Что оправдывает размерный анализ?

Физика не зависит от нашего выбора единиц

А для чего-то вроде длины плюс времени невозможно однозначно указать результат, который не зависит от выбранных вами единиц измерения длины или времени.

Любая измеримая величина принадлежит некоторому множеству$\mathcal{M}$. Часто это измеримое количество связано с некоторым понятием «сложения» или «конкатенации». Например, длина стержня$L \in \mathcal{L}$является измеримой величиной. Вы можете определить операцию сложения$+$на$\mathcal{L}$говоря, что$L_1 + L_2$– длина стержня, образованного встык стержней 1 и 2.

Тот факт, что мы присоединяем к нему действительное число, означает, что у нас есть изоморфизм

$$u_{\mathcal{M}} \colon \mathcal{M} \to \mathbb{R},$$ в котором $$u_{\mathcal{M}}(L_1 + L_2) = u_{\mathcal{M}}(L_1) + u_{\mathcal{M}}(L_2).$$ Выбор единиц по существу является выбором этого изоморфизма. Напомним, что изоморфизм обратим, поэтому для любого действительного числа$x$у вас есть возможное измерение$u_{\mathcal{M}}^{-1}(x)$. Я не уверен в том,$\mathbb{R}$множество действительных чисел или только положительных чисел; т.е. группы ли это, моноиды или что-то еще. Я не думаю, что это имеет большое значение для этого поста, и, что более важно, я еще не во всем этом разобрался.

Теперь, поскольку физика должна быть независима от нашего выбора единиц измерения, она должна быть независима и от конкретных изоморфизмов.$u_Q$,$u_R$,$u_S$и т. д., которые мы используем для наших измеримых величин$Q$,$R$,$S$и т. д. Замена единиц есть автоморфизм действительных чисел; учитывая две единицы$u_Q$а также$u'_Q$, изменение единиц

$$\omega_{u,u'} \equiv u'_Q \circ u_Q^{-1}$$ или, что то же самое, $$\omega_{u,u'} \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} \ni \omega(x) = u'_Q(u_Q^{-1}(x)).$$ Следовательно, $$\begin{align} \omega(x+y) &= u'_Q(u_Q^{-1}(x+y)) \\ &= u'_Q(u_Q^{-1}(x)+u_Q^{-1}(y)) \\ &= u'_Q(u_Q^{-1}(x)) + u'_Q(u_Q^{-1}(y)) \\ &= \omega(x) + \omega(y). \end{align}$$

Итак, поскольку$\omega$является автоморфизмом вещественных чисел, он должен быть масштабированием$\omega(x) = \lambda x$с некоторым относительным масштабом$\lambda$(Как указал @SeleneRoutley, для этого требуется слабое предположение, что$\omega$есть непрерывная функция — везде есть и разрывные решения. Очевидно, единицы бесполезны, если они везде прерывисты; в частности, чтобы инструментальная погрешность измерения отображала допустимое пространство$u_\mathcal{M}$в интервал$\mathbb{R}$. Если мы допустим существование операции заказа на$\mathcal{M}$, или, возможно, независимая от единиц топология, это можно было бы уточнить.).

Рассмотрим типичную физическую формулу, например,

$$F \colon Q \times R \to S \ni F(q,r) = s,$$ куда$Q$,$R$, а также$S$все аддитивно измеримы в смысле, определенном выше. Дайте все три из этих измеримых единиц. Тогда есть функция $$f \colon \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ определяется $$f(x,y) = u_S(F(u_Q^{-1}(x),u_R^{-1}(y)).$$

Требование независимости физики от единиц означает, что если единицы для$Q$а также$R$масштабируются на некоторые суммы$\lambda_Q$а также$\lambda_R$, то должно происходить масштабирование$S$,$\lambda_S$, такой, что

$$f(\lambda_Q x, \lambda_R y) = \lambda_S f(x,y).$$

Например, представьте, что функция импульса принимает массу$m \in M$и скорость$v \in V$придать импульс$p \in P$. Выбор$\text{kg}$для массы,$\text{m/s}$для скорости и$\text{kg}\,\text{m/s}$для импульса это уравнение

$$p(m,v) = m*v.$$ Теперь, если единицу массы изменить на$\text{g}$, он масштабируется$1000$, а если скорость изменить на$\text{cm/s}$, он масштабируется$100$. Единичная зависимость требует перемасштабирования импульса таким образом, чтобы $$p(1000m,100v) = \lambda p(m,v).$$ Это просто --$10^5 mv = \lambda mv$так что$\lambda = 10^5$. Другими словами, $$p[\text{g} \, \text{cm/s}] = 10^5 p[\text{kg} \, \text{m/s}].$$

