка (4) уравнений Лагранжа задается лагранжианом $\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} л (д, \dot{д}, т) знак равно & е (т) л_{0} (д, \dot{д}, т), \\ л_{0} (д, \dot{д}, т) знак равно & \frac{м}{2} {\dot{д}}^{2} - В (д, т) . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} L(q,\dot{q},t)~:=~&e(t)L_0(q,\dot{q},t), \cr L_0(q,\dot{q},t)~:=~&\frac{m}{2}\dot{q}^2-V(q,t).\end{align}\tag{6}$ Соответствующий гамильтониан $\begin{matrix} (7) & ЧАС (д, п, т) знак равно \frac{п^{2}}{2 м е (т)} + е (т) В (д, т) . \end{matrix}$ $H(q,p,t)~:=~\frac{p^2}{2me(t)}+e(t)V(q,t).\tag{7}$ Одно предостережение состоит в том, что гамильтониан (7) не представляет собой традиционное понятие полной энергии. Другое предостережение заключается в том, что этот нетрадиционный подход нельзя обобщить на случай, когда для двух связанных секторов теории требуются разные коэффициенты (5), например, когда каждая координата $q^j$ имеет индивидуальное отношение трения к массе $\frac{\beta_j}{m_j}$ , $j\in\{1, \ldots, n\}$ . Для того чтобы этот нетрадиционный подход работал, важно, чтобы множитель (5) был общим общим мультипликативным множителем для лагранжиана (6). Это неестественное требование с точки зрения физики.
Наложение EOM через множители Лагранжа $\lambda^j$ : Вариационный принцип для ЭОМ (1) таков:
$\begin{matrix} (8) & \begin{aligned} л знак равно & м \sum_{Дж знак равно 1}^{н} {\dot{д}}^{Дж} {\dot{λ}}^{Дж} \\ - \sum_{Дж знак равно 1}^{н} (β {\dot{д}}^{Дж} + \frac{\partial В (д, т)}{\partial д^{Дж}}) λ^{Дж} . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align}L ~=~& m\sum_{j=1}^n\dot{q}^j\dot{\lambda}^j\cr &-\sum_{j=1}^n\left(\beta\dot{q}^j+\frac{\partial V(q,t)}{\partial q^j}\right)\lambda^j.\end{align}\tag{8}$ (Здесь мы для удобства «интегрировали кинетический член по частям», чтобы избежать более высоких производных по времени.)
Классический формализм Швингера/Келдыша «внутри-внутри» : переменные удваиваются. См., например, ур. (20) в CR Galley, arXiv:1210.2745 . Игнорирование граничных условий $^2$ лагранжиан читает
$\begin{matrix} (9) & \begin{aligned} \tilde{л} (д_{\pm}, {\dot{д}}_{\pm}, т) знак равно & {л (д_{1}, {\dot{д}}_{1}, т) |}_{д_{1} знак равно д_{+} + д_{-} / 2} \\ - & {л (д_{2}, {\dot{д}}_{2}, т) |}_{д_{2} знак равно д_{+} - д_{-} / 2} \\ + & {Вопрос}_{Дж} (д_{+}, {\dot{д}}_{+}, т) д_{-}^{Дж} \end{aligned} . \end{matrix}$ $\begin{align} \widetilde{L}(q_{\pm},\dot{q}_{\pm},t) ~=~&\left. L(q_1,\dot{q}_1,t)\right|_{q_1=q_+ + q_-/2}\cr ~-~&\left. L(q_2,\dot{q}_2,t)\right|_{q_2=q_+ - q_-/2}\cr ~+~&Q_j(q_+,\dot{q}_+,t)q^j_-\end{align}\tag{9}.$ Начальные условия $\begin{matrix} (10) & {\begin{array}{rcl} д_{+}^{Дж} (т_{я}) & знак равно & д_{я}^{Дж}, \\ {\dot{д}}_{+}^{Дж} (т_{я}) & знак равно & {\dot{д}}_{я}^{Дж} \end{array} \end{matrix}$ $\left\{\begin{array}{rcl} q^j_+(t_i)&=&q^j_i,\cr\dot{q}^j_+(t_i)&=&\dot{q}^j_i\end{array}\right.\tag{10}$ реализовать базовые начальные значения системы. Окончательные условия $\begin{matrix} (11) & \begin{aligned} {\begin{array}{rcl} д_{-}^{Дж} (т_{ф}) & знак равно & 0 \\ {\dot{д}}_{-}^{Дж} (т_{ф}) & знак равно & 0 \end{array} \\ ⇓ \\ {\frac{\partial \tilde{л}}{\partial {\dot{д}}_{+}^{Дж}} |}_{т знак равно т_{ф}} знак равно & 0 \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align}\left\{\begin{array}{rcl} q^j_-(t_f)&=&0\cr \dot{q}^j_-(t_f)&=&0 \end{array}\right. & \cr\cr\qquad\Downarrow&\qquad\cr\cr \left.\frac{\partial \widetilde{L}}{\partial \dot{q}^j_+}\right|_{t=t_f}~=~&0 \end{align}\tag{11}$ внедрить решение физического предела $q_-^j= 0$ . Трюк с удвоением (9) часто фактически аналогичен введению множителей Лагранжа (8).
Билокальный метод Гуртина-Тонти: см., например , этот пост Phys.SE.

