Два набора координат в системах ООО и О'О' О' (преобразование Лоренца)

Ответ ДА . Это правда, что система координат (u′,v′,w′) связана с (x′,y′,z′) также ортонормированной матрицей A, по крайней мере, при преобразованиях Лоренца, используемых в дальнейшем. Но, пожалуйста, давайте использовать другие символы (например, принято использовать$\;\upsilon\;$для алгебраической величины скорости$\:\mathbf{v}=\upsilon\mathbf{n}\:$).

РАЗДЕЛ А: Ответ ДА.

Пусть две системы координат$\;Ox_1 x_2 x_3 t \;$и$\;O^{\boldsymbol{\prime}}x_1^{\boldsymbol{\prime}}x_2^{\boldsymbol{\prime}}x_3^{\boldsymbol{\prime}}t^{\boldsymbol{\prime}}\;$с 4-векторами соответственно

$$\begin{equation} \mathbf{X} = \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ ct\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \\ \mathbf{x}\\ \\ ct\\ \end{bmatrix} \quad , \quad \mathbf{X}^{\boldsymbol{\prime}} = \begin{bmatrix} x_1^{\boldsymbol{\prime}}\\ x_2^{\boldsymbol{\prime}}\\ x_3^{\boldsymbol{\prime}}\\ x_4^{\boldsymbol{\prime}}\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1^{\boldsymbol{\prime}}\\ x_2^{\boldsymbol{\prime}}\\ x_3^{\boldsymbol{\prime}}\\ ct^{\boldsymbol{\prime}}\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \\ \mathbf{x}^{\boldsymbol{\prime}}\\ \\ ct^{\boldsymbol{\prime}}\\ \end{bmatrix} \tag{A-01} \end{equation}$$

Система$\;O^{\boldsymbol{\prime}}x_1^{\boldsymbol{\prime}}x_2^{\boldsymbol{\prime}}x_3^{\boldsymbol{\prime}}t^{\boldsymbol{\prime}}\;$движется со скоростью$\:\mathbf{v}=\upsilon\mathbf{n}=\upsilon\left(n_1,n_2,n_3\right)$,$\:\upsilon \in \left(-c,+c\right)\:$, относительно$\;Ox_1 x_2 x_3 t \;$поэтому они связаны преобразованием Лоренца$\:\Bbb{L}\left(\mathbf{v}\right)\:$, функция$\: \mathbf{v}\:$:

$$\begin{equation} \mathbf{X}^{\boldsymbol{\prime}}=\Bbb{L}\left(\mathbf{v}\right)\mathbf{X} \tag{A-02} \end{equation}$$

Мы будем использовать такое преобразование Лоренца, где для обратного

$$\begin{equation} \Bbb{L}^{-1}\left(\mathbf{v}\right)=\Bbb{L}\left(-\mathbf{v}\right) \tag{A-03} \end{equation}$$

Предположим теперь, что система координат$\;Ox_1 x_2 x_3 t \;$претерпевает превращение в$\;Ow_1 w_2 w_3 t \;$вращением

$$\begin{equation} \mathbf{W}= \Bbb{A}\mathbf{X}= \begin{bmatrix} & \\ \rm{A} & \boldsymbol{0} \\ & \\ \boldsymbol{0}^{\rm{T}} & 1 \end{bmatrix} \mathbf{X} \tag{A-04} \end{equation}$$ где $\:\rm{A}$"=" $\:3\times 3\:$матрица вращения, $\: \boldsymbol{0}\:$в $\:3\times 1\:$ нулевой вектор-столбец и $\: \boldsymbol{0}^{\rm{T}} \:$его транспонированный $\:1\times 3\:$ нулевой вектор строки

$$\begin{equation} \boldsymbol{0}= \begin{bmatrix} 0\\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \quad , \quad \boldsymbol{0}^{\rm{T}}= \begin{bmatrix} 0&0&0 \end{bmatrix} \tag{A-05} \end{equation}$$

Теперь пусть система$\;Ow_1^{\boldsymbol{\prime}} w_2^{\boldsymbol{\prime}} w_3^{\boldsymbol{\prime}} t^{\boldsymbol{\prime}} \;$движется с той же скоростью относительно$\;Ow_1 w_2 w_3 t \;$как$\;O^{\boldsymbol{\prime}}x_1^{\boldsymbol{\prime}}x_2^{\boldsymbol{\prime}}x_3^{\boldsymbol{\prime}}t^{\boldsymbol{\prime}}\;$в отношении$\;Ox_1 x_2 x_3 t \;$. Затем

$$\begin{equation} \mathbf{W}^{\boldsymbol{\prime}}=\Bbb{L}\left(\rm{A}\mathbf{v}\right)\mathbf{W} \tag{A-06} \end{equation}$$

где аргумент скорости преобразования Лоренца теперь равен$\:\rm{A}\mathbf{v}\:$как видно$\;Ow_1 w_2 w_3 t \;$и не$\:\mathbf{v}\:$как видно$\;Ox_1 x_2 x_3 t \;$.