Теперь давайте рассмотрим гипотетическую ситуацию, когда у нас есть величина, называемая «длина плюс время», определяющая, что, когда длина измеряется в метрах, а время в секундах, и «длина плюс время» в некоторой гипотетической единице, называемой «метр + секунда», уравнение для «длина плюс время»

$$f(l,t) = l + t.$$ Это то, что вы сказали -$10 \text{ m} + 5 \text{ s} = 15 \text{ “m+s”}$. Теперь, является ли это уравнение инвариантным относительно замены единиц? Измените масштаб длины на$\lambda_L$и шкала времени на$\lambda_T$. Есть ли номер$\Lambda$такой, что $$f(\lambda_L l, \lambda_T t) = \lambda_L l + \lambda_T t$$ равно $$\Lambda f(l,t) = \Lambda(l+t)$$ на все времена и длины$l$а также$t$? Нет! Следовательно, это уравнение$f = l + t$не может быть действительным представлением физической формулы в действительных числах.

Хорошо, я обналичиваю свои комментарии, чтобы дать ответ:

Давайте начнем с примера, который вообще не использует размеры, единицы измерения или физику. Как мы оцениваем следующее выражение?

$$1 + \begin{pmatrix}5\\2\\-9\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}a\ b\\c\ d\end{pmatrix}$$

Ответ таков: мы этого не делаем. Не без определения некоторого специального соглашения, например, что каждое количество умножается на некоторую невидимую матрицу, так что все они в конечном итоге равны$3\times3$матрицы... это просто произвольно и непоследовательно.

Теперь, как мы интерпретируем$5 \text{meter} + 10 \text{seconds}$? Ответ таков: мы этого не делаем. Опять же, не без определения некоторых произвольных, непоследовательных и бессмысленных соглашений. Вы предложили, что оно равно 15; хорошо, я определю$5\text{m}+10\mu \text{s}=15$также, и теперь мы только что доказали, что микросекунды равны секундам.

Урок в том, что не существует осмысленного способа сложения несоизмеримых типов величин. В физике мы называем общие типы измерениями . Примеры измерений: длина, время, энергия, масса и т. д. Единицы — это особые способы представления размеров, например, метры и футы — это единицы измерения длины.

Итак, как это относится к вашему примеру с кометой? Вы заметили (правильно), что мы действительно можем умножать разные измерения. Например , масса , умноженная на скорость , имеет размерность импульса . Но это еще не означает, что вы можете сравнивать разрозненные количества. Условие правильности расчета:

$$(\text{comet mass})\times(\text{period}) - (\text{the true speed}) = 0$$ Но, как мы уже показали, это выражение бессмысленно, так как мы не можем складывать (или вычитать) количества разной размерности.

В физике нельзя игнорировать единицы; они сопровождают каждый подшаг каждого расчета. С точки зрения математики, считайте единицы измерения переменными, поэтому вместо 5 метров + 10 секунд у вас будет 5x + 10y. Если вы произвольно не присвоите x = y = 1, вы никак не получите из этого 15; в конце концов, у вас все еще есть 5x + 10y, а физику не интересуют комплексные числа. В конце вычисления вам нужно одно число , а «5x + 10y» — это два числа. И вот загвоздка в физике: вам не разрешено присваивать значения этим переменным. Это основные, непреодолимые единицы; вы не можете сказать, что «метры равны 1».

С другой стороны, вам разрешено умножать единицы, как никому другому. «Фурлонги за две недели» — глупая фраза, но вы можете использовать ее, и все (после некоторого преобразования) поймут, что именно вы говорите:

$$13440\frac{\text{furlongs}}{\text{fortnight}} \times \frac{1 \; \text{mile}}{8 \; \text{furlongs}} = 1680\frac{\text{miles}}{\text{fortnight}}$$

$$1680 \frac{\text{miles}}{\text{fortnight}} \times \frac{1 \; \text{fortnight}}{336 \; \text{hours}} = 5 \frac{\text{miles}}{\text{hour}}$$

(На меня обрушилась орда разгневанных физиков из-за того, что я использовал имперские единицы измерения.)

