Является ли Вселенная линейной? Если да, то почему?

На этот вопрос очень сложно ответить на фундаментальном уровне, потому что квантовая механика пока кажется точной, но нельзя быть уверенным в научном смысле без подтверждения того, что нетривиальные квантовые вычисления возможны. Если это так, то пришлось бы отказаться от любых классических описаний, по крайней мере, в рамках научного разума, и, вероятно, последнее слово за квантовой механикой. Если это не так, то, конечно, все ставки сняты.

Прежде всего следует сказать, что любая система может быть преобразована в точно линейную систему путем составления вероятностных распределений. Предположим, у вас есть нелинейное уравнение, например:

Теперь у вас есть нелинейная связь между$x(0)$и$x(t)$. Предположим, вы говорите: «Я не знаю$x(0)$, но у меня есть идея, что она описывается распределением вероятностей$\rho(x_0)$". Тогда можно сказать, зная, как меняется х, как распределение вероятностей$\rho$меняется. Уравнение для$\rho$всегда линейна, даже если основная динамика для x нелинейна.

Причина проста: если у вас есть распределение вероятностей, представляющее собой линейную комбинацию двух других:

вы можете интерпретировать это распределение с помощью следующего процесса: подбросьте монету, которая имеет вероятность$\alpha$посадочных головок, затем выберите$x_0$в соответствии с$\rho_1$если у вас есть головы, и согласно$\rho_2$если у вас есть хвосты. Затем развивайтесь$x_0$по нелинейному уравнению.

Вы также можете выбрать$x_0$от$\rho_1$и выбрать и$x_0'$от$\rho_2$и развивайте оба из них, а затем выберите один из результатов, используя ту же монету. Ясно (в том смысле, что это эквивалентно аксиомам вероятности), подбрасывая монету в начале, чтобы найти$x_0$это то же самое, что развивать выбор из$\rho_1$и$\rho_2$не зная, что есть что, и подбрасывая монету в конце. Причина в том, что мы знаем, что есть секрет$x_0$снизу, а вероятность$x_0$быть тем, чем оно является, не имеет значения, когда мы узнаем ответ на вопрос о том, каким оно было, до тех пор, пока мы в конце концов узнаем ответ.

Это говорит вам, что оператор временной эволюции для вероятностных распределений подчиняется:

Это фундаментальная линейность теории вероятностей.

Точно так же для GR, и вы рассматриваете распределения вероятностей по метрикам, уравнение для распределения вероятностей всегда линейно. Это не облегчает решение уравнений, потому что линейное пространство намного огромнее --- сложность решения эволюции распределений вероятностей в классических системах по методу Монте-Карло примерно такая же, как и решение классических уравнений. много раз.

Дело в том, что квантовая механика похожа на вероятность в том смысле, что уравнение движения всегда линейно. Это также похоже на вероятность в том смысле, что формулируется для пространства всех конфигураций, поэтому количество используемых вами действительных чисел растет экспоненциально с размером системы.

Но квантовая механика не похожа на вероятность тем, что в ней есть интерференция. Это означает, что вы не можете использовать невежество в качестве оправдания совершенной линейности --- вы не можете сказать, что "причина, по которой волновая функция развивается совершенно линейно, заключается в том, что она представляет собой невежество при подбрасывании монеты в начале", потому что единственная разумным исчислением невежества является вероятность.

Это также означает, что в целом невозможно использовать метод Монте-Карло для моделирования квантовой механики с несколькими выборками (хотя удивительно, до какой степени вы можете делать квантовый метод Монте-Карло, вам нужно сделать невозможное аналитическое продолжение, чтобы превратить его в общие результаты в реальном пространстве). Это почти теорема, поскольку Монте-Карло не может иметь экспоненциальное ускорение для классических вычислений. Таким образом, существование факторинга Шора и других экспоненциальных ускорений означает, что вы не можете эффективно моделировать квантовый компьютер с помощью стохастического классического компьютера.

Но квантовая механика по-прежнему путается с вероятностью, потому что вероятности — это квадрат значений волновой функции. В общем, диагональные элементы матрицы плотности являются вероятностями при измерении и должны подчиняться точной классической линейности теории вероятностей, когда у вас есть несколько измерений.

Это ограничение означает, что вам очень трудно представить квантовую механику с небольшой нелинейностью, поскольку трудно или невозможно убедиться, что теория вероятностей, включенная в классический предел, будет точно линейной (в пределе классических измерений). если лежащая в основе квантовая динамика не совсем линейна. Время от времени предпринимаются попытки коллапсировать волновую функцию с помощью нелинейности, но они, как правило, ошибочны. Если вы выполняете нелинейное взаимодействие с такой вероятностной сущностью, как волновая функция, вы получаете взаимодействие между различными возможными мирами или ветвями Эверетта, а не разумный коллапс в один из возможных миров.

Так что да, с научными стандартами знаний, если квантовая механика точна, она линейна. Если квантовая механика терпит неудачу, то, скорее всего, это стохастическое описание некоторых лежащих в основе переменных, но что это может быть, очень трудно себе представить.