Из уравнений (А-02), (А-03), (А-04) и (А-06) отношение$\:\mathbf{W}^{\boldsymbol{\prime}}\:$и$\:\mathbf{X}^{\boldsymbol{\prime}}\:$является

$$\begin{equation} \mathbf{W}^{\boldsymbol{\prime}}=\Bbb{L}\left(\rm{A}\mathbf{v}\right)\mathbf{W}=\Bbb{L}\left(\rm{A}\mathbf{v}\right)\Bbb{A}\mathbf{X}=\Bbb{L}\left(\rm{A}\mathbf{v}\right)\Bbb{A}\Bbb{L}\left(-\mathbf{v}\right)\mathbf{X}^{\boldsymbol{\prime}}=\Bbb{A}^{\boldsymbol{\prime}}\mathbf{X}^{\boldsymbol{\prime}} \tag{A-07} \end{equation}$$ где $$\begin{equation} \Bbb{A}^{\boldsymbol{\prime}}=\Bbb{L}\left(\rm{A}\mathbf{v}\right)\cdot\Bbb{A}\cdot\Bbb{L}\left(-\mathbf{v}\right) \tag{A-08} \end{equation}$$ Вопрос в том, если $$\begin{equation} \Bbb{A}^{\boldsymbol{\prime}}\equiv \Bbb{A} \quad \textbf{(???)} \tag{A-09} \end{equation}$$ в этом случае (A-08) выражается как $$\begin{equation} \Bbb{A}\cdot\Bbb{L}\left(\mathbf{v}\right)=\Bbb{L}\left(\rm{A}\mathbf{v}\right)\cdot\Bbb{A} \quad \textbf{(???)} \tag{A-10} \end{equation}$$

Мы будем использовать следующий вид преобразований Лоренца, см. РАЗДЕЛ B , уравнения (B-27), (B-28).

$$\begin{equation} \Bbb{L}(\mathbf{v})= \begin{bmatrix} &1+(\gamma-1)n_1^{2}&(\gamma-1)n_1n_2&(\gamma-1)n_1n_3&-\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}n_1&\\ &&&&&\\ &(\gamma-1)n_2n_1&1+(\gamma-1)n_2^{2}&(\gamma-1)n_2n_3&-\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}n_2&\\ &&&&&\\ &(\gamma-1)n_3n_1&(\gamma-1)n_3n_2&1+(\gamma-1)n_3^{2}&-\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}n_3&\\ &&&&&\\ &-\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}n_1&-\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}n_2&-\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}n_3&\gamma& \end{bmatrix} \tag{A-11} \end{equation}$$ и в блочной форме $$\begin{equation} \Bbb{L}(\mathbf{v})= \begin{bmatrix} &I+(\gamma-1)\mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}} &\hspace{5mm} -\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\mathbf{n}&\\ &&&\\ &-\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\mathbf{n}^{\rm{T}} &\hspace{5mm}\gamma&\\ \end{bmatrix} \tag{A-12} \end{equation}$$

где$\:\mathbf{n}\:$а$\:3\times 1\:$единичный вектор-столбец и$\: \mathbf{n}^{\rm{T}} \:$его транспонированный$\:1\times 3\:$единичный вектор-строка

$$\begin{equation} \mathbf{n}= \begin{bmatrix} n_1\\ n_2 \\ n_3 \end{bmatrix} \quad , \quad \mathbf{n}^{\rm{T}}= \begin{bmatrix} n_1&n_2&n_3 \end{bmatrix} \tag{A-13} \end{equation}$$ и $\:\mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}}\:$линейное преобразование, векторная проекция на направление $\:\mathbf{n}\:$ $$\begin{equation} \mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}}= \begin{bmatrix} n_1\\ n_2 \\ n_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} n_1&n_2&n_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} n_1^{2} & n_1 n_2 & n_1 n_3\\ n_2 n_1 & n_2^{2} & n_2 n_3\\ n_3 n_1 & n_3 n_2 & n_3^{2} \end{bmatrix} \tag{A-14} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \Bbb{L}^{-1}\left(\mathbf{v}\right)=\Bbb{L}\left(-\mathbf{v}\right)= \begin{bmatrix} &I+(\gamma-1)\mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}} &\hspace{5mm} +\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\mathbf{n}&\\ &&&\\ &+\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\mathbf{n}^{\rm{T}} &\hspace{5mm}\gamma&\\ \end{bmatrix} \tag{A-15} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \Bbb{L}(\rm{A}\mathbf{v})= \begin{bmatrix} &I+(\gamma-1)\rm{A} \mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}}\rm{A}^{\rm{T}} &\hspace{5mm} -\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\rm{A}\mathbf{n}&\\ &&&\\ &-\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\mathbf{n}^{\rm{T}}\rm{A}^{\rm{T}} &\hspace{5mm}\gamma&\\ \end{bmatrix} \tag{A-16} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \Bbb{A}\cdot\Bbb{L}\left(-\mathbf{v}\right)= \begin{bmatrix} & \\ \rm{A} & \boldsymbol{0} \\ & \\ \boldsymbol{0}^{\rm{T}} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} &I+(\gamma-1)\mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}} &\hspace{5mm} +\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\mathbf{n}&\\ &&&\\ &+\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\mathbf{n}^{\rm{T}} &\hspace{5mm}\gamma&\\ \end{bmatrix} \nonumber \end{equation}$$

