Запутанность и согласованность

Question

Запутанность и согласованность

user098876

Я наткнулся на замечательный обзор запутанности Криса Дроста в его ответе на этот пост . Одна часть, которая оставила меня озадаченной, была: ( Этот пост - просто попытка понять часть ответа Криса, к сожалению, у меня недостаточно репутации, чтобы спросить об этом в качестве комментария в его сообщении, поэтому я подумал, что новый пост не быть ужасной идеей, поскольку это довольно важный концептуальный вопрос для всех новичков. )

Очевидно, что состояния-продукты обладают «квантовой когерентностью» для обоих кубитов: выполнение нашего эксперимента с двумя щелями означает, что мы видим интерференционную картину. Поразительно, но запутанность ослабляет, а иногда и устраняет эту интерференционную картину. Например, состояние $\sqrt{\frac 12} |00\rangle + \sqrt{\frac 12}|11\rangle$ описывает запутанное состояние. Если вы пропустите первый кубит этого кубита через эксперимент с двумя щелями, нормальные правила квантовой механики дадут распределение $\frac 12 |f_0(x)|^2 + \frac 12 |f_1(x)|^2:$ классически перекрывающиеся колоколообразные кривые!

К сожалению, я не вижу, как, запутывая две частицы, они теряют свою когерентность. Но когда у меня есть частица $A$ в состоянии суперпозиции $\psi_A = a|0\rangle + b|1\rangle$ и запутать его в другую систему $B,$ в состоянии $\psi_B,$ моя первая частица все еще остается в суперпозиции, и ее измерение все еще случайно , не так ли?
Так почему мы говорим, что запутанность разрушает согласованность? Было бы здорово, если бы можно было подробно показать это для простейших запутанных пар! Может быть, дело в том, что если $B$ сначала измеряется, только потом $A$ теряет связность? (предположим здесь полную корреляцию).
Небольшое отступление, если можно: если это правда, что запутанность разрушает когерентность, означает ли обратное, что концепция декогеренции тесно связана с запутыванием небольшой системы с ее окружением? Или, другими словами, произойдет ли декогеренция вообще без запутывания?

Кайл Арин-Рейнс

Я тоже нахожу это немного озадачивающим. Это означает, что перекрывающиеся члены исчезают. Это имело бы смысл, если бы, как вы говорите в (2), один был измерен до того, как другой был отправлен. Кто-нибудь может объяснить?

Ответы (5)

Запутанность и согласованность

Я тоже нахожу это немного озадачивающим. Это означает, что перекрывающиеся члены исчезают. Это имело бы смысл, если бы, как вы говорите в (2), один был измерен до того, как другой был отправлен. Кто-нибудь может объяснить?

удрв · Answer 1

Я отправляю эти заметки после запроса о дополнительной информации по этому вопросу. Не должно влиять на выбор ответа ОП.

Примечания добавлены в доказательство :

О смысле квантовой когерентности :

Квантовая когерентность является прямым продолжением классической концепции волновой когерентности . Две классические волны называются когерентными, если они могут создавать четко выраженную интерференционную картину. Чтобы это произошло, например, с электромагнитными волнами, две волны должны иметь одинаковую частоту и постоянную разность фаз, чтобы, когда они складываются / накладываются / перекрываются, результирующая волновая картина остается четко определенной. Так впервые в оптике были определены когерентные источники.

Напротив, некогерентные оптические источники, даже если они монохроматические, создают ансамбль или статистическую суперпозицию световых волн со случайными относительными фазами (и поляризациями, если быть точным), которые не / не могут мешать друг другу. Чтобы получить интерференционную картину, нужно сначала изолировать одиночный когерентный компонент и использовать его для настройки когерентных источников, таких как две щели в знаменитом примере с двойной щелью.

Когда были впервые обнаружены электронные интерференционные картины, имело смысл интерпретировать их в тех же терминах, что и оптическая интерференция, и концепция когерентности автоматически перенеслась на суперпозиции волновых функций и квантовых состояний в целом. То же самое и с концепцией бессвязного статистического ансамбля.

Итак, в общем случае когерентное квантовое состояние означает когерентную суперпозицию, которая может создавать интерференционные картины (есть также более конкретное понятие «когерентных состояний», как в случае гармонического осциллятора, пожалуйста, не путайте понятия). Для этого должно быть чистое состояние. $|\psi\rangle$ . Если такой $|\psi\rangle$ выражается как суперпозиция двух других состояний, скажем $|\psi\rangle \sim |0\rangle + |a|e^{i\theta}|1\rangle$ , то это подразумевает четко определенную относительную фазу (или разность фаз) между состояниями $|0\rangle$ и $|1\rangle$ , даже если амплитуда суперпозиции $|a|e^{i\theta}$ меняется во времени. Посмотрите несколько хороших объяснений по этим строкам в ответах на этот связанный вопрос .

С другой стороны, концепция некогерентной суперпозиции превратилась в концепцию смешанного состояния, которое больше не описывается вектором состояния. $|\psi\rangle$ , но положительно определенным оператором состояния $\rho$ . Смешанное квантовое состояние $\rho$ понимается двумя различными способами, которые эквивалентны, пока общая динамика остается линейной (да, нелинейная динамика будет различать эти два):

По аналогии с оптикой: как некогерентная суперпозиция когерентных состояний, или в терминах квантовой теории, как статистическая смесь чистых состояний. Это,
$ρ знак равно \sum_{k} п_{k} | ψ_{k} ⟩ ⟨ ψ_{k} |$ $\rho = \sum_{k}{p_k |\psi_k\rangle\langle\psi_k|}$
где $p_k$ вероятность чистого состояния $|\psi_k\rangle$ , $0\le p_k\le 1$ , а государства $|\psi_k\rangle$ не обязательно должны быть взаимно ортогональными (в этом случае они не являются собственными состояниями $\rho$ , они разные и существуют всегда!). Такая статистическая смесь эквивалентна физическому ансамблю идентичных квантовых систем (копий), каждая из которых находится в некотором чистом состоянии. $|\psi_k\rangle$ . В таком случае $p_k$ представляет частоту копий в соответствующем $|\psi_k\rangle$ .
Как сокращенное состояние подсистемы более крупной квантовой системы, которая в целом находится в чистом состоянии. Это определение придает внутреннее квантовое значение смешанным состояниям и, в свою очередь, опирается на концепцию запутанности.

