Зависит ли локальная физика от глобальной топологии?

Хорошо, давайте начнем с вашего примера. Я думаю, что это слишком патологически, чтобы рассматривать его как безопасную отправную точку для этой дискуссии, которая, тем не менее, стоит и интересна. Тем не менее, я хотел бы остановиться на этом случае, поскольку он позволяет ввести некоторые общие вопросы, полезные во второй части моего ответа.

AdS_n не является глобально гиперболическим . Глобально гиперболический, более или менее, означает, что существуют пространственно-подобные гладкие поверхности, называемые поверхностями Коши ., где задание начальных данных обеспечивает как существование, так и единственность решения любого уравнения поля гиперболического типа (линейного или почти линейного) для полей, распространяющихся в рассматриваемом пространстве-времени. Эта неудача AdS_n связана с парой патологий: (1) существованием замкнутых времениподобных кривых и (2) отсутствием поверхностей Коши. Первая очень сильна, так как не позволяет построить хорошо работающую классическую теорию поля. Например, очень трудно определить элементарные орудия как передовые, отсталые и каузальные распространители. Я не говорю, что нет возможности распространить эти общие представления на этот случай, я скорее говорю, что физическая интерпретация результатов сомнительна. Как вы предлагаете, можно развернуть направление времени, перейдя на универсальное покрытие и избавившись от (1). Однако проблема (2) остается. Тем не менее стандартный формализм, справедливый для глобально гиперболических пространств-времен, можно распространить и на этот случай. На самом деле, это было сделано в прошлом несколькими авторами (в частности, я помню довольно длинную и подробную статью Боба Уолда по этим вопросам). Но этот путь ведет только к одному пространству-времени, а не к паре пространств-времен с разными глобальными топологиями, поэтому ваш вопрос здесь больше не поднимается.

Отказываясь от пространства-времени AdS и придерживаясь всего класса глобально гиперболических пространств-времен, имеет смысл, однако, спросить, может ли глобальная топология повлиять на локальные квантовые свойства. Если$M$такое пространство-время, его топология, как известно, всегда имеет вид$R \times S$, куда$S$является пространственноподобным подмногообразием, диффеоморфным каждой поверхности Коши в$M$. (Обратите внимание, что метрика не разделяется, как это делает топология, поэтому$M$диффеоморфен$R\times S$но, вообще говоря, не изометричен ему.) Ввиду топологии именно этого произведения ваш вопрос касается топологии$S$: возможно ли, что его топология локально влияет на квантовые поля? Например, мы можем рассмотреть пару глобально гиперболических пространств-времен, соответствующие топологии которых$R\times S$а также$R \times \widetilde{S}$, куда$\widetilde{S}$обозначает универсальное накрытие многосвязного многообразия$S$.

На мой взгляд ответ ДА. Однако, чтобы ответить, мы должны четко различать свойства квантовых наблюдаемых и свойства квантовых состояний. Действительно, ответ положительный только в отношении второго класса объектов.

Квантовые наблюдаемые — это, грубо говоря, квантовые поля . Я включаю в эту категорию такие вещи, как перенормированные объекты как многочлены Вика.$\phi^n(x)$(или подобные, более сложные, локальные объекты, обладающие такими свойствами, как вращение и заряд). Процедура УФ-перенормировки для квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени (поэтому метрика входит в уравнения поля, но остается классическим полем) может быть выполнена без обращения к эталонному состоянию, как это было установлено в последнее десятилетие с использованием алгебраического подхода . Это было сделано путем распространения так называемого подхода Эпштейна-Глейзера к перенормировке пространства-времени Минковского на общее глобально гиперболическое пространство-время. (Очевидно, процедура сводится к стандартной в пространстве-времени Минковского.) Полученные таким образом наблюдаемые, вообще говоря, локально ковариантны . Это значит, что если вам дана пара пространств-временей,$M$а также$M'$, такой, что$M$может быть изометрически вложен в$M'$ сохраняя каузальные структуры и временные ориентиры , а также алгебру квантовых наблюдаемых$M$оказывается заложенным в том, что$M'$через подходящий морфизм$^*$-алгебры. Другими словами, мы не можем различать квантовые наблюдаемые$M$а также$M'$если смотреть на$M$, просмотр пространства-времени$M$как субрегион$M'$или по своему праву. Стоит подчеркнуть, что все неоднозначности УФ-перенормировки охватываются некоторыми терминами, зависящими только от локальных кривизн, поэтому даже перенормировка локальных наблюдаемых не может помочь положительно ответить на ваш вопрос.

Остается сосредоточиться на состояниях. Допустимые состояния (те, которые допускают пертурбативную процедуру перенормировки) — это так называемые состояния Адамара . На практике они определяются требованием, чтобы они были гауссовского типа (так что двухточечная функция определяет весь класс n-точечных функций) и чтобы их структура на коротких расстояниях напоминала структуру вакуума Минковского. (Существует гораздо более полезная с технической точки зрения характеристика, возникающая из микролокального анализа, но здесь она неуместна.) Подчеркну, что ограничение на короткие расстояния фиксирует только УФ-сингулярность с точки зрения локальной геометрии, в то время как остальная часть состояния свободен и , следовательно, чувствителен к глобальной топологии пространства-времени.Существует огромный класс состояний Адамара для данного пространства-времени. Когда кто-то вычисляет такие объекты, как$<\phi^2(x)>$, УФ-расхождения удаляются вычитанием универсального УФ-расхождения состояний Адамара, которое зависит только от локальной геометрии. Следовательно, на этом этапе могут проявиться глобальные эффекты. Например, если вы рассматриваете пространство-время Минкоски$M = R \times R^3$и другое пространство-время$M'$получается путем отождествления противоположных граней 3-куба в$R^3$, у вас есть пара глобально гиперболических пространств-времен, которые локально идентичны. Таким образом, УФ-расхождения состояния Адамара совпадают.$M$а также$M'$допускают соответствующую пару предпочтительных гауссовских состояний Адамара для вещественного скалярного поля Клейна-Гордона, выделяемых свойством инвариантности относительно полного класса изометрий соответствующего пространства-времени и тем, что они являются основными состояниями по отношению к гамильтониану оператор, связанный с естественным (изометрическим) понятием временной эволюции. Эти состояния представляют собой, соответственно, стандартный вакуум Минковского$< >_M$и подобное состояние в$M'$,$< >_{M'}$, полученный от первого использования, например, метода изображений . Если вы вычислите$<\phi^2(x)>_M$а также$<\phi^2(x)>_{M'}$вы получите два разных значения, даже если вычтите одно и то же расхождение. Разница учитывает глобальные топологические свойства. Эти различия каким-то образом связаны с эффектом Казимира, если рассматривать тензор энергии напряжения вместо$\phi^2$.