На каждом этапе этих преобразований единицы никогда не исчезали; они остались с цифрами. Когда вы вычисляете что-то в физике, числа, с которыми вы играете, — это реальные вещи ; они представляют количество чего-то, и это что-то не исчезает только потому, что вы считаете это неудобным. Итак, если астероид проходит 10 метров за 5 секунд, это выглядит так:

$$10 \; \text{meters} \times \frac{1}{5 \; \text{seconds}} = 2 \frac{\text{meters}}{\text{second}}$$

Вы можете умножать и делить количества, как хотите, и в итоге вы получите несколько странных единиц, но ваше окончательное число будет действительным, хотя его может быть трудно связать со всем остальным. (Например, вязкость жидкости измеряется в (килограммах на (метр * секунду)), что не особенно интуитивно понятно, но полезно в определенных местах, где используется вязкость.)

Большинство ответов, кажется, повторяют, что вам не разрешено добавлять длину и время только потому, что это не имеет смысла. Вот почему это не имеет смысла.

Если два объекта имеют одинаковую температуру в градусах Цельсия, то они имеют одинаковую температуру и в градусах Фаренгейта.

Если два объекта имеют одинаковую скорость в метрах в секунду, то они имеют одинаковую скорость и в милях в час.

Но если два объекта имеют одинаковую «сумму длины и времени» в метрах + секундах, они могут не иметь одинаковой «суммы длины и времени» в других единицах измерения. Например,

$$60\,\text{meters}+0\,\text{seconds}\ “=”\ 0\,\text{meters}+60\,\text{seconds}$$ но $$60\,\text{meters}+0\,\text{minutes}\ “\ne”\ 0\,\text{meters}+1\,\text{minute}.$$ Поэтому не имеет смысла думать о сумме длин-времени как о реальной физической величине, а не как о числовом совпадении, вызванном нашим выбором единиц измерения.

По сути, это последняя часть ответа jwimberley, но я подумал, что было бы полезно привести явный пример, чтобы суть была очевидна.

Джек, я сначала объясню проблему математическим, а не физическим способом. Математическая проблема здесь заключается в том, что предлагаемая вами операция не имеет четкого определения на уровне базовой физики. Давайте взглянем на некоторые ситуации в математике, где возникают проблемы такого типа, которые не имеют ничего общего с физическими единицами.

В исчислении имеем$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$куда$F(x)$является любой первообразной$f(x)$. Что, если бы кто-нибудь пришел и спросил, есть ли новая операция?$I(f,a,b) = F(b) + F(a)$имеет какой-либо полезный смысл с точки зрения исходной функции$f(x)$и интервал$[a,b]$. Это не так, потому что если вы измените первообразную, вы измените ответ . Для любых двух первообразных$F(x)$а также$G(x)$из$f(x)$, они отличаются на константу, скажем$G(x) = F(x) + C$. Это означает, что разность первообразных$f(x)$в$a$а также$b$не зависит от выбора первообразных, а является суммой первообразных$f(x)$в$a$а также$b$не является:

$$G(b) - G(a) = (F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a)$$ пока $$G(b) + G(a) = (F(b) + C) + (F(b) + C) = F(b) + F(a) + 2C,$$ который не $F(b) + F(a)$пока не $C = 0$(т.е., $G(x) = F(x)$). Таким образом, разность значений первообразной $f(x)$является четко определенным числом с точки зрения исходной функции $f(x)$, а сумма значений первообразной - нет. Если вы хотите указать определенное действительное число из первообразной $f(x)$, и пусть это определенное число определяется исключительно $f(x)$а не выбор антипроизводной, различия имеют смысл, а суммы - нет. Кстати, это играет роль в физике: потенциальная энергия определяется только с точностью до общей аддитивной константы, что объясняет, почему разность значений потенциальной энергии имеет физический смысл, а сумма значений потенциальной энергии — нет.

Другой пример из геометрии. Мы складываем углы, но никогда не умножаем углы. Есть ли математическая проблема с умножением углов? Да: измерение угла определяется только до целого числа, кратного$2\pi$, и это свойство соблюдается при сложении, но не при умножении. Если$\theta_2 = \theta_1 + 2\pi{k}$а также$\varphi_2 = \varphi_1 + 2\pi{\ell}$для некоторых целых чисел$k$а также$\ell$, тогда