--

$^1$ Совет по шляпе: Вальтер Моретти .

$^2$ Вариационная задача (9)+(10)+(11) нуждается в соответствующем начальном члене, который не всегда может существовать! В частности, поскольку мы уже наложили $4n$ граничные условия (10)+(11), было бы слишком накладывать еще и начальное условие

д_{-}^{Дж} (т_{я}) знак равно 0. (\leftarrow Неправильный!)

$q^j_-(t_i)~=~0. \qquad (\leftarrow\text{Wrong!})$ Пример: если

L = \frac{1}{2} m {\dot{q}}^{2}

$L=\frac{1}{2}m\dot{q}^2$ , тогда

\tilde{L} = m {\dot{q}}_{+} {\dot{q}}_{-}

$\widetilde{L}=m\dot{q}_+\dot{q}_-$ , и следует добавить начальный член

m {\dot{q}}_{+} (t_{i}) q_{-} (t_{i})

$m\dot{q}_+(t_i)q_-(t_i)$ к действию

\tilde{S}

$\widetilde{S}$ .

Примечания на потом: подпись Минковского $(-,+,\ldots,+)$ . Преобразование Фурье: $\quad\widetilde{Q}(k)=\int\! d^dx ~e^{-ik\cdot x}Q(x)$ ; $\quad Q(x)=\int\! \frac{d^dk}{(2\pi)^d} e^{+ik\cdot x} \widetilde{Q}(k)$ ; Функции зелени: $\quad -(\Box-m^2)\Delta(x\!-\!y)=\delta^d(x\!-\!y)$ ; $\quad -(\Box-m^2)Q(x)=j(x)$ ; $\quad Q(x)=\int \! d^y~\Delta(x\!-\!y)j(y)$ ; $\quad \widetilde{Q}(k)=\widetilde{\Delta}(k)\widetilde{j}(k)$ ;
Свободная "ин-ин" акция Швингера-Келдыша: $\quad S_2- \int\! d^dx~{\cal L}_2 = -i\epsilon^2 \int\! d^dx~d^dy~Q_2(x)\Delta_+(x\!-\!y)Q_1(y)$ $= -i\epsilon^2 \int\! d^dx~d^dy~Q_1(x)\Delta_-(x\!-\!y)Q_2(y)$ ; $\quad S_2- \int\! d^dx~{\cal L}_2 = \frac{\epsilon}{\pi}{\rm PV}\int\! d^dx~d^dy~Q_+(x)\frac{1}{x^0-y^0}Q_-(y)$ $+\frac{i\epsilon^2}{4} \int\! d^dx~d^dy~Q_-(x)\Delta_1(x\!-\!y)Q_-(y)$ ; Билокальность в пространстве-времени.
Лагранжева плотность: $\quad{\cal L}_2 =-\frac{1}{2}\partial_{\mu}Q_1\partial^{\mu}Q_1 -\frac{1}{2}(m^2-i\epsilon)Q_1^2 +\frac{1}{2}\partial_{\mu}Q_2\partial^{\mu}Q_2 +\frac{1}{2}(m^2+i\epsilon)Q_2^2$ $=-\partial_{\mu}Q_+\partial^{\mu}Q_- -m^2Q_+Q_- +i\epsilon(Q_+^2+\frac{1}{4}Q_-^2)$ ; $\quad{\cal L}_2 =-\partial_{\mu}Q_+\partial^{\mu}Q_- -m^2Q_+Q_-$ ; $\quad\widetilde{\cal L}_2~\sim~ -\widetilde{Q}_+(k)(k^2+m^2+i\epsilon{\rm sgn}(k^0))\widetilde{Q}_-(-k)$ $~\sim~-\widetilde{Q}_-(k)(k^2+m^2-i\epsilon{\rm sgn}(k^0))\widetilde{Q}_+(-k)$ ; Почти локально/диагонально в импульсном пространстве.