Формально совместное чистое состояние двух систем. $A$ и $B$ запутан, если он не является прямым продуктом "локальных" чистых состояний, т. е. $|\psi_{AB}\rangle \neq |\psi_A\rangle\otimes|\psi_B\rangle$ . Наоборот, если $A$ и $B$ находятся в совместном чистом состоянии, то они распутываются тогда и только тогда, когда каждый из них находится в чистом состоянии и $|\psi_{AB}\rangle = |\psi_A\rangle\otimes|\psi_B\rangle$ . Последнее называется сепарабельным чистым состоянием.

Оперативное значение отделимого чистого состояния $|\psi_{AB}\rangle$ заключается в том, что измерения любых двух "локальных" наблюдаемых $O_A$ и $O_B$ являются statistically_uncorrelated_ в том смысле, что среднее значение продукта $O_A O_B = O_A\otimes O_B$ равняется произведению средних значений,

⟨ ψ_{А B} | О_{А} \otimes О_{B} | ψ_{А B} ⟩ знак равно ⟨ ψ_{А B} | О_{А} | ψ_{А B} ⟩ ⟨ ψ_{А B} | О_{B} | ψ_{А B} ⟩

$\langle \psi_{AB}| O_A\otimes O_B |\psi_{AB} \rangle = \langle \psi_{AB}| O_A |\psi_{AB} \rangle \langle \psi_{AB}| O_B |\psi_{AB} \rangle$ или, что то же самое, статистическая корреляция

O_{A}

$O_A$ и

O_{B}

$O_B$ нулевой,

⟨ ψ_{А B} | О_{А} \otimes О_{B} | ψ_{А B} ⟩ - ⟨ ψ_{А B} | О_{А} | ψ_{А B} ⟩ ⟨ ψ_{А B} | О_{B} | ψ_{А B} ⟩ знак равно 0

$\langle \psi_{AB}| O_A\otimes O_B |\psi_{AB} \rangle - \langle \psi_{AB}| O_A |\psi_{AB} \rangle \langle \psi_{AB}| O_B |\psi_{AB} \rangle = 0$

О запутывании и потере связности :

Из вышесказанного немедленно следует, что совместное чистое состояние запутано тогда и только тогда, когда оно дает отличные от нуля корреляции по крайней мере для одной пары «локальных» наблюдаемых. В этом случае мы с уверенностью знаем, что ни $A$ ни $B$ могут быть в чистых состояниях, иначе состояние было бы отделимым!

Но теперь мы также можем увидеть интересную связь между запутанностью и когерентностью, которая отвечает на вопросы 1 и 2:

Запутанное чистое состояние - это, безусловно, когерентное состояние, обычно когерентная суперпозиция разделимых чистых состояний двух или более подсистем. Тем не менее, отдельные подсистемы сами больше не могут находиться в когерентных чистых состояниях. Это то, что указал Крис Дрост, когда писал, что запутанность парадоксальным образом ответственна за потерю связности. Когерентность неизбежно теряется внутри отдельных запутанных подсистем, потому что они не могут находиться в когерентных состояниях, но в то же время корреляции между подсистемами сохраняют общее состояние когерентным.

Ситуация несколько усложняется, если мы признаем, что запутанные состояния также могут быть смешанными состояниями, но это общая идея.

Чтобы привести любой простой пример, нам нужно завершить второе определение смешанного состояния выше и посмотреть, что станет с «локальным» сокращенным состоянием запутанной подсистемы. Мы надеемся, что следующий вывод подчеркивает связь с основными правилами вероятности. Пусть полное запутанное состояние равно $|\psi_{AB} \rangle$ , или эквивалентно $\rho_{AB} = |\psi_{AB} \rangle \langle \psi_{AB} |$ , и разреши $O_A$ быть любой произвольной наблюдаемой из $A$ , с собственным базисом $\{|j_A\rangle\}_j$ и соответствующие собственные значения $\omega_j$ . Также позвольте $\{|k_B\rangle\}_k$ - произвольный ортонормированный базис $B$ . Среднее значение $O_A$ в состоянии $|\psi_{AB} \rangle$ является

⟨ ψ_{А B} | О_{А} | ψ_{А B} ⟩ \equiv ⟨ ψ_{А B} | О_{А} \otimes я_{B} | ψ_{А B} ⟩ знак равно \sum_{j, k} ⟨ ψ_{А B} | j_{А} k_{B} ⟩ ω_{j} ⟨ j_{А} k_{B} | ψ_{А B} ⟩ знак равно знак равно \sum_{j} ω_{j} \sum_{k} ⟨ ψ_{А B} | j_{А} k_{B} ⟩ ⟨ j_{А} k_{B} | ψ_{А B} ⟩

$\langle \psi_{AB} | O_A |\psi_{AB}\rangle \equiv \langle \psi_{AB} | O_A\otimes I_B |\psi_{AB}\rangle = \sum_{j,k}{\langle \psi_{AB} | j_Ak_B\rangle \omega_j \langle j_Ak_B|\psi_{AB}\rangle} = \\ = \sum_j{\omega_j \sum_k{\langle \psi_{AB} | j_Ak_B\rangle \langle j_Ak_B|\psi_{AB}\rangle}}$ Смысл последнего выражения довольно прозрачен, так как сумма более

k

$k$ дает полную вероятность

p_{j}

$p_j$ эта подсистема

A

$A$ в состоянии

| j_{A} ⟩

$|j_A\rangle$ пока

B

$B$ находится в любом из базовых состояний

| k_{B} ⟩

$|k_B\rangle$ . Перепишем эту вероятность несколько иначе:

п_{j} знак равно \sum_{k} ⟨ ψ_{А B} | j_{А} k_{B} ⟩ ⟨ j_{А} k_{B} | ψ_{А B} ⟩ знак равно \sum_{k} ⟨ j_{А} k_{B} | ψ_{А B} ⟩ ⟨ ψ_{А B} | j_{А} k_{B} ⟩ знак равно знак равно ⟨ j_{А} | [\sum_{k} ⟨ k_{B} | ψ_{А B} ⟩ ⟨ ψ_{А B} | k_{B} ⟩] | j_{А} ⟩

$p_j = \sum_k{\langle \psi_{AB} | j_Ak_B\rangle \langle j_Ak_B|\psi_{AB}\rangle} = \sum_k{\langle j_Ak_B|\psi_{AB}\rangle\langle \psi_{AB} | j_Ak_B\rangle} = \\ = \langle j_A| \left[ \sum_k{\langle k_B|\psi_{AB}\rangle\langle \psi_{AB} | k_B\rangle}\right] |j_A\rangle$ Обратите внимание, что на этот раз выражение в квадратных скобках не зависит от собственного базиса.