$$\theta_2 + \varphi_2 = \theta_1 + \varphi_1 + 2\pi(k+\ell),$$ поэтому две суммы $\theta_2 + \varphi_2$а также $\theta_1 + \varphi_1$снова равны с точностью до целого числа, кратного $2\pi$. Однако, $$\theta_2\varphi_2 = \theta_1\varphi_1 + 2\pi(k\varphi_1 + \ell\theta_1 + 2\pi{k}\ell)$$ а также $k\varphi_1 + \ell\theta_1 + 2\pi{k}\ell$не всегда является целым числом. (Если бы у вас была абстрактная алгебра, я мог бы сказать, что «проблема» здесь в том, что $2\pi{\mathbf Z}$является подгруппой ${\mathbf R}$но не идеал в ${\mathbf R}$, поэтому частное ${\mathbf R}/2\pi{\mathbf Z}$можно задать структуру аддитивной группы, но не кольца.) Если вы хотите сказать «но я могу говорить о $\sin(xy)$для любых чисел $x$а также $y$, а это умножение углов", я бы сказал, что это не так: в выражении $\sin(xy)$с реальными переменными $x$а также $y$, цифры $x$а также $y$должны рассматриваться как действительные числа, а не углы. История отличается от $\sin(2x)$, которое корректно определено, когда $x$рассматривается как угол (число с точностью до сложения на целое кратное $2\pi$). Это различие является причиной того, что $x$в ряд Фурье $$f(x) = \sum_{n \in {\mathbf Z}} c_ne^{2\pi{i}nx}$$ можно рассматривать как лежащую на круге, если хотите, но $x$в преобразовании Фурье $$({\mathcal F}f)(x) = \int_{{\mathbf R}} f(y)e^{2\pi{i}xy}\,dy$$ нельзя и нужно мыслить на прямой: преобразование Фурье не есть $2\pi$-периодическая функция $x$, поэтому некорректно рассматривать преобразование Фурье как функцию на единичной окружности.

В линейной алгебре след линейного оператора$A \colon V \rightarrow V$в конечномерном векторном пространстве определяется как$\sum_{i} a_{ii}$куда$(a_{ij})$представляет собой матричное представление$A$в основе$V$. Принципиально важно, что эта сумма не зависит от выбора базиса . Мы использовали базис для вычисления трассировки, но если вы хотите, чтобы трассировка была функцией исключительно оператора $A$тогда он должен иметь одно и то же значение независимо от того, на какой основе вы используете$V$. Из курса линейной алгебры вы узнаете, что след не зависит от базиса, используемого для его вычисления. С другой стороны, «анти-след»$\sum_{i} a_{i,n+1-i}$(сумма на антидиагонали) или «граничный след» (сумма вокруг границы матричного представления$A$) не являются четко определенными, потому что, если вы измените базис, новое матричное представление будет иметь другое значение для его анти-следа или граничного следа. Вот почему вы никогда не услышите, чтобы кто-нибудь говорил о таких суммах в линейной алгебре, поскольку они не являются четко определенными функциями исходного оператора: они зависят от выбора базиса. В той мере, в какой вы согласны с тем, что геометрические понятия не должны зависеть от выбора вами системы координат, вы согласитесь и с тем, что полезные понятия линейной алгебры не должны зависеть от выбора базиса.

В алгебраической геометрии многочлены не являются четко определенными функциями в проективном пространстве, поскольку их значения меняются при изменении однородных координат. Но отношения однородных многочленов одной степени дают один и тот же ответ для всех однородных координат точки, и поэтому отношения однородных многочленов одной степени являются естественными функциями на проективном пространстве.

В школьной математике сложение дробей не $(a/b) + (c/d) = (a+c)/(b+d)$, так как эта операция определена нечетко: хотя 1/2 = 5/10 и 3/4 = 6/8, этот фиктивный способ объединения дробей путем добавления числителей и знаменателей не приводит к тому же результату при изменении как вы пишете дробь:$(1+3)/(2+4) = 4/6$а также$(5+6)/(10+8) = 11/18 \not= 4/6$. Если бы вам нужно было зафиксировать предпочтительное представление дробей, такое как представление с использованием относительно простого числителя и знаменателя с положительным знаменателем, то это «сложение числителей и сложение знаменателей» является четко определенной операцией, но это было бы очень неудобно. использовать, потому что это будет зависеть от того, как вы записываете дроби. У этого фальшивого дополнения действительно есть интересное применение, о котором вы узнаете, если прочитаете о дробях Фарея; это просто не соответствует сложению, поэтому мы не должны обозначать его как +, и оно не обобщается на дроби, где числитель и знаменатель находятся в кольце, в котором отсутствует уникальная факторизация (и предпочтительный выбор единицы, кратной каждому ненулевому элемент).