переменные Келдыша: $\quad Q_+=\frac{Q_1+Q_2}{2}$ ; $\quad Q_-= Q_1-Q_2$ ; Поворот фитиля к сходящейся евклидовой формулировке кажется неясным. Упорядоченная по времени двухточечная функция по контуру интегрирования Келдыша: $\quad\langle TQ_1(x)Q_1(y)\rangle^{(0)}_{J=0}=\frac{\hbar}{i} \Delta_F(x\!-\!y)$ ; $\quad \langle Q_1(x)Q_2(y)\rangle^{(0)}_{J=0}=\hbar \Delta_-(x\!-\!y)$ ; $\quad \langle Q_2(x)Q_1(y)\rangle^{(0)}_{J=0}=\hbar \Delta_+(x\!-\!y)$ ; $\quad \langle AT~ Q_2(x)Q_2(y)\rangle^{(0)}_{J=0}=-\frac{\hbar}{i} \Delta_{AF}(x\!-\!y)$ ;
$\quad\langle Q_+(x)Q_+(y)\rangle^{(0)}_{J=0}= \frac{\hbar}{2}\Delta_1(x\!-\!y)$ ; $\quad\langle Q_+(x)Q_-(y)\rangle^{(0)}_{J=0}= \frac{\hbar}{i} \Delta_R(x\!-\!y)$ ; $\quad\langle Q_-(x)Q_+(y)\rangle^{(0)}_{J=0} =\frac{\hbar}{i} \Delta_A(x\!-\!y)$ ; $\quad \langle Q_-(x)Q_-(y)\rangle^{(0)}_{J=0} =0$ ; Функции зелени: $\quad\frac{1}{i}\Delta_F(x\!-\!y)=\theta(x^0\!-\!y^0)\Delta_+(x\!-\!y) +\theta(y^0\!-\!x^0)\Delta_-(x\!-\!y)$ ; $\quad-\frac{1}{i} \Delta_{AF}(x\!-\!y)=\theta(y^0\!-\!x^0)\Delta_+(x\!-\!y) +\theta(x^0\!-\!y^0)\Delta_-(x\!-\!y)$ ;
Преобразование Фурье: $\quad\widetilde{\Delta}_F(k) = \widetilde{\Delta}_E(k^0(\epsilon-i),\vec{k})$ $=\frac{1}{k^2+m^2-i\epsilon}$ $=\frac{1}{2\omega}\left(\frac{1}{k^0+\omega}+\frac{1}{-k^0+\omega}\right)$ $={\rm PV}\frac{1}{k^2+m^2} +i\pi \delta(k^2+m^2)$ $=\widetilde{\bar{\Delta}}(k)+\frac{i}{2}\widetilde{\Delta}_1(k)$ ; $\quad -\widetilde{\Delta}_{AF}(k)=\frac{-1}{k^2+m^2+i\epsilon}$ $=-{\rm PV}\frac{1}{k^2+m^2} +i\pi \delta(k^2+m^2)$ ; Функции Вайтмана: $\quad\widetilde{\Delta}_+(k) =\theta(k^0)~2\pi \delta(k^2+m^2)$ ; $\quad\widetilde{\Delta}_-(k) =\theta(-k^0)~2\pi \delta(k^2+m^2)$ ;
$\quad\widetilde{\Delta}_1(k)=2\pi \delta(k^2+m^2)$ ; $\quad\widetilde{\Delta}_C(k)={\rm sgn}(k^0)~2\pi \delta(k^2+m^2)$ ; $\quad\widetilde{\bar{\Delta}}(k)={\rm PV}\frac{1}{k^2+m^2}$ ; $\quad\Delta_1=\Delta_+ +\Delta_- =\frac{1}{i}(\Delta_F-\Delta_{AF})$ ; $\quad \Delta_C=\Delta_+ -\Delta_- =\frac{1}{i}(\Delta_R-\Delta_A)$ мнимый; $\quad \bar{\Delta}=\frac{\Delta_R+\Delta_A}{2}$ ;
Усовершенствованная/запоздалая функция зелени: $\quad\widetilde{\Delta}_{A/R}(k)=\frac{1}{-(k^0\mp i\epsilon)^2+ \vec{k}^2+m^2}$ $=\frac{1}{k^2+m^2\pm i\epsilon{\rm sgn}(k^0)}$ $={\rm PV}\frac{1}{k^2+m^2} \mp \frac{i}{2}\widetilde{\Delta}_C(k)$ ; $\quad\Delta_R(x\!-\!y) =i\theta(x^0\!-\!y^0)\Delta_C(x\!-\!y)$ настоящий; $\quad\Delta_A(x\!-\!y) =-i\theta(y^0\!-\!x^0)\Delta_C(x\!-\!y)$ настоящий;