{| j_{A} ⟩}_{j}

$\{|j_A\rangle\}_j$ и, следовательно, о выборе

O_{A}

$O_A$ . Если обозначить его как

ρ_{А} знак равно \sum_{k} ⟨ k_{B} | ψ_{А B} ⟩ ⟨ ψ_{А B} | k_{B} ⟩

$\rho_A = \sum_k{\langle k_B|\psi_{AB}\rangle\langle \psi_{AB} | k_B\rangle}$ получаем, что полная вероятность наличия подсистемы

A

$A$ в любом состоянии

| j_{A} ⟩

$|j_A\rangle$ дан кем-то

п_{j} знак равно ⟨ j_{А} | ρ_{А} | j_{А} ⟩

$p_j = \langle j_A| \rho_A |j_A\rangle$ и что в среднем

O_{A}

$O_A$ составляет

⟨ ψ_{А B} | О_{А} | ψ_{А B} ⟩ знак равно \sum_{j} ω_{j} ⟨ j_{А} | ρ_{А} | j_{А} ⟩ знак равно \sum_{j} ⟨ j_{А} | [\sum_{j^{'}} | j_{А}^{'} ⟩ ω_{j} ⟨ j_{А}^{'} |] ρ_{А} | j_{А} ⟩ знак равно Т р_{А} (О_{А} ρ_{А})

$\langle \psi_{AB} | O_A |\psi_{AB}\rangle = \sum_j{\omega_j \langle j_A| \rho_A |j_A\rangle} = \sum_{j}{\langle j_A|\left[\sum_{j'}{|j'_A\rangle\omega_j \langle j'_A|}\right] \rho_A |j_A\rangle} = Tr_A(O_A\rho_A)$ Легко проверить, что сущность

ρ_{A}

$\rho_A$ на самом деле эрмитов положительно определенный оператор в гильбертовом пространстве

A

$A$ . Кроме того, поскольку

p_{j}

$p_j$ должен подводить итог

1

$1$ ,

\sum_{j} p_{j} = \sum_{j} ⟨ j_{A} | ρ_{A} | j_{A} ⟩ = 1

$\sum_j{p_j} = \sum_j{\langle j_A| \rho_A |j_A\rangle} = 1$ , у нас также есть это

T r_{A} ρ_{A} = 1

$Tr_A\rho_A = 1$ , свойство, снова не зависящее от базиса

{| j_{A} ⟩}_{j}

$\{|j_A\rangle\}_j$ . Другими словами,

ρ_{A}

$\rho_A$ матрица плотности, которая инкапсулирует всю информацию о статистике подсистемы

A

$A$ , независимо от состояния

B

$B$ . Говорят, что информация о

B

$B$ усредняется.

Кроме того, мы можем переписать $\rho_A$ в виде

ρ_{А} знак равно \sum_{k} ⟨ k_{B} | ψ_{А B} ⟩ ⟨ ψ_{А B} | k_{B} ⟩ знак равно \sum_{k} ⟨ k_{B} | [| ψ_{А B} ⟩ ⟨ ψ_{А B} |] | k_{B} ⟩ знак равно \sum_{k} ⟨ k_{B} | ρ_{А B} | k_{B} ⟩

$\rho_A = \sum_k{\langle k_B|\psi_{AB}\rangle\langle \psi_{AB} | k_B\rangle} = \sum_k{\langle k_B|\left[ |\psi_{AB}\rangle\langle \psi_{AB} |\right] | k_B\rangle} = \sum_k{\langle k_B|\rho_{AB} | k_B\rangle}$ или

ρ_{А} знак равно Т р_{B} ρ_{А B} знак равно Т р_{B} (| ψ_{А B} ⟩ ⟨ ψ_{А B} |)

$\rho_A = Tr_B\rho_{AB} = Tr_B\left(|\psi_{AB}\rangle \langle \psi_{AB}|\right)$ Последнее выражение мы хотим сохранить, поскольку можно показать, что оно не зависит от выбора базиса.

{| k_{B} ⟩}_{k}

$\{|k_B\rangle\}_k$ .

Матрица плотности $\rho_A$ описывает приведенное состояние подсистемы $A$ . Аналогично матрица плотности $\rho_B = Tr_A\rho_{AB} = Tr_A\left(|\psi_{AB}\rangle \langle \psi_{AB}|\right)$ описывает приведенное состояние подсистемы $B$ . Покажите в качестве упражнения, что среднее значение любой наблюдаемой $O_B$ из $B$ дан кем-то $\langle \psi_{AB} | O_B |\psi_{AB}\rangle = Tr_B\left( O_B\rho_B\right)$ :)

Вышеупомянутое - это все, что необходимо для базового понимания различных примеров согласованности и запутанности. Например:

Любое чистое состояние $|\psi_A\rangle = \alpha_0|0_A\rangle + \alpha_1|1_A\rangle$ системы $A$ представляет собой когерентную суперпозицию, показывающую интерференцию между чистыми состояниями $|0_A\rangle$ и $|1_A\rangle$ .
То же самое и для состояний $|\psi_B\rangle = \beta_0|0_B\rangle + \beta_1|1_B\rangle$ из $B$ .
состояния $|\psi_A\rangle\otimes|\psi_B\rangle$ , $|\psi_A\rangle\otimes|0_B\rangle$ , и т. д., являются отделимыми чистыми состояниями, так что оба $A$ и $B$ каждый индивидуально находится в когерентных суперпозициях чистых состояний. Интерференционные эксперименты на $A$ один будет показывать те же интерференционные картины, что и в отсутствие $B$ , и наоборот.
Запутанные состояния $|\psi_{AB}\rangle = \gamma_0|0_A0_B\rangle + \gamma_1|1_A1_B\rangle$ совместной системы $A$ - $B$ когерентны относительно совместных чистых (и сепарабельных) состояний $|0_A0_B\rangle$ и $|1_A1_B\rangle$ . То есть совместный интерференционный эксперимент на $A$ и $B$ создает интерференционную картину. Но теперь «местное» состояние $A$ описывается приведенной матрицей плотности
$ρ_{А} знак равно Т р_{B} (| ψ_{А B} ⟩ ⟨ ψ_{А B} |) знак равно Т р_{B} [(γ_{0} | 0_{А} 0_{B} ⟩ + γ_{1} | 1_{А} 1_{B} ⟩) (γ_{0}^{*} ⟨ 0_{А} 0_{B} | + γ_{1}^{*} ⟨ 1_{А} 1_{B} |)] знак равно знак равно | γ_{0} |^{2} | 0_{А} ⟩ ⟨ 0_{А} | + | γ_{1} |^{2} | 1_{А} ⟩ ⟨ 1_{А} |$ $\rho_A = Tr_B\left(|\psi_{AB}\rangle \langle \psi_{AB}|\right) = Tr_B\left[ \left(\gamma_0|0_A0_B\rangle + \gamma_1|1_A1_B\rangle \right)\left(\gamma^*_0\langle 0_A0_B| + \gamma^*_1\langle 1_A1_B| \right)\right] =\\ = |\gamma_0|^2 |0_A\rangle \langle 0_A| + |\gamma_1|^2 |1_A\rangle \langle 1_A|$ и это «некогерентное» смешанное состояние: оно не создает интерференционной картины само по себе («локально»), или когда интерференционный эксперимент стирает всю информацию о $B$ . Заметь $\rho_A$ - собственное редуцированное (локальное) смешанное состояние $A$ когда полное запутанное состояние $|\psi_{AB}\rangle$ . Никаких дополнительных измерений не требуется. $A$ или $B$ принести $A$ в состоянии $\rho_A$ . Проверьте в качестве упражнения, что то же самое касается $B$ .

Наконец, очень краткий ответ на вопрос 3: Да, декогеренция, понимаемая как потеря когерентной суперпозиции, включает запутанность и / или диссипативную динамику в присутствии другой системы (измерительного прибора, окружающей среды и т. Д.). Хотя иногда это может означать потерю фазовой когерентности при внутренних взаимодействиях.

Я только что прочитал его второй раз, и должен сказать, что это настоящая жемчужина! Все поняла, такое приятное ощущение !! Я наконец понял, что имеется в виду под частичным следом, и, если я не ошибаюсь, это в точности аналогично тому, как «интегрируют» степени свободы в stat. mech, например, когда нам нужна функция распределения подпространства частиц, поэтому мы пишем $f^{(n)} =\int f^{(N)} dr^{N-n}dp^{N-n}$ означает вероятность того, что частицы подпространства n находятся в объеме $dr^ndp^n$ независимо от состояния Nn, не так ли?
Да это оно. На самом деле, проводя аналогию с распределением вероятностей, вы можете взглянуть на это, просто для удовольствия: en.wikipedia.org/wiki/Wigner_quasiprobability_distribution .
Другой вопрос: в случае запутанности, когда мы говорим «если мы проводим интерференционные эксперименты только на подпространстве», то интерференционной картины не наблюдается. Но экспериментально, как это происходит? Я отправляю только свою систему А через щель? В отличие от отправки AB вместе. (Я имею в виду, что мы измеряем, чтобы коллапсировать систему A до ее смешанного состояния, когда AB изначально запутана) Я спрашиваю, потому что теперь, следуя вашим объяснениям, я понимаю теоретическую часть, а именно то, что $\rho_A$ является смешанным состоянием, поэтому отсутствует информация о точном состоянии A.
Большое спасибо за ссылку, взамен вас может заинтересовать эта лекция Скотта Ааронсона, где он показывает, как можно показать, что все странности в QM возникают из идеи допуска отрицательных вероятностей abd, а затем принятия 2-нормы вместо обычного выбора теории вероятностей 1-нормы. Дай мне знать, что ты об этом думаешь. scottaaronson.com/democritus/lec9.html
@ user929304 Во-первых, что касается вопроса о «если мы проводим эксперименты по интерференции только для подпространства», то интерференционная картина не наблюдается »: вы имеете в виду« подсистему »или« подпространство »? Они немного отличаются. Если речь идет о подсистеме, это прекрасное описание настройки квантового ластика дает хорошее представление о том, что, как и когда наблюдается экспериментально: grad.physics.sunysb.edu/~amarch . Во-вторых: дело не в том, что $\rho_A$ "не хватает информации о точном состоянии", но хотя $\rho_A$ это точное состояние, которое больше не относится к типу когерентной суперпозиции .
@ user929304 Что касается подхода Скотта, он на самом деле тесно связан с подходом Дирака в его «Принципах квантовой механики». Дирак тоже решил отказаться от исторического подхода и перейти к сути, введя векторы состояния, гильбертово пространство и т. Д. Проблема в том, что его обозначения в наши дни выглядят несколько громоздкими. 2-норма Скотта - это мягкий способ ввести «норму гильбертова пространства» квантового состояния в терминах расширения / амплитуд на базисных состояниях и в современном контексте. Еще одна красивая современная версия подхода Дирака - это работа Мартина Пленио: www3.imperial.ac.uk/pls/portallive/docs/1/613904.PDF.
Что касается интерпретации смешанных состояний, а именно подлинной неопределенности, которая появляется в смешанном состоянии в отличие от чистого, которое вы описали как некогерентную суперпозицию, означает ли это, что даже в принципе невозможно преодолеть эту неопределенность? (I ' m, используя аналогию между эффектом наблюдателя и неопределенностью Гейзенбега, где последняя в принципе налагается). Наконец, что на самом деле означает, когда раньше в контексте оптики говорили о «четко определенных» интерференционных картинах? Другими словами, как я могу узнать по образцу, были ли источники согласованными или нет?
По смешанным состояниям: да, в смешанных состояниях есть внутренняя неопределенность. Это измеряется, например, энтропией, $-Tr\rho\ln\rho > 0$ , или из-за (отсутствия) чистоты, $Tr\rho^2 < 1$ . Чистые состояния имеют нулевую энтропию на единицу чистоты. О интерференционных картинах: термин "четко определенный" обычно относится к контрасту между минимумом и максимумом. Чем резче контраст, тем выше когерентность источника. Четкий максимум несколько неоднозначен, но четкие нули, как мне кажется, все же являются хорошим признаком согласованности.
Быстрый вопрос, если можно :) наличие относительной фазы между двумя состояниями, которые наложены друг на друга, не изменяет вероятность возможных измерений результатов, верно? например $a|0\rangle + b|1\rangle$ и $a|0\rangle + be^{i\phi}|1\rangle$ оба дают одинаковые вероятности для измерения ket 0 или ket 1, $a^2$ и $b^2$ соответственно правда? Я знаю это, например, если я установил $\phi=\pi$ два вышеуказанных состояния фактически становятся ортогональными, но это еще не означает, что вероятность результатов измерения ket 0 или ket 1 различна. Я здесь как-то ошибаюсь?
Нет, ты прав. Относительная фаза не меняет индивидуальных вероятностей кетов. $|0\rangle$ , $|1\rangle$ . Состояния суперпозиции отличаются средними значениями наблюдаемых, которые имеют другие собственные базы, чем $|0\rangle$ , $|1\rangle$ . Просто убедитесь, что вы берете абсолютные значения для $a^2$ , $b^2$ .