Если вы не считаете, что четкое определение операций важно в математике, то вы столкнетесь с горой проблем, когда будете изучать алгебру (фактор-группы) или дифференциальную геометрию (многообразия), где вам регулярно приходится определять функции, делая выбор, а затем проверяя, что ответ не зависит от сделанного выбора (выбор может означать представитель смежного класса или выбор системы координат вблизи точки).

И если вы думаете, что проблемы с «единицами» не возникают в математике, вы ошибаетесь. Они просто настолько скрыты, что вы можете их не заметить. Для измерения углов мы предпочитаем использовать радианы. Если бы вы захотели использовать другие системы измерения углов, то привычные формулы производных для тригонометрических функций изменились бы:$\sin'(x) = \cos(x)$когда$x$это угол в радианах, если вы измените$x$в градусах тогда$\sin'(x) = (\pi/180)\cos(x)$. Мы предпочитаем радианы, потому что они приводят к простейшим математическим формулам, без каких-либо странных факторов, таких как$\pi/180$появление. В анализе Фурье некоторые предпочитают определять преобразование Фурье, используя$e^{ixy}$вместо$e^{2\pi{i}xy}$, а затем коэффициенты$2\pi$или же$\sqrt{2\pi}$начинают появляться в других формулах анализа Фурье, таких как формула Парсеваля. В линейной алгебре мы предпочитаем брать в качестве «естественного» изоморфизма из конечномерного векторного пространства$V$в его двойное двойственное пространство отображение$v \mapsto {\rm ev}_v$, куда${\rm ev}_v(\varphi) = \varphi(v)$для всех линейных функционалов$\varphi$на$V$, но есть и другие возможности, а именно$v \mapsto c\cdot{\rm ev}_v$для любого ненулевого элемента$c$основного скалярного поля. Теоретико-категориальные аргументы показывают, что это, по существу, единственные возможные естественные изоморфизмы дважды двойственного пространства.

Теперь перейду к физическим измерениям. Если вы хотите сложить вместе длину и время, вам нужно признать, что не существует естественного эталона для измерения любой из этих величин: любые две системы измерения длины отличаются масштабным коэффициентом, а любые две системы измерения времени отличаются масштабным коэффициентом. коэффициент масштабирования. Даже если бы все на нашей планете пользовались метрической системой, это не делает ее физически глубокой. В какой-то момент в прошлом кто-то выбрал длину и объявил ее равной метру, но эта человеческая условность не имеет никакого физического значения. (Если вы думаете, что метрические единицы на самом деле являются неотъемлемой частью ткани природы, значит, что-то пошло не так в вашем образовании. Может быть, «радиус электрона» или планковскую длину можно считать физически фундаментальной длиной,$F = (9/5)C + 32$), но для простоты давайте придерживаться преобразований между различными системами измерения как просто коэффициентов масштабирования.

Из-за того физического «факта», что разные системы измерения одного и того же физического понятия различаются масштабным коэффициентом, физическое измерение можно рассматривать как функцию с действительным знаком, определенную с точностью до общего положительного масштабного коэффициента . Если$f$а также$g$два способа измерения одной и той же физической величины, то$g = cf$для некоторого положительного$c$. Например, если мы измеряем длину ($L$) и написать$f_L$для функции метра и$g_L$для функции ног, то$c = 3.28$:$g_L(x) = 3.28f_L(x)$(то есть, чтобы преобразовать метры в футы, умножьте значение в метрах на 3,28). Если мы измеряем время ($T$), с$f_T$для второй функции и$g_T$для минутной функции, то$c = .016$:$g_T(y) = .016f_T(y)$(чтобы перевести секунды в минуты, умножьте второе значение на 0,016). Теперь спросите себя: если функция определена с точностью до общего коэффициента масштабирования, а другая функция определена с точностью до общего коэффициента масштабирования, что я могу сделать с ними и сохранить результат, определенный с учетом общего коэффициента масштабирования? Их можно умножать или делить, но нельзя складывать.

Например, если$g_L = 3.28f_L$а также$g_T = .016f_T$, тогда$g_L/g_T = 205f_L/f_T$. Вспоминая, что означали эти функции выше, это последнее уравнение говорит, что если вы хотите преобразовать метры в секунду в футы в минуту, умножьте на 205. И$g_Lg_T = .05248f_Lf_T$, поэтому, чтобы преобразовать метры-секунды (что бы это ни значило) в футы-минуты, умножьте на 0,05248.