Исходные двойные поля: $\quad {\bf \Delta}=\begin{pmatrix} \Delta_F &i\Delta_- \cr i\Delta_+ &-\Delta_{AF} \end{pmatrix}$ ; $\quad {\bf \Delta}^{-1}=\begin{pmatrix} \Delta_F^{-1} &i\epsilon^2\Delta_- \cr i\epsilon^2\Delta_+ &-\Delta_{AF}^{-1} \end{pmatrix}$ ; переменные Келдыша: $\quad {\bf \Delta}=\begin{pmatrix} \frac{i}{2}\Delta_1 &\Delta_R \cr \Delta_A &0 \end{pmatrix}$ ; $\quad {\bf \Delta}^{-1}=\begin{pmatrix} 0 &\Delta_A^{-1} \cr \Delta_R^{-1} &-\frac{i\epsilon^2}{2}\Delta_1\end{pmatrix}$ ;
2D евклидов безмассовый случай: $\quad \Delta_E(r)=-\frac{1}{2\pi}\ln(r)$ ; 1+1D безмассовый случай Минковского: $\quad \Delta_F(x,t) =i\Delta_E(x,(i+\epsilon)t)$ $=-\frac{i}{4\pi}{\rm Ln}(x^2\!-\!t^2+i\epsilon)$ $=-\frac{i}{4\pi}\ln|x^2\!-\!t^2|+\frac{1}{4}\theta(t^2\!-\!x^2)$ ; $\quad \Delta_{\pm}(x,t) =-\frac{1}{4\pi}{\rm Ln}(x^2\!-\!t^2\pm i\epsilon{\rm sgn}(t))$ $=-\frac{1}{4\pi}\ln|x^2\!-\!t^2| \mp\frac{i}{4}{\rm sgn}(t)\theta(t^2\!-\!x^2) =\Delta_{\mp}(-x,-t)$ ;
$\quad \Delta_1(x,t)=-\frac{1}{2\pi}\ln|x^2\!-\!t^2|$ ; $\quad \Delta_C(x,t)=-\frac{i}{2}{\rm sgn}(t)\theta(t^2\!-\!x^2)$ ; $\quad \Delta_R(x,t)=\frac{1}{2}\theta(t\!-\!|x|)$ ; $\quad \Delta_A(x,t)=\frac{1}{2}\theta(-t\!-\!|x|)$ ; $\quad \bar{\Delta}(x,t)=\frac{1}{4}\theta(t^2\!-\!x^2)$ ;
4D евклидов безмассовый случай: $\quad \Delta_E(r)=\frac{1}{4\pi^2r^2}$ ; 3+1D безмассовый случай Минковского: $\quad \Delta_F(r,t) =i\Delta_E(r,(i+\epsilon)t)$ $=\frac{i}{4\pi^2}\frac{1}{r^2-t^2+i\epsilon}$ $=\frac{i}{4\pi^2}\frac{r^2-t^2-i\epsilon}{(r^2-t^2)^2+\epsilon^2}$ $=\frac{i}{4\pi^2}{\rm PV}\frac{1}{r^2-t^2}+\frac{1}{4\pi}\delta(r^2\!-\!t^2)$ ; $\quad \Delta_{\pm}(r,t) =\frac{1}{4\pi^2}\frac{1}{r^2-t^2\pm i\epsilon{\rm sgn}(t)}$ $=\frac{1}{4\pi^2}{\rm PV}\frac{1}{r^2-t^2}\mp\frac{i}{4\pi}{\rm sgn}(t)\delta(r^2\!-\!t^2) =\Delta_{\mp}(r,-t)$ ;
$\quad \Delta_1(r,t)=\frac{1}{2\pi^2}{\rm PV}\frac{1}{r^2-t^2}$ ; $\quad \Delta_C(r,t) =-\frac{i}{2\pi}{\rm sgn}(t)\delta(r^2\!-\!t^2)$ ; $\quad \Delta_R(r,t) =\frac{1}{4\pi r}\delta(r-t)$ ; $\quad \Delta_A(r,t) =\frac{1}{4\pi r}\delta(r+t)$ ; $\quad \bar{\Delta}(r,t)=\frac{1}{4\pi}\delta(r^2\!-\!t^2)$ ;