$$\begin{equation} \Bbb{A}\cdot\Bbb{L}\left(-\mathbf{v}\right)= \begin{bmatrix} &\rm{A}+(\gamma-1)\rm{A}\mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}} &\hspace{5mm} +\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\rm{A}\mathbf{n}&\\ &&&\\ &+\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\mathbf{n}^{\rm{T}} &\hspace{5mm}\gamma&\\ \end{bmatrix} \tag{A-17} \end{equation}$$

$$\begin{align} &\Bbb{L}(\rm{A}\mathbf{v})\cdot\Bbb{A}\cdot\Bbb{L}\left(-\mathbf{v}\right)= \nonumber\\ &\begin{bmatrix} &I+(\gamma-1)\rm{A} \mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}}\rm{A}^{\rm{T}} &\hspace{5mm} -\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\rm{A}\mathbf{n}&\\ &&&\\ &-\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\mathbf{n}^{\rm{T}}\rm{A}^{\rm{T}} &\hspace{5mm}\gamma&\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} &\rm{A}+(\gamma-1)\rm{A}\mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}} &\hspace{5mm} +\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\rm{A}\mathbf{n}&\\ &&&\\ &+\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\mathbf{n}^{\rm{T}} &\hspace{5mm}\gamma&\\ \end{bmatrix} \nonumber\\ &= \begin{bmatrix} & \\ \rm{A}^{\boldsymbol{\prime}} & \boldsymbol{\rho} \\ & \\ \boldsymbol{\sigma}^{\rm{T}} & a \end{bmatrix} \tag{A-18} \end{align}$$ С $\:\rm{A}\rm{A}^{\rm{T}}=I=\rm{A}^{\rm{T}}\rm{A}\:$и $\:\mathbf{n}^{\rm{T}}\mathbf{n}=1\:$

$$\begin{equation} a=\left(-\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\mathbf{n}^{\rm{T}}\rm{A}^{\rm{T}}\right)\left(+\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\rm{A}\mathbf{n}\right)+\gamma^{2}=-\left(\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\right)^{2}\mathbf{n}^{\rm{T}}\rm{A}^{\rm{T}}\rm{A} \mathbf{n}+\gamma^{2}=1 \tag{A-19} \end{equation}$$

$$\begin{align} \boldsymbol{\rho}&=\left[I+(\gamma-1)\rm{A} \mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}}\rm{A}^{\rm{T}}\right]\left(+\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\rm{A}\mathbf{n}\right)-\dfrac{\gamma^{2}\upsilon}{c}\rm{A}\mathbf{n} \nonumber\\ &=\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\rm{A}\mathbf{n}+\gamma(\gamma-1)\dfrac{\upsilon}{c}\rm{A} \mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}}\rm{A}^{\rm{T}} \rm{A} \mathbf{n}-\dfrac{\gamma^{2}\upsilon}{c}\rm{A}\mathbf{n}=\boldsymbol{0} \tag{A-20} \end{align}$$ $$\begin{align} \boldsymbol{\sigma}^{\rm{T}}&=\left(-\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\mathbf{n}^{\rm{T}}\rm{A}^{\rm{T}}\right)\left[\rm{A}+(\gamma-1)\rm{A}\mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}}\right]+\dfrac{\gamma^{2}\upsilon}{c}\mathbf{n}^{\rm{T}} \nonumber\\ &=-\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\mathbf{n}^{\rm{T}}\rm{A}^{\rm{T}}\rm{A}-\gamma(\gamma-1)\dfrac{\upsilon}{c}\mathbf{n}^{\rm{T}}\rm{A}^{\rm{T}}\rm{A}\mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}}+\dfrac{\gamma^{2}\upsilon}{c}\mathbf{n}^{\rm{T}}=\boldsymbol{0}^{\rm{T}} \tag{A-21} \end{align}$$ и наконец $$\begin{align} \rm{A}^{\boldsymbol{\prime}}&=\left[I+(\gamma-1)\rm{A} \mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}}\rm{A}^{\rm{T}}\right]\left[\rm{A}+(\gamma-1)\rm{A}\mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}}\right]+\left(-\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\rm{A}\mathbf{n}\right)\left(+\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\mathbf{n}^{\rm{T}}\right) \nonumber\\ &=\rm{A}+(\gamma-1)\rm{A}\mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}}+(\gamma-1)\rm{A} \mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}}\rm{A}^{\rm{T}}\rm{A}+(\gamma-1)^{2}\rm{A} \mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}}\rm{A}^{\rm{T}}\rm{A}\mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}}-\left(\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\right)^{2}\rm{A}\mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}} \nonumber\\ &=\rm{A}+2(\gamma-1)\rm{A}\mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}}+(\gamma-1)^{2}\rm{A} \mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}}-\left(\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\right)^{2}\rm{A}\mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}}=\rm{A} \tag{A-22} \end{align}$$ Таким образом, уравнения (A-09) и (A-10) справедливы. $$\begin{equation} \Bbb{A}^{\boldsymbol{\prime}}\equiv \Bbb{A} \tag{A-09$^{\boldsymbol{\prime}}$} \end{equation}$$ $$\begin{equation} \Bbb{A}\cdot\Bbb{L}\left(\mathbf{v}\right)=\Bbb{L}\left(\rm{A}\mathbf{v}\right)\cdot\Bbb{A} \tag{A-10$^{\boldsymbol{\prime}}$} \end{equation}$$