Давайте, наконец, попробуем сложение: если$g_L = 3.28f_L$а также$g_T = .016f_T$, является$g_L + g_T = c(f_L+f_T)$для некоторых$c > 0$? Это проверка того, правильно ли определено добавление измерений . С$g_L + g_T = 3.28f_L + .016f_T$, ты хочешь$3.28f_L + .016f_T = c(f_L + f_T)$, так что вам нужно$(3.28-c)f_L = (c-.016)f_T$, и поэтому$f_L = ((c-.016)/(3.28-c))f_T$. Другими словами, вам нужно уметь преобразовывать длину во время: длина и время должны быть разными способами измерения одного и того же. Они? На начальном уровне их нет, и поэтому вы не можете добавить длину и время физически.

Чтобы сложить два физических измерения четко определенным образом, мы видели (на примерах длины и времени), что две измеряемые величины должны быть конвертируемы друг в друга. В теории относительности мы узнаем, что скорость света является фундаментальной физической скоростью, и если мы решим, что она действительно фундаментальна, мы можем использовать ее для преобразования длины во время. В общей теории относительности удобно объявить скорость света равной 1, что устанавливает определенное преобразование между метрами и секундами, или футами и секундами, или любой предпочтительный выбор измерения длины и времени, так что значение скорости света с использованием эти системы измерения оказываются равными 1. (Это похоже на то, что мы предпочитаем радианы градусам, потому что в исчислении использование радианов делает некоторые коэффициенты в формулах производных равными 1.можете добавить длину и время, и тогда все, что вы делаете, это добавляете длину и длину. Погуглите термин «единицы Планка», чтобы увидеть, как фундаментальные физические теории приводят к способу преобразования между массой, длиной и временем.

Я оставлю вам решать, что эта точка зрения может сказать о физической возможности добавления метров и футов. Подсказка: будьте осторожны с тем, имеете ли вы дело с функциями одного и того же объекта или разных объектов.

Принципиально в физике нет единиц. Результат всех измерений всегда является безразмерным числом. Если вы говорите, что измерили длину какого-то объекта как один метр, то результат измерения на самом деле не является размерной величиной в один метр, на самом деле вы сравнили длину объекта с длиной некоторой длины. эталон и вы получили безразмерное число$1$в результате этого.

Единицы, в конечном счете, являются просто человеческими конструкциями, исторически они возникли из-за недостатка знаний и средств, позволяющих измерять различные величины с точки зрения друг друга. Например, помимо практических вопросов, до того, как мы узнали о специальной теории относительности, было также теоретически невозможно сравнить стандарт длины со стандартом времени таким образом, который имел бы смысл с точки зрения фундаментальной физики. Тот факт, что мы по-прежнему используем разные единицы измерения интервалов времени и длины, обусловлен исключительно историческими причинами: сохраняя старые единицы, мы получаем посторонние коэффициенты преобразования, в данном случае скорость света,$c$.

Предположим, что мы вообще отказываемся от понятия единиц и всегда работаем с натуральными единицами, где$\hbar = c = G = 1$в буквальном смысле, где мы также отвергаем любое понятие измерений. Формально физика осталась бы той же старой доброй физикой, но, похоже, мы больше не можем заниматься многомерным анализом. Но поскольку все должно следовать из физики, это не может быть правильным, поэтому должна быть возможность восстановить результаты размерного анализа, даже не прибегая к каким-либо измерениям или единицам измерения. Это действительно возможно, и, как я покажу ниже, это объясняет, почему это работает.

Давайте рассмотрим случай специальной теории относительности, мы хотим вывести классический предел, но мы будем работать в$c = 1$единицы. Нам не разрешено восстанавливать пространственное$c$, но, конечно, мы можем ввести безразмерный параметр масштабирования$c$в некоторых уравнениях и изучить конкретный скейлинговый предел теории. Я объяснил детали здесь . Неудивительно, что, поставив$c$вернуться в нужные места и взять$c\to \infty$ограничение, вы восстановите классическую механику, даже если вы всегда будете поддерживать это$c$это просто безразмерный параметр масштабирования.

Теперь, в этом пределе масштабирования, вы больше не можете сравнивать определенные физические величины, которые вы могли бы сравнить друг с другом, прежде чем вы примете этот предел, например, возьмете энергию и массу. Тогда, если вы считаете какое-то уравнение между физическими переменными верным в пределе масштабирования, вы должны потребовать, чтобы не было множителей$c$присутствует в любом таком отношении, и именно это требование формально эквивалентно размерному анализу.