АКВ · Answer 2

Мне, чтобы разобраться в приведенных выше объяснениях, помогло следующее графическое описание:

Согласованность - это когда я могу представить что-то как две вещи локально, в одно и то же время, последовательно; но этого не может произойти с одной из частей запутанности, поскольку другой конец также не будет определен. Тогда чем больше согласованности в одной из двух частей, тем меньше запутанности.

При таком рассуждении можно увидеть интерференцию на одном из двух концов, только если запутанность не 100%, и отслеживаются измерения на другом конце. я прав ?

Привет, akv, если возник новый вопрос, задавайте его отдельно.

танасис евангелопулос · Answer 3

Связность и запутанность - противоположные ситуации. Когерентные электроны означают, что они имеют одинаковый квантовый статус, поэтому у них одинаковый спин, в то время как запутанные электроны означают, что у них противоположный (антипараллельный) спин, и они всегда действуют как пара. Когерентные фотоны означают, что они имеют одинаковую волновую функцию (как и все фотоны лазерного луча), а запутанные фотоны означают, что они имеют антисимметричные волновые функции, складываясь друг с другом как пара. Лазерный луч может произвести несколько запутанных фотонов при определенных условиях.

+1 а я думал, что запутанные электроны могут иметь противоположный или одинаковый спин?

CR Drost · Answer 4

Хорошо, это становится еще более подробным, и это здорово! Я от всей души рекомендую всем, кто так увлечен, пройти несколько курсов по этой теме, если вы еще этого не сделали.

Формулировка матрицы состояний квантовой механики

Вот самая основная формулировка квантовой механики, которая адекватно демонстрирует все эти свойства, называемая формулировкой матрицы плотности или матрицы состояний. Возьмите волновую функцию $|\psi\rangle$ и определить матрицу состояний $\rho = |\psi\rangle\langle\psi|$ с этим состоянием. Матрица состояний содержит всю ту же информацию, что и волновая функция, но развивается в соответствии с правилом произведения,

я ℏ \frac{\partial ρ}{\partial т} знак равно \hat{ЧАС} ρ - ρ \hat{ЧАС} .

$i\hbar ~\frac {\partial\rho}{\partial t} = \hat H \rho - \rho \hat H.$

Как всегда, мы прогнозируем математические ожидания экспериментов, связывая их числовые параметры с эрмитовым оператором $\hat A.$ Теперь вместо того, чтобы рассчитывать это как обычно $\langle A \rangle = \langle\psi|\hat A|\psi\rangle$ вставляем какой-нибудь ортонормированный базис $I = \sum_i |i\rangle\langle i|$ в середину этого выражения как

⟨ А ⟩ знак равно \sum_{я} ⟨ ψ | \hat{А} | я ⟩ ⟨ я | ψ ⟩ знак равно \sum_{я} ⟨ я | ψ ⟩ ⟨ ψ | \hat{А} | я ⟩ знак равно \sum_{я} ⟨ я | ρ \hat{А} | я ⟩ знак равно Тр ρ \hat{А} .

$\langle A \rangle = \sum_i \langle\psi|\hat A|i\rangle\langle i|\psi\rangle = \sum_i \langle i|\psi\rangle\langle\psi|\hat A|i\rangle = \sum_i \langle i|\rho ~ \hat A|i\rangle = \operatorname{Tr} \rho \hat A.$ Таким образом, все ожидаемые значения являются следами этих матричных продуктов. Мы также можем вставить еще одну идентичность внутри этих двух между ними, чтобы найти

⟨ i | ρ | j ⟩ = ρ_{i j}, ⟨ j | \hat{A} | i ⟩ = A_{j i},

$\langle i | \rho | j\rangle = \rho_{ij},\;\langle j | \hat A | i\rangle = A_{ji},$ и поэтому у нас есть матричное выражение

⟨ A ⟩ = \sum_{i j} ρ_{i j} A_{j i},

$\langle A \rangle = \sum_{ij} \rho_{ij} A_{ji},$ если хочешь. Любой дискретный базис гильбертова пространства будет работать, даже если он не имеет конкретной связи с нашим гамильтонианом.

