Я пытаюсь решить следующее основное уравнение (также похожее на затухающий квантовый гармонический осциллятор):
др^дт"="Г2( 2а^р^а^†−а^†а^р^−р^а^†а^)
с начальным когерентным состоянием:
р^( 0 ) = | α ⟩ ⟨ α |
. Моя идея заключалась в том, чтобы использовать функцию Сударшана и D-алгебру Гилмора для записи дифференциального уравнения. Первым шагом является декомпозиция оператора матрицы плотности в когерентном базисе состояния:
р^( т ) = ∫д2β п( β, т ) | β⟩ ⟨ β|
и действовать с операторами, входящими в исходное уравнение:
а^р^а^†= ∫д2β | β|2п( β, т ) | β⟩ ⟨ β|
а^†а^р^= ∫д2β п( β, т ) β(β*+∂∂β) | β⟩ ⟨ β| =∫д2β | β⟩ ⟨ β| (β*−∂∂β) βп( β, т )
р^а^†а^= ∫д2β п( β, т )β*( β+∂∂β*) | β⟩ ⟨ β| =∫д2β | β⟩ ⟨ β| ( β−∂∂β*)β*п( β, т )
Наконец мы получаем:
∂п( β, т )∂т"="Г2( β∂∂β+β*∂∂β*+ 2 ) П( β, т )
Я почти уверен, что вывод правильный, потому что дифференциальное уравнение сохраняет единичный след, т.е.
ддтТр {р^( т ) } = ∫д2β ∂п( β, т )∂т"="Г2∫д2β (∂∂ββп( β, т ) +∂∂β*β*п( β, т ) ) = 0
Теперь моя идея заключалась в том, чтобы использовать возведение в степень и записать почти окончательное решение в виде:
п( β, т ) = ехр[ тГ2( β∂∂β+β*∂∂β*+ 2 ) ]дельта( 2 )( α − β)
а затем из определения дельта-функции
дельта( 2 )( α − β) =1π2∫д2η е− яη*(α*−β*)е− я η( α − β)
я могу написать
п( β, т ) =еГ т1π2∫д2η е− яη*α2етГ2β*∂β*еяη*β*×е− я ηαетГ2β∂βея ηβ"="еГ тдельта2( α − βет Г / 2)
Последний шаг можно найти
здесь . В конце я получаю
р ( т ) =еГ т| αе− т Г / 2⟩ ⟨ αе− т Г / 2|
Проблема в том, что он не сохраняет след, когда он растет до бесконечности. Любая идея, где я сделал ошибку?