В общем, если вы играете в ту же игру с$\hbar$а также$G$10 вы видите, что все это просто вопрос допущения определенного масштабного предела, так что масштабные коэффициенты не должны появляться в уравнении, связывающем физические величины, которые определены в некотором подходящем масштабном пределе. Вы также можете рассуждать наоборот, предположив обоснованность размерного анализа, а затем признав, что всегда можно построить планковские величины, имеющие любую произвольную размерность, что позволит вам связать любую физическую величину с любой другой, используя любую произвольную функцию. Но, конечно, тот, который вы желаете, не содержит$\hbar$,$c$или же$G$, или, по крайней мере, не все из них. Тогда вопрос почему бы и нет? Ответ должен включать некоторый физический аргумент, который эффективно сводится к аргументу масштабирования.

Таким образом, аргумент масштабирования является более фундаментальным аргументом, его можно применять к ситуациям, когда стандартный размерный анализ не дает полезных результатов. Например, вы можете рассмотреть теорию пограничного слоя в гидродинамике, перемасштабировав соответствующие уравнения, и вы получите переменные, которые описывают скорость потока с точки зрения расстояния от границы в пограничном слое. В идеальном случае мы изменили масштаб на бесконечную величину, поэтому вы не можете связать эту переменную расстояния с другими переменными положения, используемыми за пределами пограничного слоя. Таким образом, фактически появилось новое измерение, которое разбивает переменные длины на две несовместимые величины.

Физика занимается поиском математической модели для описания и предсказания реальности. Единицы — это удобный и полезный для нас способ различать величины, описывающие разные аспекты системы, и добавление или вычитание величин из этих граней не помогает нам описать или предсказать реальность. Это не определено точно так же, как добавление векторов и скаляров; это не помогает нам построить полезную теорию, так же как сложение скаляров и векторов не помогает математикам построить полезную теорию. Правила являются продуктом сравнения эксперимента с моделью; они не произвольны.

Может быть какое-то уравнение, в котором вы можете использовать произведение массы и периода для описания движения кометы; Я не мог сказать навскидку. Но наше определение «скорости» — это всего лишь обозначение некоторого конкретного понятия в нашей математической модели. (Ее также можно описать как скорость изменения расстояния.) Выбор «скорости» — это просто семантика. Само название произвольное , кроме того факта, что слушатели понимают его как передачу определенного смысла, но сейчас я описываю, как работает язык, а не физика.

Так что, если вы сможете найти экспериментально проверяемую формулу, которая включает сложение количества различных единиц, тогда мы подумаем над тем, чтобы сделать это и выяснить, как это работает. (Я полагаю, вы также будете известны среди ученых.) Но пока этого не произойдет, мы будем продолжать использовать это эмпирическое правило.

Конечно, вы можете сложить или умножить любые два числа, это действительно простые математические операции. Но физика - это не математика, это физика. Мы присоединяем единицы к значениям, чтобы представлять что-то физическое , и поэтому единицы имеют значение.

В то время как метр-секунда может иметь некоторое применение (через умножение), невозможно сложить две разные единицы. Вы действительно можете продвинуться на 5 метров и 10 секунд? Конечно, вы можете пройти 5 метров за 10 секунд (деление), но 5 метров и 10 секунд — это бессмысленное заявление.

Наконец, скорость выражается в единицах длины в единицу времени (например, в метрах в секунду или милях в час). Масса дана в килограммах, а период в секундах, умножив их, вы получите килограмм-секунды, что совсем не похоже на метры в секунду, поэтому вы не можете получить скорость путем умножения массы и времени, как бы вы ни старались.

Я добавлю математического компаньона к существующим ответам.

Нас часто интересуют одномерные вещественные векторные пространства. Хотя каждая такая вещь просто изоморфна$\mathbb{R}$, есть практическая ценность в том, чтобы хранить их отдельно.

Если у вас есть вектор$\vec{v}$в одном векторном пространстве (например, векторном пространстве возможных мер расстояния со знаком) и другом векторе$\vec{w}$в другом векторном пространстве (например, векторном пространстве возможных мер длительности со знаком) просто не имеет смысла запрашивать$\vec{v} + \vec{w}$.

Нам все еще нужно иметь возможность вычислять с такими вещами; типичный метод состоит в том, чтобы выбрать единицу измерения (например, может быть, в векторном пространстве есть объект, который мы называем «метр»), а затем элементы этого векторного пространства могут быть получены путем умножения действительного числа на единицу; например$3.5 \ \mathrm{meter}$.

Но помните, что мы сохраняем наши векторные пространства прямыми;$3.5 \ \mathrm{meter}$не является действительным числом; это член векторного пространства, которое$\mathrm{meter}$пришли из. Имеет смысл только добавить его к другим величинам из того же векторного пространства.