WorldSEnder · Answer 2

Задача : решить ЕОМ

\ddot{Икс} + β \dot{Икс} + ю^{2} Икс знак равно ф (т)

$\ddot x + \beta \dot x + \omega^2 x = f(t)$

В качестве подхода будем использовать, кроме $x(t), \dot x(t)$ , два новых параметра $y(t), \dot y(t)$ .

Введем волшебным образом лагранжиан для этой вспомогательной системы

л (Икс, у, \dot{Икс}, \dot{у}, т) знак равно \dot{Икс} \dot{у} - β \dot{Икс} у - ю^{2} Икс у - (Икс + у) ф (т)

$L(x, y, \dot x, \dot y, t) = \dot x \dot y - \beta \dot x y - \omega^2 x y - (x + y) f(t)$

Важно отметить, что уравнения движения для этой системы

\frac{д}{д т} (\frac{\partial л}{\partial \dot{Икс}}) - \frac{\partial л}{\partial Икс} знак равно \ddot{у} - β \dot{у} + ж^{2} у - ф (т) знак равно 0 \frac{д}{д т} (\frac{\partial л}{\partial \dot{у}}) - \frac{\partial л}{\partial у} знак равно \ddot{Икс} + β \dot{Икс} + ж^{2} Икс - ф (т) знак равно 0

$\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot x} \right) - \frac{\partial L}{\partial x} = \ddot y - \beta \dot y + w^2 y - f(t) = 0\\ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot y} \right) - \frac{\partial L}{\partial y} = \ddot x + \beta \dot x + w^2 x - f(t) = 0$

Как видно, мы восстанавливаем уравнения движения для нашей исходной системы вместе со вспомогательной ЭОМ.

С этого момента все идет согласно теории гамильтоновой механики. Найдем обобщенные импульсы:

п_{Икс} знак равно \frac{\partial л}{\partial \dot{Икс}} знак равно \dot{у} - β у п_{у} знак равно \frac{\partial л}{\partial \dot{у}} знак равно \dot{Икс}

$p_x = \frac{\partial L}{\partial \dot x} = \dot y - \beta y\\ p_y = \frac{\partial L}{\partial \dot y} = \dot x$

И переписать лангранжиан как гамильтониан

ЧАС (Икс, у, п_{Икс}, п_{у}, т) знак равно п_{Икс} п_{у} + ю^{2} Икс у + β у п_{у} + (Икс + у) ф (т)

$H(x, y, p_x, p_y, t) = p_x p_y + \omega^2 x y + \beta y p_y + (x + y) f(t)$

Метод немного более общий, см. Консервативная теория возмущений для неконсервативных систем, которая познакомила меня с идеей вспомогательных параметров на примере осциллятора Ван дер Поля.

Насколько я вижу, этот метод должен хорошо работать, даже когда $x \in \mathbb R^n$ в этом случае вы бы также выбрали $y \in \mathbb R^n$ .

Лагранжево-гамильтонов EOM с диссипативной силой

пользователь56199

Ответы (2)

Qмеханик

Qмеханик

Qмеханик

Qмеханик

Qмеханик

Qмеханик

Qмеханик

Qмеханик

Qмеханик

Qмеханик

Qмеханик

Qмеханик

Qмеханик

Qмеханик

WorldSEnder

Лагранжев формализм и диссипативные системы [дубликаты]

Определяют ли стационарные гамильтонианы замкнутые системы?

Можем ли мы квантовать аристотелевскую физику?

Каковы причины исключения члена диссипативной энергии из гамильтониана при записи функции Ляпунова?

Можно ли обычным способом найти потенциальную функцию, если центральное поле по своей величине содержит ttt?

Независимость обобщенных координат и импульсов в гамильтоновой механике [дубликат]

Затухающий гармонический осциллятор НЕ является диссипативной системой?

Стационарный принцип действия осциллятора с позиционно-зависимым демпфированием

Чем полезен принцип Мопертюи?