---

РАЗДЕЛ B : Преобразование Лоренца, уравнения (A-11) и (A-12).

На рисунке выше показана так называемая Стандартная конфигурация. Система$\:O^{\boldsymbol{\prime}}x^{\boldsymbol{\prime}}y^{\boldsymbol{\prime}}z^{\boldsymbol{\prime}}t^{\boldsymbol{\prime}}\:$движется со скоростью$\: \mathbf{v}_{o}=\upsilon\mathbf{e}_1\:$,$\:\upsilon \in \left(-c,+c\right)\:$, относительно$\:Oxyzt\:$вдоль их общего$\:x$-ось.

Используя четыре вектора

$$\begin{equation} \mathbf{R} = \begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ ct\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \\ \mathbf{r}\\ \\ ct\\ \end{bmatrix} \quad , \quad \mathbf{R}^{\boldsymbol{\prime}} = \begin{bmatrix} x^{\boldsymbol{\prime}}\\ y^{\boldsymbol{\prime}}\\ z^{\boldsymbol{\prime}}\\ ct^{\boldsymbol{\prime}}\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \\ \mathbf{r}^{\boldsymbol{\prime}}\\ \\ ct^{\boldsymbol{\prime}}\\ \end{bmatrix}\\ \tag{B-01} \end{equation}$$ LT для стандартной конфигурации $$\begin{equation} \begin{bmatrix} x^{\boldsymbol{\prime}}\\ \\ y^{\boldsymbol{\prime}}\\ \\ z^{\boldsymbol{\prime}}\\ \\ ct^{\boldsymbol{\prime}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} &\gamma&0&0&-\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}&\\ &&&&&\\ &0&\ \ 1\ \ \ &\ \ \ 0\ \ &0&\\ &&&&&\\ &0&0&1&0&\\ &&&&&\\ &-\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}&0&0&\gamma &\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ \\ y\\ \\ z\\ \\ ct \end{bmatrix} \tag{B-02} \end{equation}$$ или $$\begin{equation} \mathbf{R}^{'} =\ \Bbb{B}\ \mathbf{R}\\ \tag{B-03} \end{equation}$$ где $\ \Bbb{B}\ $представляет собой матричное представление LT 4x4 между двумя системами в стандартной конфигурации. $$\begin{equation} \Bbb{B}(\upsilon)\ =\ \begin{bmatrix} &\gamma&0&0&-\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}&\\ &&&&&\\ &0&\ \ 1\ \ \ &\ \ \ 0\ \ &0&\\ &&&&&\\ &0&0&1&0&\\ &&&&&\\ &-\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}&0&0&\gamma &\\ \end{bmatrix} \tag{B-04} \end{equation}$$ Понятно, что $\Bbb{B}$является функцией действительного скалярного параметра скорости $\upsilon$. Параметр скорости $\upsilon$не обязательно норма вектора скорости, т. е. неотрицательна. Отрицательные значения означают перевод в сторону отрицательных значений оси $Ox$.

