Каков эксцентриситет орбиты (траектории), падающей прямо к центру?

Эксцентриситет равен 1,0.

Эксцентриситет$e$орбиты можно найти по радиусу апоапсы и периапсиды как:

$$e=\frac{r_a-r_p}{r_a+r_p}$$

и большая полуось$a$также можно из:

$$a=\frac{r_a+r_p}{2}$$

Если вы бросите объект горизонтально (скорость перпендикулярна вектору положения), вы окажетесь на замкнутой орбите, если вы бросите со скоростью, меньшей, чем скорость убегания, на открытой параболической орбите, если вы бросите его точно со скоростью убегания, или на открытой гиперболической, если вы бросите это больше, чем скорость убегания.

Существует скорость, которая приведет к идеальной круговой орбите с$e=0$. С тем же успехом мы могли бы назвать это «круговой орбитальной скоростью». В уравнении эксцентриситета, если$r_a=r_p$как и на круговой орбите, мы видим, что числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, поэтому вся дробь также равна нулю.

Если вы бросаете медленнее, чем круговая скорость, объект упадет ближе к центру, прежде чем вернуться обратно. Чем ниже опускается объект, тем ниже периапсида. В уравнении эксцентриситета, как$r_p$уменьшается, числитель растет, а знаменатель уменьшается, поэтому вся дробь увеличивается. По мере того, как мы идем медленнее, мы увеличиваем эксцентриситет.

Предельным случаем этого является то, что если вы бросаете его на нулевой скорости, то есть вы его бросаете.

Для объекта, брошенного в гравитационное поле вокруг истинной точечной массы, вы получите апоапсиду, являющуюся радиусом, на который вы уронили объект, и периапсиду, равную нулю. Это очень странная орбита, потому что объекту потребуется конечное время, чтобы достичь центра, но он достигнет бесконечной скорости, как только он пройдет центр, где он совершит поворот на 180 ° и вернется обратно, пока не достигнет своего первоначального падения. высоту с нулевой скоростью и начинает новый цикл. Вы можете использовать третий закон Кеплера, чтобы вычислить время этой орбиты, так как она по-прежнему имеет четко определенное$a$.

Сферически-симметричная масса с определенной поверхностью (плотность равна нулю вне определенного радиуса) имеет такое же гравитационное поле, что и центрированная точечная масса повсюду за пределами своей поверхности. Следовательно, объект, брошенный над поверхностью более реалистичной планеты, будет следовать по орбите, идентичной орбите, брошенной на том же радиусе над точечной массой, пока не упадет на поверхность. Если бы он прошел через поверхность (скажем, вы просверлили отверстие), гравитационное поле под поверхностью не было бы таким же, как у точечной массы.

Всякий раз, когда я на бейсбольном матче вижу летучую мушку, меня всегда забавляет мысль о том, что траектория, по которой следует мяч, на самом деле не парабола, а просто конец очень вытянутого эллипса, который , если продолжить его, образует такой же формы вблизи центра Земли.

В этом случае,$r_p=0$. Числитель дроби эксцентриситета равен$r_a-0=r_a$, а знаменатель равен$r_a+0=r_a$также. Эксцентриситет ровно 1,0.

— Но Кван! Я слышу, как ты кричишь. "Если$e=1$, разве это не делает ее параболической орбитой?" В данном случае нет. Параболическая орбита имеет$e=1$ и $a=\infty$, а орбита капли имеет$e=1$но явно не бесконечный$a=r_a/2$.

Этот случай является пределом того, что эллипс становится все тоньше и тоньше по мере удаления фокусов. В этом пределе один фокус находится в центре, один — в точке сброса, а эллипс имеет нулевую ширину, но конечную длину.

На этом изображении круг, который не движется, представляет собой сферу с радиусом 1, а движущийся эллипс представляет собой орбиту с постоянным радиусом апоапсиса 2,0, но переменным эксцентриситетом.

Обратите внимание, что это не то, что произойдет, если вы просверлите отверстие в земле и уроните предмет. Это применимо только к истинной точечной массе и не принимает во внимание относительность (истинная точечная масса будет сингулярностью, и объект пройдет горизонт событий по пути вниз и никогда не вернется обратно).

Эксцентриситет радиальной орбиты равен$1$, независимо от его энергии.

Это класс орбит, где тип орбиты не может быть определен только по эксцентриситету. С «традиционной» параболической орбитой$e=1$, угловой момент$L$имеет четко определенное значение, но большая полуось$a$не определен. В случае вертикальной ограниченной орбиты свободного падения большая полуось$a$является хорошо определенной величиной, а угловой момент$L$является$0$.

Уравнение, связывающее угловой момент с эксцентриситетом и большой полуосью, показывает, как можно рассчитать эксцентриситет с учетом углового момента.

$$l = \sqrt{\mu a(1-e^2)}$$ Для параболической орбиты$a\rightarrow\inf$, поэтому определение углового момента с помощью этой формулы не работает. Однако для радиальных орбит, на которых объект не движется с точно космической скоростью, эта формула хорошо определена. Это означало бы, что эксцентриситет радиальной траектории, независимо от энергии, равен$1$. Статья в Википедии об эксцентриситете орбиты подтверждает это.

Радиальные траектории классифицируются как эллиптические, параболические или гиперболические на основе энергии орбиты, а не эксцентриситета. Радиальные орбиты имеют нулевой угловой момент и, следовательно, эксцентриситет равен единице. При сохранении постоянной энергии и уменьшении углового момента каждая эллиптическая, параболическая и гиперболическая орбиты стремятся к соответствующему типу радиальной траектории, в то время как e стремится к 1 (или, в параболическом случае, остается 1).

Множественные определения позволяют радиальной орбите также иметь эксцентриситет, равный единице.

$$e = \frac{r_a-r_p}{r_a+r_p}$$

$$e = \sqrt{1 + \frac{2\epsilon l^2}{\mu^2}}$$

с$\epsilon$удельная орбитальная энергия. Однако использование других с эксцентриситетом в качестве входных данных может привести к неопределенным результатам. А именно, параметрическое определение терпит неудачу в$\theta=0$:

$$r = \frac{a(1-e^2)}{1-e\cos\theta}$$

Таким образом, вывод состоит в том, что радиальная орбита имеет эксцентриситет$1$независимо от его энергии. Однако попытка использовать эксцентриситет для расчетов орбиты может привести к неопределенным результатам.

Ранее я упоминал, что коническое сечение — это прямая, но я думаю, что это неправильно, потому что орбита может быть ограничена (о чем идет речь), а это отрезок прямой. Поэтому мне любопытно коническое сечение ограниченной орбиты (и, если уж на то пошло, радиальной орбиты с положительной энергией).