Как создать эффективную матрицу подсостояний

Теперь предположим, что у нас есть наблюдаемое, которое влияет только на одну подсистему всей системы. Здесь мы просто преобразуем базис в тот, который охватывает обе подсистемы, $|i, j\rangle$ и наша наблюдаемая имеет вид $\hat A \otimes I$ с точки зрения его влияния на соответствующие системы. Таким образом, наше выражение для ожидаемой стоимости:

Тр ρ (\hat{А} \otimes я) знак равно \sum_{я j} ⟨ я, j | ρ (\hat{А} \otimes я) | я, j ⟩

$\operatorname{Tr} \rho (\hat A \otimes I) = \sum_{ij} \langle i,j|\rho (\hat A \otimes I) |i, j\rangle$ Вставка другой личности

I = \sum_{m n} | m, n ⟩ ⟨ m, n |

$I = \sum_{mn} |m,n\rangle\langle m,n|$ мы можем внимательно посмотреть на второй член:

⟨ А ⟩ знак равно \sum_{я j м п} ⟨ я, j | ρ | м, п ⟩ ⟨ м, п | (\hat{А} \otimes я) | я, j ⟩ знак равно \sum_{я j м п} ⟨ я, j | ρ | м, п ⟩ А_{м я} δ_{п j} .

$\langle A\rangle = \sum_{ij~mn} \langle i,j|\rho |m, n\rangle\langle m,n|(\hat A \otimes I) |i, j\rangle = \sum_{ij~mn} \langle i,j|\rho |m, n \rangle A_{mi} \delta_{nj}.$ Таким образом, мы обнаруживаем, что существует выражение для чего-то, что действует точно как эффективная матрица подсостояния

\tilde{ρ}

$\tilde \rho$ для подсистемы: он воспроизводит все ожидаемые значения, которые вы видите выше для любого оператора, который работает только в подсостоянии. Эта матрица подсостояний:

{\tilde{ρ}}_{я j} знак равно \sum_{п} ⟨ я, п | ρ | j, п ⟩,

$\tilde\rho_{ij} = \sum_{n} \langle i,n| \rho |j, n\rangle,$ откуда

⟨ A ⟩ = \sum_{i j} {\tilde{ρ}}_{i j} A_{j i} .

$\langle A \rangle = \sum_{ij} \tilde\rho_{ij} A_{ji}.$

Мы называем процесс, генерирующий матрицу подсостояния, «отслеживанием» остальной части суперсостояния, потому что он имеет ту же структуру, что и частичная трассировка.

Разница между суперпозицией и запутанностью.

Вычислим матрицу состояний для $a |0\rangle + b |1\rangle$ . Это очень просто: это

ρ знак равно а а^{*} | 0 ⟩ ⟨ 0 | + а б^{*} | 0 ⟩ ⟨ 1 | + б а^{*} | 1 ⟩ ⟨ 0 | + б б^{*} | 1 ⟩ ⟨ 1 |,

ρ знак равно [\begin{matrix} а а^{*} & а б^{*} \\ б а^{*} & б б^{*} \end{matrix}] .

$\rho = \begin{bmatrix} a a^* & a b^* \\ b a^* & b b^*\end{bmatrix}.$

Теперь давайте запутаем его в другой системе. Мы будем использовать операцию CNOT, чтобы запутать его с константой $|0\rangle$ , генерируя $a |00\rangle + b |11\rangle.$ Когда мы выполняем вышеуказанный рецепт для этой системы, мы обнаруживаем, что смотрим на совершенно другую матрицу плотности:

\tilde{ρ} знак равно [\begin{matrix} а а^{*} & 0 \\ 0 & б б^{*} \end{matrix}] .

$\tilde\rho = \begin{bmatrix} a a^* & 0 \\ 0 & b b^*\end{bmatrix}.$ Теперь позвольте мне объяснить, почему я не мог использовать волновые функции для получения этого результата: эта матрица состояний не может быть выражена как волновая функция, если только

a = 0

$a = 0$ или

b = 0.

$b = 0.$ Предыдущая матрица

ρ

$\rho$ на самом деле настолько универсален, насколько может быть одночастичная волновая функция, и имеет недиагональные члены. Этого нет, именно потому, что этап «отслеживания» не может преобразовать

| 00 ⟩ ⟨ 11 |

$|00\rangle\langle 11|$ термин к чему-либо «внутреннему» по отношению к матрице подсостояний. Он живет за пределами матрицы подсостояний и может быть измерен только путем измерения обеих частей глобального состояния и их сравнения!

Наблюдаемая с двойной щелью

Самая простая наблюдаемая - это $\hat A_1 = |1\rangle\langle 1|$ , измеряя вероятность того, что кубит находится в состоянии $|1\rangle.$ Теперь предположим, что мы не делаем это напрямую, а сначала развиваем состояние с унитарной матрицей. Это будет соответствовать фотону, проходящему через щель, соответствующую кубиту, и затем перемещающемуся к фотоумножителю в положении $y$ , который будет "щелкать" (переход от $|0\rangle$ к $|1\rangle$ с амплитудами $f_{0,1}(y)$ когда открыт только один из них. Таким образом, унитарное преобразование для некоторых $\alpha_{0,1}$ это не имеет значения,

| 0 ⟩ \mapsto α_{0} (у) | 0 ⟩ + ж_{0} (у) | 1 ⟩ | 1 ⟩ \mapsto α_{1} (у) | 0 ⟩ + ж_{1} (у) | 1 ⟩ .

⟨ А ⟩ знак равно Тр (U ρ U^{†} {\hat{А}}_{1}) знак равно Тр (ρ U^{†} {\hat{А}}_{1} U) .

$\langle A \rangle = \operatorname{Tr} (U\rho U^\dagger~ \hat A_1) = \operatorname{Tr} (\rho~U^\dagger \hat A_1 U).$ Матрица

U^{†} {\hat{A}}_{1} U

$U^\dagger \hat A_1 U$ следовательно является

[\begin{matrix} α_{0}^{*} & ж_{0}^{*} \\ α_{1}^{*} & ж_{1}^{*} \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} α_{0} & α_{1} \\ ж_{0} & ж_{1} \end{matrix}] знак равно [\begin{matrix} ж_{0} ж_{0}^{*} & ж_{1} ж_{0}^{*} \\ ж_{0} ж_{1}^{*} & ж_{1} ж_{1}^{*} \end{matrix}] .