Также$\:\gamma\:$это известный фактор

$$\begin{equation} \gamma\ \stackrel{\text{def}}{\equiv} \ \left(1-\frac{\upsilon^2}{c^{2}}\right)^{-\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{\upsilon^2}{c^{2}}}}\\ \tag{B-05} \end{equation}$$

Мы должны отметить в этот момент, что$\ \Bbb{B}\ $имеет 3 основных свойства: (1) он симметричен (2) его инверсия совпадает с перевернутой$\upsilon$и (3) определитель единицы:

$$\begin{equation} \Bbb{B}^{\rm{T}}(\upsilon)=\Bbb{B}(\upsilon)\quad, \quad \Bbb{B}^{-1}(\upsilon)=\Bbb{B}(-\upsilon)\quad, \quad \det{\Bbb{B}(\upsilon)}=1 \tag{B-06} \end{equation}$$ Чтобы сделать стандартную конфигурацию более общей, она не ограничивается скоростями, параллельными общей оси. $\ Ox\equiv Ox^{'}$, делаем поворот $\;S\;$пространственной системы координат от $\ (x,y,z)\equiv\mathbf{r}\ $к $\ (x_1,x_2,x_3)\equiv\mathbf{x}\ $так что скорость $$\begin{equation} \mathbf{v}_{0}=(\upsilon,0,0)=\upsilon(1,0,0)=\upsilon \mathbf{e}_{1} \tag{B-07} \end{equation}$$ системы $\ O^{'}x^{'}y^{'}z^{'}\ $относительно $\ Oxyz\ $, трансформироваться в $$\begin{equation} \mathbf{v}=(\upsilon_1,\upsilon_2,\upsilon_3)=\upsilon(n_1,n_2,n_3)=\upsilon \mathbf{n} \tag{B-08} \end{equation}$$ где $\ \mathbf{n}=(n_1,n_2,n_3)\ $является единичным вектором. Чтобы система пространственных координат оставалась ортонормированной, мы выбираем любую ортогональную матрицу $\;S\;$с положительным единичным определителем: $$\begin{equation} S=\begin{bmatrix} &s_{11}&s_{12}&s_{13}&\\ &s_{21}&s_{22}&s_{23}&\\ &s_{31}&s_{32}&s_{33}& \end{bmatrix} \tag{B-09} \end{equation}$$

Так как мы должны иметь

$$\begin{equation} S\mathbf{v}_{0}=\mathbf{v} \tag{B-10} \end{equation}$$ или $$\begin{equation} \begin{bmatrix} &s_{11}&s_{12}&s_{13}&\\ &s_{21}&s_{22}&s_{23}&\\ &s_{31}&s_{32}&s_{33}& \end{bmatrix} \begin{bmatrix} &1&\\ &0&\\ &0& \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} &n_1&\\ &n_2&\\ &n_3& \end{bmatrix} \tag{B-11} \end{equation}$$ затем $$\begin{equation} \begin{bmatrix} &s_{11}&\\ &s_{21}&\\ &s_{31}& \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} &n_1&\\ &n_2&\\ &n_3& \end{bmatrix} \tag{B-12} \end{equation}$$ Строки или столбцы $\;S\;$составляют правую ортонормированную систему, поэтому $$\begin{equation} SS^{\rm{T}}=I=S^{\rm{T}}S \tag{B-13} \end{equation}$$ и $$\begin{equation} S^{-1}=S^{\rm{T}} \tag{B-14} \end{equation}$$ The $4\times4$матрица в блочной форме $$\begin{equation} \Bbb{S}\ =\ \begin{bmatrix} & S &\mathbf{0}&\\ &&&\\ &\mathbf{0}^{\rm{T}}&\ \ 1\ \ \ &\\ \end{bmatrix} \tag{B-15} \end{equation}$$ где, как и в определениях (A-05) $$\begin{equation} \boldsymbol{0}= \begin{bmatrix} 0\\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \quad , \quad \boldsymbol{0}^{\rm{T}}= \begin{bmatrix} 0&0&0 \end{bmatrix} \tag{A-05} \end{equation}$$

Вот если в акцентированной системе$\ O^{\boldsymbol{\prime}}x^{\boldsymbol{\prime}}y^{\boldsymbol{\prime}}z^{\boldsymbol{\prime}}\ $такое же точно пространственное преобразование$\;S\;$используется из$\ (x^{\boldsymbol{\prime}},y^{\boldsymbol{\prime}},z^{\boldsymbol{\prime}})\equiv\mathbf{r}\ $к$\ (x_1^{\boldsymbol{\prime}},x_2^{\boldsymbol{\prime}},x_3^{\boldsymbol{\prime}})\equiv\mathbf{x}^{\boldsymbol{\prime}}\ $затем

