Имеет ли крыло в потенциальном потоке подъемную силу?

Первый вопрос, который вам нужно задать: действительно ли существует безвихревая, невязкая, несжимаемая жидкость?

Ответ — нет (ну, вроде как, если рассматривать сверхжидкости ). Безвихревая, невязкая, несжимаемая жидкость — это математическое творение, упрощающее решение основных уравнений.

Лифт не может существовать без вязкости! Это самое распространенное заблуждение, которое приходит из курса аэродинамики бакалавриата. Так что стоит повторить. Подъемная сила не может существовать без вязкости .

Начальная проблема

Однако, когда мы смотрим на потенциальный поток, мы получаем перепады давления, и эти перепады давления приводят к подъемной силе, так что же дает? Во-первых, уравнения потенциала на самом деле не выполняются, пока начальный вихрь не окажется достаточно далеко. Обсуждение «достаточно далеко» — опять-таки расплывчатое понятие. Но он включает в себя определение скорости, создаваемой на крыле стартовым вихрем, с использованием закона Био-Савара . По сути, это «достаточно далеко», когда индуцированная скорость мала по сравнению с другими величинами скорости в задаче. Вязкость вызывает появление этого начального вихря, и именно этот начальный вихрь вызывает перепады давления.

Кроме того, при отсутствии вязкости циркуляция сохраняется по замкнутому пути. Это не проблема, если мы сделаем нашу область достаточно большой, чтобы включить начальный вихрь. Однако на самом деле мы не можем найти начальный вихрь с предположениями, сделанными для получения уравнений потенциала, поэтому мы должны исключить его из области. Это означает, что нам нужна какая-то циркуляция внутри нашей области, и это то, что становится связанным вихрем .

Вот иллюстрация (простите меня, я решительно не художник):

При запуске вязкость приводит к тому, что начальный вихрь сбрасывается, и он движется вниз по потоку. Потенциальные уравнения не могут справиться с этой ситуацией, потому что в них отсутствует вязкий член. Это просто не то, что они могут предсказать. Однако в набегающем потоке поток ведет себя как невязкий. Поэтому, как только исходная проблема будет упущена из виду, этот вихрь будет существовать вечно, потому что ничто не рассеет его. Если мы возьмем эту сплошную внешнюю линию в качестве контрольной поверхности, мы можем проинтегрировать ее и обнаружить, что циркуляции нет. Так что лорд Кельвин может спать спокойно.

Но, поскольку этот вихрь длится вечно, то вечно его отслеживать невозможно, либо решение проблемы становится очень дорогим. И нас (обычно) интересует стационарное решение (хотя возможны и нестационарные потенциальные решения). Итак, мы делаем искусственный разрез в нашем домене, это пунктирная линия. Когда мы делаем этот разрез, интеграл завихренности вокруг суммы двух меньших управляющих поверхностей должен быть равен 0 . Это означает, что вихрь, связанный с профилем, имеет циркуляцию, равную по величине и противоположную по направлению циркуляции исходного вихря.

Во время этого процесса запуска на задней кромке существуют очень большие градиенты скорости. Это то, что заставляет этот вихрь сбрасываться. Как только вихрь удаляется, градиенты скорости становятся все меньше и меньше, в конце концов достигая нуля. Это условие нулевого градиента автоматически обрабатывается вязкостью, но оно должно быть реализовано в уравнениях потенциала через условие Кутты .

Состояние кутты

Причина, по которой нам нужно условие Кутты, чисто математическая. Когда делается предположение о невязкости, порядок определяющих уравнений падает, и мы больше не можем применять два граничных условия. Если мы посмотрим на несжимаемое, вязкое уравнение импульса:

$\frac{\partial u_i}{\partial t} + u_i\frac{\partial u_i}{\partial x_j} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial P}{\partial x_i} + \nu \frac{\partial^2 u_i}{\partial x_j \partial x_i}$

мы можем применить два граничных условия, потому что у нас есть вторая производная в$u$. Обычно мы устанавливаем их равными$u_n = 0$а также$u_t = 0$, что означает отсутствие потока через поверхность и отсутствие скорости вдоль поверхности.

Отбрасывание вязкого члена приводит к тому, что в$u$и поэтому мы можем применить только одно граничное условие. Поскольку течение через тело невозможно, мы отказываемся от требования, чтобы тангенциальная скорость была равна нулю — это приводит к граничному условию скольжения . Однако физически неправильно оставлять эту линию скольжения ниже по течению от задней кромки. Таким образом, условие Кутты необходимо, чтобы заставить скорости совпадать на задней кромке, устраняя прерывистый скачок скорости вниз по течению.

Джон Андерсон-младший объясняет в «Основах аэродинамики» (курсив в тексте):

... в реальной жизни способ , которым природа гарантирует, что поток будет плавно покидать заднюю кромку, то есть механизм, который природа использует для выбора потока ... заключается в том, что вязкий пограничный слой остается прикрепленным на всем пути. до задней кромки. Природа усиливает состояние Кутты посредством трения. Если бы не было пограничного слоя (то есть трения), в реальном мире не было бы физического механизма для достижения условия Кутты.

Он предпочитает объяснять, что природа нашла способ обеспечить выполнение условия Кутты. Я предпочитаю думать об этом с другой стороны: условие Кутты — это математическая конструкция, которую мы используем , чтобы усилить природу в нашем математическом приближении.

Неверное объяснение

Объяснение того, что поток наверху должен двигаться быстрее, чтобы не отставать от потока на дне, называется принципом равного транзита , и это действительно не лучший способ представить проблему. Это противоречит интуиции, не имеет экспериментальной проверки и на самом деле просто приводит к большему количеству вопросов, чем дает ответов в большинстве классов, которые он обсуждает.

Вывод

Подводя итог всему этому и прямо отвечая на ваш вопрос: да, крылья имеют подъемную силу в несжимаемом (и сжимаемом), безвихревом, невязком потоке . Но только потому, что уравнения потенциального потока являются математической абстракцией, а условие Кутты — математическим «трюком» для восстановления решения, которое создает подъемную силу в этих условиях. Конечно, не всякое крыло будет иметь подъемную силу. Симметричное крыло при нулевом угле атаки не будет иметь подъемной силы.

Подъемная сила аэродинамического профиля не возникает из-за асимметричной формы крыла. Это происходит из-за того, что направление воздушного потока отклоняется. Это отклонение принимает форму завихрения вокруг крыла, но это не противоречит потенциальному потоку.

Эта статья ясно показывает, как вихрь может быть безвихревым.

Эта картинка в статье Википедии о потенциальном потоке иллюстрирует крыло, создающее подъемную силу в потенциальном потоке.

Вот лучшее, самое научное и самое доступное обсуждение , которое я когда-либо видел, объясняющее, как работают крылья. Наслаждаться!

Решение потенциального обтекания аэродинамического профиля без условия Жуковского-Кутты всегда должно приводить к нулевой циркуляции. Если мы просто примем во внимание условие JK, решение будет другим; мы неявно включили вязкость в задачу, а циркуляция не обязательно равна нулю, даже члена вязкости нет!