$\begin{bmatrix}\alpha_0^*&f_0^*\\\alpha_1^*&f_1^*\end{bmatrix} \begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\alpha_0&\alpha_1\\f_0 & f_1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}f_0 f_0^*& f_1 f_0^*\\f_0 f_1^* & f_1 f_1^*\end{bmatrix}.$ Это наша наблюдаемая матрица с двумя щелями.

Исходя из этого, у вас достаточно, чтобы вычислить два случая, которые

\begin{aligned} Тр (ρ \hat{А}) знак равно & а а^{*} ж_{0} ж_{0}^{*} + а б^{*} ж_{0} ж_{1}^{*} + а^{*} б ж_{0}^{*} ж_{1} + б б^{*} ж_{1} ж_{1}^{*} знак равно | а ж_{0} (у) + б ж_{1} (у) |^{2} \\ Тр (\tilde{ρ} \hat{А}) знак равно & а а^{*} ж_{0} ж_{0}^{*} + б б^{*} ж_{1} ж_{1}^{*} знак равно | а ж_{0} (у) |^{2} + | б ж_{1} (у) |^{2} . \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{Tr} (\rho \hat A) =& a a^* f_0 f_0^* + a b^* f_0 f_1^* + a^* b f_0^* f_1 + b b^* f_1 f_1^* = |a f_0(y) + b f_1(y)|^2\\ \operatorname{Tr} (\tilde \rho \hat A) =& a a^* f_0 f_0^* + b b^* f_1 f_1^* = |a f_0(y)|^2 + |b f_1(y)|^2.\end{align}$ Фактически, в целом последняя матрица вероятностей без недиагональных членов ведет себя как классическая вероятностная смесь классических битов.

0

$0$ и

1.

$1.$ Это очень общий результат линейности следа; в общем, если

ρ = \sum_{i} p_{i} ρ_{i}

$\rho = \sum_i p_i \rho_i$ тогда

Tr (ρ \hat{A}) = \sum_{i} p_{i} Tr (ρ_{i} \hat{A})

$\operatorname{Tr}(\rho \hat A) = \sum_i p_i \operatorname{Tr}(\rho_i \hat A)$ , поэтому система ведет себя как классическая вероятностная смесь различных составляющих

ρ_{i}

$\rho_i$ . (Внимание: эта основа, как правило, не уникальна. Если вы ее проработаете,

ρ = \frac{1}{2} | 0 ⟩ ⟨ 0 | + \frac{1}{2} | 1 ⟩ ⟨ 1 |

$\rho = \frac 12 |0\rangle\langle 0| + \frac 12 |1\rangle\langle 1|$ на самом деле то же самое, что и

ρ = \frac{1}{2} | + ⟩ ⟨ + | + \frac{1}{2} | - ⟩ ⟨ - | .

$\rho = \frac 12 |+\rangle\langle +| + \frac 12 |-\rangle\langle -|.$ Я говорю вам это, потому что слышал, как люди, не знающие этого, утверждают, что это объясняет, как квантовая механика «выбирает» основу для своей декогеренции, поэтому мир выглядит скорее классическим, чем квантовым в макромасштабе ... На самом деле вообще не решаю эту проблему!

Вот как легко понять запутанность как разрушающую согласованность: чем больше вы запутаны, тем больше ортогональность другой системы убивает ваши недиагональные члены, и тем больше ваше подсостояние выглядит как классическая смесь вероятностей, передавая холодный квант эффекты для системы в целом.

Вау, Крис! Большое спасибо за то, что нашли время! Мне многое прояснили! Если я могу задать еще несколько вопросов: 1) Матрица подсостояний такая же, как и приведенная матрица плотности? К сожалению, я теряюсь, когда используются такие идеи, как «частичная трассировка» или «трассировка», что мы имеем в виду? 2) Мне нравится ваша точка зрения о матрице плотности $|00\rangle + |11\rangle$ состояние было очень важным, но я не понимал, почему его можно было получить только через матрицу подсостояний? 3) поэтому в вашем последнем примере вы показали, что с помощью $\rho$ вся система когерентна, и используя $\tilde \rho$ любая подсистема больше не согласована
4) Мне кажется, что если бы я лучше понимал, что подразумевается под отслеживанием идей, я бы понял, почему недиагональные термины равны $0$ было бы так важно (и подразумевает декогеренцию), но мне все еще не хватает этого :( 5) Что произошло здесь с состоянием $0$ : $|0\rangle \mapsto \alpha_0(y) |0\rangle + f_0(y) |1\rangle$ , например, через Адамара? Есть ли какая-нибудь книга, в которой приводятся аргументы, подобные вашей, по таким вопросам? Я бы хотел прочитать обо всем этом, очень интересно!
1. Да, приведенная матрица плотности является эффективной матрицей состояния подсостояния. Значение «трассировки» дано выше (уравнение после «Эта матрица подсостояния ...»); так что $|a\rangle\langle b|$ компонент эффективной матрицы субсостояния является $\langle a0|\rho|b0\rangle + \langle a1|\rho|b1\rangle$ , суммируя все члены, которые содержат одно и то же внешнее подсостояние (часть системы, которая не находится в подсостоянии, для которого мы генерируем уменьшенную матрицу плотности), одинаковы как для левой, так и для правой стороны. 3. Не совсем; когда я говорю $\rho$ здесь я имею в виду то, что определено в предыдущем разделе.
Итак, это просто матрица плотности $a|0\rangle+b|1\rangle$ состояние, а не "общее" состояние. 4. Это не совсем про «отслеживание». Вам просто нужны недиагональные члены, чтобы получить что-то, что не похоже на $p_1 \rho_1 + p_2 \rho_2$ , которая действует полностью как классическая вероятностная смесь, как указывалось выше. 5. Я не уверен, о чем вы спрашиваете; Я пытаюсь создать двухщелевую интерференционную картину $|f_0(y) + f_1(y)|^2$ для кубита $|0\rangle + |1\rangle$ , поэтому я просто формализирую, как выглядит наблюдаемая матрица. 6. Нильсен и Чуанг довольно стандартны.
Большое спасибо, Крис, ваша помощь очень ценится! Мне нужно прочитать матрицы плотности, чтобы полностью понять все ваши соображения, например, я не понимаю, в чем смысл использования идентичностей, таких как $I = \sum_{mn} |m,n\rangle\langle m,n|$ ... когда мы уже были в базе (i, j). Еще раз спасибо
Я все еще задаюсь вопросом, конечно, математика, как вы ее показываете, действительно указывает на потерю когерентности, если рассматривать эксперимент с двойной щелью с запутанной частицей, но с физической точки зрения вы понимаете, почему она должна декогерировать и не показывать интерференцию, если это так? запутался?
@CRDrost, не могли бы вы дать какой-нибудь справочник по квантовой механике и запутанности? Я чувствую, что способ преподавания QM скрывает большую часть физики. Я изучаю книгу Баллентина и геометрию квантовых состояний.