$$\begin{equation} \mathbf{X} = \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \\ \mathbf{x}\\ \\ ct \end{bmatrix} =\Bbb{S}\mathbf{R}= \begin{bmatrix} \\ S\mathbf{r}\\ \\\ ct \end{bmatrix} \quad , \quad \mathbf{X}^{\boldsymbol{\prime}} = \begin{bmatrix} x_1^{\boldsymbol{\prime}}\\ x_2^{\boldsymbol{\prime}}\\ x_3^{\boldsymbol{\prime}}\\ x_4^{\boldsymbol{\prime}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \\ \mathbf{x}^{\boldsymbol{\prime}}\\ \\ ct^{\boldsymbol{\prime}}\\ \end{bmatrix} =\Bbb{A}\mathbf{R}^{\boldsymbol{\prime}}= \begin{bmatrix} \\ S\mathbf{r}^{\boldsymbol{\prime}}\\ \\ ct^{\boldsymbol{\prime}}\\ \end{bmatrix}\\ \tag{B-16} \end{equation}$$ и мы приступаем к поиску преобразования между новыми координатами, $\;\mathbf{X}\;$и $\;\mathbf{X}^{\boldsymbol{\prime}}\;$, из соотношения между $\;\mathbf{R}\;$и $\;\mathbf{R}^{\boldsymbol{\prime}}\;$, см. уравнения (B-02) – (B-04):
$$\begin{eqnarray} \mathbf{R}^{\boldsymbol{\prime}} &=& \Bbb{B}\mathbf{R} \nonumber\\ \Bbb{S}\mathbf{R}^{\boldsymbol{\prime}} &=& \Bbb{S}\Bbb{B}\mathbf{R} \nonumber\\ \Bbb{S}\mathbf{R}^{\boldsymbol{\prime}} &=& \left[\Bbb{S}\Bbb{B}\Bbb{S}^{-1}\right]\left[\Bbb{S}\mathbf{R}\right] \nonumber\\ \mathbf{X}^{\boldsymbol{\prime}} &=& \left[\Bbb{S}\Bbb{B}\Bbb{S}^{-1}\right]\mathbf{X} \nonumber\\ \mathbf{X}^{\boldsymbol{\prime}} &=& \Bbb{L}\mathbf{X} \tag{B-17} \end{eqnarray}$$ Таким образом, новая матрица для преобразования Лоренца имеет вид $$\begin{equation} \Bbb{L}=\Bbb{S}\Bbb{B}\Bbb{S}^{-1}\\ \tag{B-18} \end{equation}$$ и по уравнениям (B-13) и (B-14) $$\begin{equation} \Bbb{S}^{-1}= \begin{bmatrix} &S^{-1}\ &\boldsymbol{0}&\\ &&&\\ &\boldsymbol{0}^{\rm{T}}& 1 &\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} & S^{\rm{T}}&\boldsymbol{0}&\\ &&&\\ &\boldsymbol{0}^{\rm{T}}& 1 &\\ \end{bmatrix} = \Bbb{S}^{\rm{T}} \tag{B-19} \end{equation}$$ The $4\times4$матрица $\;\Bbb{B}\;$определяемый уравнением (B-04), выражается в блочной форме $$\begin{equation} \Bbb{B} = \begin{bmatrix} &B&-\;\dfrac{\gamma \mathbf{v}_{0}}{c}&\\ &&&\\ &-\;\dfrac{\gamma \mathbf{v}_{0}^{\rm{T}}}{c}&\ \ \gamma\ \ \ &\\ \end{bmatrix} \tag{B-20} \end{equation}$$ где $\;B\;$это $3\times3$матрица
$$\begin{equation} B= \begin{bmatrix} &\gamma&0&0&\\ &0&1&0&\\ &0&0&1&\\ \end{bmatrix} \tag{B-21} \end{equation}$$ и $$\begin{equation} \mathbf{v}_{0}\equiv \begin{bmatrix} \upsilon\\ 0\\ 0\\ \end{bmatrix} =\upsilon \mathbf{e}_{1} \ \ \text{ with transpose }\ \ \mathbf{v}_{0}^{\rm{T}}= \begin{bmatrix} \ \ \upsilon\ \ 0\ \ 0\ \\ \end{bmatrix} \tag{B-22} \end{equation}$$ Так $$\begin{eqnarray} \Bbb{L}&=& \Bbb{S}\Bbb{B}\Bbb{S}^{-1}=\Bbb{S}\Bbb{B}\Bbb{S}^{\rm{T}} \nonumber\\ && \nonumber\\ &=& \begin{bmatrix} &S&\hspace{5mm}\mathbf{0}&\\ &\mathbf{0}^{\rm{T}}&\hspace{5mm}1&\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} &B&-\;\dfrac{\gamma \mathbf{v}_{0}}{c}&\\ &&&\\ &-\;\dfrac{\gamma \mathbf{v}_{0}^{\rm{T}}}{c}&\ \ \gamma\ \ \ &\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} &S^{\rm{T}}&\hspace{5mm} \mathbf{0}&\\ &\mathbf{0}^{\rm{T}}&\hspace{5mm}1&\\ \end{bmatrix} \nonumber\\ && \nonumber\\ &=& \begin{bmatrix} &SB&-\;\dfrac{\gamma S\mathbf{v}_{0}}{c}&\\ &&&\\ &-\;\dfrac{\gamma \mathbf{v}_{0}^{\rm{T}}}{c}&\ \ \gamma\ \ \ &\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} &S^{\rm{T}}& \mathbf{0}&\\ &\mathbf{0}^{\rm{T}}&1&\\ \end{bmatrix} \nonumber\\ && \nonumber\\ &=& \begin{bmatrix} &S B&-\;\dfrac{\gamma \mathbf{v}}{c}&\\ &&&\\ &-\;\dfrac{\gamma \mathbf{v}_{0}^{\rm{T}}}{c}&\ \ \gamma\ \ \ &\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} &S^{\rm{T}}& \mathbf{0}&\\ &\mathbf{0}^{\rm{T}}&1&\\ \end{bmatrix} \nonumber\\ && \nonumber\\ &=& \begin{bmatrix} &SBS^{\rm{T}}&-\;\dfrac{\gamma \mathbf{v}}{c}&\\ &&&\\ &-\;\dfrac{\gamma \mathbf{v}^{\rm{T}}}{c}&\ \ \gamma\ \ \ &\\ \end{bmatrix} \nonumber \end{eqnarray}$$ то есть $$\begin{equation} \Bbb{L}= \begin{bmatrix} &SBS^{\rm{T}}&-\;\dfrac{\gamma \mathbf{v}}{c}&\\ &&&\\ &-\;\dfrac{\gamma \mathbf{v}^{\rm{T}}}{c}&\ \ \gamma\ \ \ &\\ \end{bmatrix} \tag{B-23} \end{equation}$$