Но как насчет умножения? В линейной алгебре есть понятие тензорного произведения , которое позволяет умножать векторы из двух векторных пространств и производить элемент третьего.

(техническая деталь: мы используем специфическую конструкцию тензорного произведения на одномерных вещественных векторных пространствах, чтобы быть строгим и симметричным)

Например, если мы умножим$\mathrm{meter}$по$\mathrm{second}^{-1}$, мы получаем элемент в третьем векторном пространстве, который запишем как$\frac{\mathrm{meter}}{\mathrm{second}}$. Мы также можем найти смысл в разделении, если захотим. Различные задействованные произведения совместно ассоциативны и коммутативны, поэтому верна обычная арифметика:

$$(3 \ \mathrm{meter}) \cdot (5 \ \mathrm{second}^{-1}) = (3 \cdot 5) \frac{\mathrm{meter}}{\mathrm{second}}$$

Извините за мой английский !

Прежде всего, я хочу сказать, что я полностью разделяю все, что было сказано ранее об анализе размерностей и однородности уравнений. Но, как это часто бывает в физике, все может быть более тонко.

Вы можете обратиться к старой книге, довольно замечательной и часто переиздаваемой: «Анализ размерностей» , П. У. Бриджмен.

В этой книге вы найдете уравнения: (очевидно, речь идет о свободном падении в гравитационном поле. У нас есть$v=gt$ а также $s=\frac{1}{2}g{{t}^{2}}$):

$s+v=gt+\frac{1}{2}g{{t}^{2}}$

«Очевидно, что это полное уравнение в том смысле, что оно истинно и остается верным независимо от того, как изменяются размеры основных единиц длины и времени» (стр. 42 моего издания 1922 года).

или хуже :

$v{{\left( \sin \left( \frac{s+gt}{v} \right) \right)}^{\sinh \left( s-\frac{1}{2}g{{t}^{2}} \right)}}=gt\cosh \left( v-gt \right)$

«Это снова полное уравнение; оно не однородно по размерности, а также оскорбляет наши предвзятые представления о том, что возможно в плане трансцендентных функций» (стр. 42 моего издания 1922 г.)

«Возможность уравнений, подобных только что рассмотренным, сама по себе является опровержением интуитивных методов доказательства принципа размерной однородности, которые иногда даются» (стр. 42 моего издания 1922 г.)

А мы помним анекдот Фейнмана про единую теорию физики, которая в идее была вида (не помню, где читал):

${{\left( \overrightarrow{g}-\frac{GM}{{{r}^{2}}}\overrightarrow{{{e}_{r}}} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{\nabla }\wedge \overrightarrow{E}+\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t} \right)}^{2}}+.....=0$

На мой взгляд, можно очень хорошо добавить 10 метров и 5 секунд. Тогда ответ будет просто «10 м + 5 с». Если это ответ на ваш расчет длины металлического стержня, то все в порядке. Если вы сейчас пойдете к человеку, который должен изготовить для вас этот стержень, он спросит: «Какой длины он должен быть?». Если вы скажете ему «15», он скажет «15 что?». Вполне понятно - думаю не надо тут объяснять необходимость единиц. Тогда вы скажете ему «10 метров + 5 секунд», он скажет вам, что он не может этого сделать. Таким образом, полезность этого выражения ограничена. Так что вы можете подумать, что можете преобразовать это во что-то, с чем он может работать, например, «15m». Но здесь вы должны аргументировать, почему это правильное значение для выбора. Пока никто не дал удовлетворительного обоснования.

Математический аналог этого, вероятно, звучит так: «Сколько будет 10 + 5i?». Может это 15? Но нет, это просто «10+5i». Я бы сказал, что так же, как$\Bbb C$является расширением поля$\Bbb R$по$i$, так обычные повседневные величины, с которыми физики сталкиваются на самом деле элементы поля$\Bbb R$расширен трансценденталами (ваши единицы) m, s и т. д. С этим вы можете делать произвольные дикие выражения как

$$\frac{10 \mathrm m+ 5\mathrm s}{2 \mathrm{kg} - \mathrm m}.$$

Единственная проблема возникает, когда вы пытаетесь применить это к реальному слову. Затем вам нужно подумать о том, как преобразовать это обратно в «сколько тиков моих часов» или «сколько линий на моей измерительной полосе». Если вы найдете последовательный способ сделать это, вы должны сообщить нам.