Тимей · Answer 5

Когда у меня есть частица $A$ в состоянии суперпозиции $\psi_A = a|0\rangle + b|1\rangle$ и запутать его в другую систему $B,$ в состоянии $\psi_B,$ моя первая частица все еще остается в суперпозиции, и ее измерение все еще случайно , не так ли?

Когда две частицы запутаны, тогда у вас просто нет частицы A в состоянии A и частицы B в состоянии B. Если бы две частицы имели свои собственные состояния, то совместное состояние было бы продуктом этих двух состояний.

Вернитесь и перечитайте первую часть, где автор говорит о том, что значит быть запутанным, когда вы не запутаны, у вас есть общее состояние как продукт двух состояний одной частицы. Но у запутанных состояний этого нет (по определению). Если вы перечитываете его, обратите внимание, что суперпозиция двух собственных состояний направления вращения 1/2 - это просто собственное состояние по-разному ориентированного собственного состояния. Суперпозиция состояний отдельных частиц не должна быть более странной, чем собственное состояние, поэтому, когда автор говорит, что суперпозиции отдельных частиц являются странными и неклассическими, это может быть не так. И прошлое о значениях ожидания тоже неверно, нет функций от x после того, как вы взяли значение ожидания. Но в остальном. Определение запутанности казалось прекрасным, хотя вы, кажется, не поняли его.

Так почему мы говорим, что запутанность разрушает согласованность?

Не сосредотачивайтесь на суперпозиции, в результате суперпозиции нет физического смысла, то, что вы получаете после суперпозиции, может быть тем, с чего кто-то начинает делать суперпозицию, поэтому это не ключ ни к чему. Это реально, но не думайте, например, что вы можете нацелиться на что-то и сказать, было ли это суперпозицией. Суперпозиция подобна сумме. Вы можете посмотреть на 5 и сказать, что это 2 + 3 и это сумма, но кто-то другой может посмотреть на 5 + 7 и сказать, что 5 - это член. Срок ... Сумма. Вы не можете точно сказать.

Интерференция возникает, когда две вещи перекрываются, а не ортогональны. Например, можно запутать спин и все же получить пространственную интерференцию, пока спиновая динамика не связана с пространственной динамикой.

Причина, по которой запутывание может разрушить помехи, заключается в том, что они не перекрываются. Я сказал, что вы можете получить помехи, даже если запутаете спины. Чтобы избавиться от интерференции, можно запутать левую часть одной частицы и левую другую.

Вы видите, что волна - это не волна в космосе, иногда люди просто не могут сказать вам об этом. Когда у вас есть две (или более) частицы, волна находится в конфигурационном пространстве, что означает, что вы присваиваете комплексное число пространству 6d, где первые три координаты говорят вам, где находится первая частица, а следующие три говорят вам, где находится вторая и скоро. Итак, знание всех частиц сообщает вам конфигурацию, а знание конфигурации сообщает вам все частицы.

Таким образом, когда вы запутываете положения обеих частиц, тогда волна отлична от нуля только для конфигураций, где они обе левые или обе правые. Когда вы пытаетесь получить интерференцию, вам нужно, чтобы две волны оценивались в одной и той же точке. В сообщении, которое вы читаете, оно было написано как x, но это должна была быть точка в 6d пространстве, например $(x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_2).$ Так что они не мешают, потому что на каждом $(x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_2)$ у той, которая пошла налево, по-прежнему есть вторая часть, как слева, а у той, которая пошла направо, по-прежнему вторая частица справа, поэтому 6d x, где находится волна, просто не имеет $\left|00\right\rangle$ и $\left|11\right\rangle$ перекрываются в любом месте экрана. В некотором смысле волны просто не перекрываются.

Было бы здорово, если бы можно было подробно показать это для простейших запутанных пар!

Это на 100% похоже на то, что левая щель стреляет лучом вверх, а правая - вниз. Справа и внизу вы видите большое пятно, а слева и вверх вы видите пятно ошибки, и нет никакого вмешательства, потому что два пути не пересекаются.

Отсутствие дублирования делает согласованность несущественной. И это кажется глубоким только потому, что вам не рассказали все подробности. Каждая предполагаемая глубокая вещь в квантовой механике просто зацикливается на словах вместо того, чтобы смотреть на детали динамики реальной экспериментальной установки.

Может быть, дело в том, что если $B$ сначала измеряется, только потом $A$ теряет связность?

Порядок измерений на разных частицах не влияет на частоту получения результатов.

Означает ли обратное, что концепция декогеренции тесно связана с запутыванием небольшой системы с ее окружением?

да. То, что вы называете измерением, - это конечный результат процесса связывания объекта с устройством, а затем и с окружающей средой. Запутывание естественно.

Или, другими словами, произойдет ли декогеренция вообще без запутывания?

Не бывает запутанности «без запутанности» - это естественная вещь, которая происходит постоянно. Не существует известного способа избежать этого, я думаю, если бы у вас не было никаких взаимодействий, вы могли бы избежать этого.

Запутанность и согласованность

user098876

Кайл Арин-Рейнс

Ответы (5)

удрв

user929304

удрв

user929304

user929304

удрв

удрв

user929304

удрв

user929304

удрв

АКВ

Кайл Канос

танасис евангелопулос

Пагода

CR Drost

Формулировка матрицы состояний квантовой механики

Как создать эффективную матрицу подсостояний

Разница между суперпозицией и запутанностью.

Наблюдаемая с двойной щелью

user098876

user098876

CR Drost

CR Drost

user098876

user098876

user29978

Тимей