Для$3\times3$матрица$\;SBS^{\rm{T}}\;$у нас есть

$$\begin{equation} \begin{split} SBS^{T}& \quad = \quad \begin{bmatrix} &s_{11}&s_{12}&s_{13}&\\ &s_{21}&s_{22}&s_{23}&\\ &s_{31}&s_{32}&s_{33}& \end{bmatrix} \begin{bmatrix} &\gamma&0&0&\\ &0&1&0&\\ &0&0&1& \end{bmatrix} \begin{bmatrix} &s_{11}&s_{21}&s_{31}&\\ &s_{12}&s_{22}&s_{32}&\\ &s_{13}&s_{23}&s_{33}& \end{bmatrix} \\ &\\ & \quad = \quad \begin{bmatrix} &\gamma s_{11}&s_{12}&s_{13}&\\ &\gamma s_{21}&s_{22}&s_{23}&\\ &\gamma s_{31}&s_{32}&s_{33}& \end{bmatrix} \begin{bmatrix} &s_{11}&s_{21}&s_{31}&\\ &s_{12}&s_{22}&s_{32}&\\ &s_{13}&s_{23}&s_{33}& \end{bmatrix} \\ &\\ & \stackrel{(B-13)}{=} \begin{bmatrix} &1+(\gamma-1)s_{11}^{2}&\ \ (\gamma-1)s_{11}s_{21}\ \ &(\gamma-1)s_{11}s_{31}&\\ &&&&\\ &(\gamma-1)s_{21}s_{11}&\ \ 1+(\gamma-1)s_{21}^{2}\ \ &(\gamma-1)s_{21}s_{31}&\\ &&&&\\ &(\gamma-1)s_{31}s_{11}&\ \ (\gamma-1)s_{31}s_{21}\ \ &1+(\gamma-1)s_{31}^{2}& \end{bmatrix}\\ &\\ & \stackrel{(B-12)}{=} \begin{bmatrix} &1+(\gamma-1)n_1^{2}&\ \ (\gamma-1)n_1n_2\ \ &(\gamma-1)n_1n_3&\\ &&&&\\ &(\gamma-1)n_2n_1&\ \ 1+(\gamma-1)n_2^{2}\ \ &(\gamma-1)n_2n_3&\\ &&&&\\ &(\gamma-1)n_3n_1&\ \ (\gamma-1)n_3n_2\ \ &1+(\gamma-1)n_3^{2}& \end{bmatrix}\\ &\\ & \quad = \quad I+(\gamma-1) \begin{bmatrix} n_1\\ \\ n_2\\ \\ n_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} n_1\ \ n_2\ \ n_3 \end{bmatrix} \quad = \quad I+(\gamma-1)\mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}} \end{split} \tag{B-24} \end{equation}$$ и наконец $$\begin{equation} SBA^{T}= I+(\gamma-1)\mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}} \tag{B-25} \end{equation}$$ где $$\begin{equation} \mathbf{n}\equiv \begin{bmatrix} n_1\\ n_2\\ n_3\\ \end{bmatrix} \ \ \text{ with transpose }\ \ \mathbf{n}^{\rm{T}} = \begin{bmatrix} \ \ n_1\ \ n_2\ \ n_3\ \\ \end{bmatrix} \tag{B-26} \end{equation}$$ По уравнению (B-23) подробное выражение $\; \Bbb{L} \;$является $$\begin{equation} \Bbb{L}(\mathbf{v})= \begin{bmatrix} &1+(\gamma-1)n_1^{2}&(\gamma-1)n_1n_2&(\gamma-1)n_1n_3&-\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}n_1&\\ &&&&&\\ &(\gamma-1)n_2n_1&1+(\gamma-1)n_2^{2}&(\gamma-1)n_2n_3&-\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}n_2&\\ &&&&&\\ &(\gamma-1)n_3n_1&(\gamma-1)n_3n_2&1+(\gamma-1)n_3^{2}&-\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}n_3&\\ &&&&&\\ &-\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}n_1&-\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}n_2&-\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}n_3&\gamma& \end{bmatrix} \tag{B-27} \end{equation}$$ и в блочной форме $$\begin{equation} \Bbb{L}(\mathbf{v})= \begin{bmatrix} &I+(\gamma-1)\mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}} &\hspace{5mm} -\;\dfrac{\gamma \mathbf{v}}{c}&\\ &&&\\ &-\;\dfrac{\gamma \mathbf{v}^{T}}{c}&\hspace{5mm}\gamma&\\ \end{bmatrix} \tag{B-28} \end{equation}$$ где ясно, что это преобразование является функцией вектора скорости $\;\mathbf{v}\;$только, то есть из трех вещественных скалярных параметров $\upsilon_1,\upsilon_2,\upsilon_3$.

