Гармонический осциллятор, управляемый дельта-подобной силой Дирака

Question

Гармонический осциллятор, управляемый дельта-подобной силой Дирака

пользователь41430

Учтите, что для простоты нет демпфирования.

Как известно, движущей силой формы $\sin(\omega t)$ заставит генератор в установившемся режиме вибрировать на внешней частоте $\omega$ .

Как насчет силы формы $\delta(t-t')$ но распределены равномерно во времени? это называется гребенкой Дирака или последовательностью импульсов.

Сохранит ли он собственную частоту или будет вибрировать с частотой $1/T$ где $T$ период между импульсами?

Карл Виттофт

Скорее всего, вы получите полный ряд гармонических обертонов (

k * ω

$k*\omega$ ). Это может сильно зависеть от физической системы — поговорите об этом с музыкантами, так как перещипывание струны близко к дельта-функции.

Дану

Я почти уверен, что это должно быть точно решаемо (используйте функции Грина!), верно?

пользователь41430

МММ спасибо! Я думаю, что ответил сам себе: мысли о перетягивании гитары заставляют меня думать, что преобладает собственная частота, поскольку вы слышите один и тот же тон, даже если пережимаете струну с некоторой скоростью. Я также решил ДУ с помощью преобразований Фурье и получил что-то вроде sum(1/w)sin(w(tn)), так что это больше похоже на бесконечность волн на собственной частоте, только с другой фазой.

Брэндон Энрайт

@ user41430, если вы ответили на свой вопрос удовлетворительно, вы должны опубликовать ответ.

Ответы (2)

Гармонический осциллятор, управляемый дельта-подобной силой Дирака

Скорее всего, вы получите полный ряд гармонических обертонов ( $k*\omega$ ). Это может сильно зависеть от физической системы — поговорите об этом с музыкантами, так как перещипывание струны близко к дельта-функции.
Я почти уверен, что это должно быть точно решаемо (используйте функции Грина!), верно?
МММ спасибо! Я думаю, что ответил сам себе: мысли о перетягивании гитары заставляют меня думать, что преобладает собственная частота, поскольку вы слышите один и тот же тон, даже если пережимаете струну с некоторой скоростью. Я также решил ДУ с помощью преобразований Фурье и получил что-то вроде sum(1/w)sin(w(tn)), так что это больше похоже на бесконечность волн на собственной частоте, только с другой фазой.
@ user41430, если вы ответили на свой вопрос удовлетворительно, вы должны опубликовать ответ.

пользователь41430 · Answer 1

Ну наконец-то вытащил.

Я использовал функции Грина, и это было довольно просто,

Для гармонического осциллятора необходимо решить:

$(\frac{d^2}{dt^2} + 2b\frac{d}{dt} + \omega^2)G(t-t')= \delta(t-t')$

Решение для $t>t'$ :

г (т - т^{'}) "=" е Икс п (- б (т - т^{'})) \frac{грех (ю^{'} (т - т^{'}))}{ю^{'}}

$G(t-t')= exp(-b(t-t'))\frac{\sin(\omega'(t-t'))}{\omega'}$

где $\omega' = \sqrt{\omega^2-b^2}$

Решение:

у (т) "=" \int ф (т^{'}) е Икс п (- б (т - т^{'})) \frac{грех (ю^{'} (т - т^{'}))}{ю^{'}} г т^{'}

$y(t)= \int{f(t')exp(-b(t-t'))\frac{\sin(\omega'(t-t'))}{\omega'}dt'}$

С использованием $f(t) = \sum{\delta(t-nT)}$ интеграл становится очень простым, и вы можете поменять местами сумму и интеграл, поскольку сумма не зависит от t':

Окончательно:

у (т) "=" \sum е Икс п (- б (т - н Т)) \frac{грех (ю^{'} (т - н Т))}{ю^{'}}

$y(t)= \sum{exp(-b(t-nT))\frac{\sin(\omega'(t-nT))}{\omega'}}$

Итак, что мы получили, так это столько синусоидальных функций, сколько дельта-дираков у гребенки, и вибрация с собственной частотой (прямо как гитара), независимо от того, защипываете ли вы ее с определенной частотой.

Крис Мюллер · Answer 2

Величина передаточной функции (количество вибрации против количества возбуждения) гармонического осциллятора с демпфированием показана ниже (из этой статьи в Википедии ). Дельта -функция Дирака имеет белый цвет в частотной области; это означает, что он имеет одинаковое возбуждение на всех частотах. Итак, движение гармонического осциллятора — это просто произведение белого шума на передаточную функцию. Как вы догадались, в отклике будет преобладать резонансная частота генератора.

Демпфирование заставит движение затухать со временем, поэтому попадание в него последовательности импульсов даст обертоны на частоте импульсов и их гармониках. Сила обертонов будет зависеть от силы демпфирования и силы импульсов.

Гармонический осциллятор TF

Если это гребенка Дирака, т.е. $\sum_n \delta(t - n T)$ , то спектр точно не будет белым.

Гармонический осциллятор, управляемый дельта-подобной силой Дирака

пользователь41430

Карл Виттофт

Дану

пользователь41430

Брэндон Энрайт

Ответы (2)

пользователь41430

Крис Мюллер

Уэбб

Долгосрочное решение для управляемого гармонического генератора

Как я могу получить решение гармонического осциллятора с недостаточным демпфированием?

Общее решение системы массовых пружин

Этот осциллятор управляется?

Как найти фазовую постоянную с учетом амплитуды и угловой частоты?

Нахождение резонансной частоты вынужденных затухающих колебаний

Нахождение периода ангармонического колебания путем подстановки решения для СГМ

Затухающий квантовый гармонический осциллятор - эволюция когерентного состояния

Каков период времени работы осциллятора с переменной жесткостью пружины?

Положение двух блоков, соединенных пружиной, в зависимости от времени