Каковы причины исключения члена диссипативной энергии из гамильтониана при записи функции Ляпунова?

Question

Каковы причины исключения члена диссипативной энергии из гамильтониана при записи функции Ляпунова?

Адриан Пфайфл

У меня проблема с одним из моих учебных вопросов для устного экзамена:

Гамильтониан нелинейной механической системы, т. е. сумма кинетической и потенциальной энергий, часто используется как функция Ляпунова для управления положением и скоростью системы. Рассмотрим демпфированную систему с одной степенью свободы, $m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=0$ , где $m$ это масса, $c$ пропорциональное скорости демпфирование и $k$ является жесткость. Кандидатом в функцию Ляпунова является гамильтониан $V=\frac{1}{2}m\dot{x}^2+\frac{1}{2}kx^2$ . Каковы причины исключения члена диссипативной энергии при записи функции Ляпунова?

Единственное, что мне приходит в голову по этому вопросу, это то, что член диссипативной энергии в функции Ляпунова будет иметь знак «-», и, таким образом, функция Ляпунова больше не будет положительно определенной. Это верно?

Ответы (2)

Каковы причины исключения члена диссипативной энергии из гамильтониана при записи функции Ляпунова?

Qмеханик · Answer 1

1) При наличии трения уравнение Лагранжа модифицируется

\begin{matrix} (1) & \frac{г}{г т} (\frac{\partial л}{\partial \dot{Икс}}) - \frac{\partial л}{\partial Икс} "=" - \frac{\partial Ф}{\partial \dot{Икс}} \end{matrix}

$\tag{1} \frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right)-\frac{\partial L}{\partial x}~=~ -\frac{\partial{\cal F} }{\partial \dot{x}}$

по диссипационной функции Рэлея

\begin{matrix} (2) & Ф "=" \frac{1}{2} с {\dot{Икс}}^{2} \geq 0 . \end{matrix}

$\tag{2} {\cal F}~: =~ \frac{1}{2} c\dot{x}^2 ~\geq ~0 .$

Здесь лагранжиан

\begin{matrix} (3) & л "=" Т - В, Т "=" \frac{1}{2} м {\dot{Икс}}^{2} \geq 0, В "=" \frac{1}{2} к {Икс}^{2} \geq 0. \end{matrix}

$\tag{3} L~:=~T-V, \qquad T~:=~\frac{1}{2} m\dot{x}^2~\geq ~0, \qquad V~:=~\frac{1}{2} kx^2~\geq ~0.$

Невозможно написать зависящий от скорости потенциал для силы трения, и лагранжево (или гамильтоново) описание затухающего осциллятора должно быть изменено а-ля (1), чтобы учесть член трения, ср. например , этот и этот сообщения Phys.SE.

2) Энергетическая функция

\begin{matrix} (4) & час (Икс, \dot{Икс}) "=" \dot{Икс} \frac{\partial л}{\partial \dot{Икс}} - л "=" Т + В \geq 0 \end{matrix}

$\tag{4} h(x,\dot{x})~:=~ \dot{x} \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}-L ~=~T+V~\geq ~0$

есть именно механическая энергия системы.

Можно показать, что скорость диссипации энергии определяется функцией диссипации Рэлея

\begin{matrix} (5) & \frac{г час}{г т} "=" - 2 Ф \overset{(2)}{\leq} 0. \end{matrix}

$\tag{5} \frac{dh}{dt}~=~-2{\cal F} ~\stackrel{(2)}{\leq} ~0.$

Положительно полуопределенное (4) $h$ , а отрицательная полуопределенность (5) производной по времени $\frac{dh}{dt}$ являются одними из условий, которые обычно требуют от функции Ляпунова , и нетрудно видеть, что механическая энергия $h$ фактически является функцией Ляпунова для затухающего осциллятора.

С другой стороны, непонятно, как включить ${\cal F}$ в функции Ляпунова по причинам, изложенным выше.

Использованная литература:

Герберт Гольдштейн, Классическая механика, главы 1 и 2.

пользователь1409813 · Answer 2

Я не совсем уверен, что означает «термин диссипативной энергии», но я знаю, что вы не можете добавить ничего пропорционального $\dot{x}$ . Чтобы понять почему, просто возьмите точку рядом с $(x, \dot{x})=(0,0)$ точка. В окрестности этой точки $\dot{x}$ термин будет преобладать над $\dot{x}^2$ и либо точка $(0,\epsilon)$ или $(0,-\epsilon)$ даст отрицательное значение.

Каковы причины исключения члена диссипативной энергии из гамильтониана при записи функции Ляпунова?

Адриан Пфайфл

Ответы (2)

Qмеханик

пользователь1409813

Определяют ли стационарные гамильтонианы замкнутые системы?

Лагранжев формализм и диссипативные системы [дубликаты]

Лагранжево-гамильтонов EOM с диссипативной силой

Можно ли обычным способом найти потенциальную функцию, если центральное поле по своей величине содержит ttt?

Почему на цилиндре определено фазовое пространство простого маятника, а не T2T2\mathbb{T}^{2}?

Независимость обобщенных координат и импульсов в гамильтоновой механике [дубликат]

Затухающий гармонический осциллятор НЕ является диссипативной системой?

Чем полезен принцип Мопертюи?

Почему мы не можем приписать потенциал (возможно, зависящий от скорости) диссипативной силе?