Обратите внимание, что при этом более общем преобразовании Лоренца преобразования вектора положения$\:\mathbf{x}\:$и время$\:t\:$являются

$$\begin{equation} \mathbf{x}^{\boldsymbol{\prime}} = \mathbf{x}+(\gamma-1)(\mathbf{n}\circ \mathbf{x})\mathbf{n}-\gamma \mathbf{v}t \tag{B-29a} \end{equation}$$ $$\begin{equation} t^{\boldsymbol{\prime}} = \gamma\left(t-\dfrac{\mathbf{v}\circ \mathbf{x}}{c^{2}}\right) \tag{B-29b} \end{equation}$$ где " $\circ$"обычный внутренний продукт в $\:\mathbb{R}^{3}\:$.

В дифференциальной форме

$$\begin{equation} d\mathbf{x}^{\boldsymbol{\prime}} = d\mathbf{x}+(\gamma-1)(\mathbf{n}\circ d\mathbf{x})\mathbf{n}-\gamma \mathbf{v}dt \tag{B-30a} \end{equation}$$ $$\begin{equation} dt^{\boldsymbol{\prime}} = \gamma\left(dt-\dfrac{\mathbf{v}\circ d\mathbf{x}}{c^{2}}\right) \tag{B-30b} \end{equation}$$

Итак, если частица движется со скоростью$\:\mathbf{u}=\dfrac{d\mathbf{x}}{dt}\:$в системе$\:Ox_1x_2x_3\:$тогда его скорость$\:\mathbf{u}^{\boldsymbol{\prime}}=\dfrac{d\mathbf{x}^{\boldsymbol{\prime}}}{dt^{\boldsymbol{\prime}}}\:$в отношении$\:Ox_1^{\boldsymbol{\prime}}x_2^{\boldsymbol{\prime}}x_3^{\boldsymbol{\prime}}\:$находится из подразделения (Б-30а) и (Б-30б) рядом

$$\begin{equation} \mathbf{u}^{'} = \dfrac{\mathbf{u}+(\gamma-1)(\mathbf{n}\circ \mathbf{u})\mathbf{n}-\gamma \mathbf{v}}{\gamma \Biggl(1-\dfrac{\mathbf{v}\circ \mathbf{u}}{c^{2}}\Biggr)} \tag{B-31} \end{equation}$$

Уравнение (B-31) является обобщением сложения скоростей в специальной теории относительности, не ограничиваясь коллинеарными скоростями. Здесь (В-31) — результат сложения скоростей$\:-\mathbf{v}\:$и$\:\mathbf{u}\:$.

Преобразование Лоренца — это преобразование, оставляющее$dt^2-dx^2-dy^2-dz^2$без изменений. Таким образом, вращение (которое оставляет$dx^2+dy^2+dz^2$неизменен и не меняется$t$) — это особый вид преобразования Лоренца, который имеет$t'=t.$

Итак, вы можете повернуть на L, а затем повернуть на A? Конечно.

Можете ли вы повернуть на A, а затем повернуть на L? Конечно.

Вы получаете один и тот же ответ в любом случае? Вы не могли бы.

Таким образом, если вы выполняете преобразование Лоренца L, а затем вращение A, вы можете не получить тот же ответ, как если бы вы сначала вращали на A, а затем выполняли преобразование Лоренца L.