Где на самом деле могут быть полезны герц на диоптрии?

В специальной теории относительности герц на диоптрию является отличной единицей для демонстрации совместной инвариантности электромагнитных явлений в поведении всех типов линз, отражающих или преломляющих, под действием преобразования Лоренца вдоль оси движения. Я не знаю ни одного другого модуля, который связывал бы эти два домена таким образом. В случае преломляющих линз с хроматической дисперсией инвариантность оказывается нетривиальной и несколько неожиданной, поскольку она утверждает, что атомарные материалы в сжатой линзе Лоренца должны сохранять весьма специфические отношения в том, как они взаимодействуют со спектром гамма-сдвинутые частоты света.

Вот как это работает для более простого корпуса с отражающими линзами. Во-первых, представьте себе сферу диаметром 4 метра с$f=280$ТГц резонансная инфракрасная световая волна внутри. Почему 4 метра? Ну, я пытаюсь использовать правильное определение диоптрий . Это фокусное расстояние преломляющей или отражающей линзы, что означает расстояние, необходимое для схождения параллельного света в одну фокусную точку. В этом случае линза является отражающей и имеет сферическую кривизну . Глядя только на достаточно маленькую область (например, 2 см в поперечнике), чтобы избежать сферической аберрации, фокусное расстояние$d=4$м сфера$L=\frac{1}{2}r=\frac{1}{4}d=\frac{1}{4}4=1$м. Таким образом, сфера диаметром 4 м правильно дает диоптрию (кривизну)$\delta=1/L=1/1=1$Д, где Д$=m^{-1}$.

Далее разгоните сферу по оси X до скорости$v=\sqrt{\frac{3}{4}}$c, что дает фактор Лоренца$\gamma=2$. Это означает, что и сфера, и резонансный световой узор внутри нее будут сжаты до$\frac{1}{2}$их первоначальная длина по оси X с точки зрения наблюдателя, «находящегося в состоянии покоя» относительно движущейся сферы.

Для небольших областей отражающих линз вокруг любого конца, где ось X пересекает сферу, кривизна предварительного ускорения была$\delta_0=1D$(нулевой индекс указывает на оставшийся кадр). После разгона до$\gamma=2$сфера становится сплющенным сфероидом, а кривизна двух областей отражающих линз уменьшена до$\delta_1=2D$, где более высокие числа диоптрий указывают на более плоские кривые. (Доказательство этого оставлено читателю в качестве упражнения, но это нетрудно.)

Теперь давайте посмотрим, что происходит с частотой света внутри сферы. Преимущество специальной теории относительности в том, что физика должна оставаться неизменной как для наблюдателя, так и для наблюдаемой системы. Итак, если было n длин волн резонансного света, пересекающих сферу вдоль оси X до того, как она была ускорена, также должно быть n длин волн на той же длине после сжатия. Другими словами, длины волн излучения также должны быть сокращены вдвое по X (только), в результате чего частота будет вдвое больше, чем раньше. Это преобразует исходную ось X$f_0=280$ТГц свет покоящейся сферы в$f_1=560$ТГц свет в движущейся сфере. Наблюдатель в кадре покоя увидит его ярко-зеленым.

Внимательные читатели могут сейчас сказать: «Эй, этого не может быть! Фактор Лоренца также замедляет время… так не должен ли свет в движущейся сфере быть медленнее и, следовательно, менее энергичным?»

Хотя верно то, что внутри движущейся сферы время течет медленнее, неправильно думать, что тот же самый свет будет медленнее, если смотреть из неподвижного кадра. В этой ситуации выигрывает геометрия длин волн, и свет выглядит зеленым. Однако более простой способ думать об этом состоит в том, что, поскольку свет излучается и отражается объектом, движущимся со скоростью$\gamma=2$(или эквивалентно$v=\sqrt{\frac{3}{4}}$в) обычный эффект Доплера удвоит свою частоту.

(@ColinK правильно заметил, что приведенное выше объяснение замалчивает некоторые важные сложности. Пожалуйста, смотрите его превосходный комментарий для получения дополнительной информации. Возможно, я попытаюсь решить эту проблему в ближайшее время.)

Теперь пришло время собрать все это вместе.

Первоначальный свет и сфера имели эта фактор :

$\eta_0=f_0/\delta_0 = (280 THz)/(1 D) = 280\times{10}^{12}$HPD

где 1 HpD = 1 Гц/D (Герц на диоптрию).

Движущийся свет и сфера имеют эта фактор:

$\eta_1=f_1/\delta_1 = (560 THz)/(2 D) = 280\times{10}^{12}$HPD.

Другими словами, эта фактор$\eta$, которая связывает преобразованные Лоренцем электромагнитные волны с сжатыми Лоренцем физическими зеркалами, от которых они отражаются, осталась неизменной для этого примера$\gamma=2$.

Это не единичный случай. Легко показать, что$\eta$является универсальным инвариантом специальной теории относительности:

$\forall{v_i}(\eta_i=\frac{f_i}{\delta_i}= C)$

где C — константа в единицах HpD = Гц/D = Герц на диоптрию.

Замечательное обобщение всего этого состоит в том, что в силу тех же самых геометрических аргументов и применения принципа «физика должна быть сохранена в обеих системах отсчета» преломляющие линзы также должны подпадать под действие приведенного выше аргумента. Если преломляющая линза имеет хроматическую дисперсию (цветные полосы, наблюдаемые в дешевых линзах), то константа C в приведенном выше уравнении станет частотно-зависимой величиной.$C(f)$. Но эта-инвариантность остается неизменной! Это удивительно, потому что дисперсия света — довольно сложное явление, а в остальной системе отсчета эти беспорядочно сжатые атомы должны, тем не менее, сохранять эта-инвариантность. Это... неожиданно.

Таким образом, единицы HpD имеют не только реальный физический смысл, но и значение, которое напрямую связано с первоначальным назначением как единиц Герца, так и единиц диоптрий (а не просто$m/s$в маскировке). Это значение, в свою очередь, обеспечивает простой способ выразить инвариантное соотношение в специальной теории относительности, которое связывает вместе электромагнитное и механическое преобразования Лоренца неожиданным и неинтуитивным образом.

И, наконец, несмотря на все вышеупомянутые неожиданно интересные (по крайней мере для меня!) отношения SR, подразделение HpD действительно возникло как немного юмора (насколько я мог понять) в этой публикации обсуждения xkcd еще в 2007 году . Итак, shrodingersduck из Народно-Демократической Республики Леоденсия, где бы вы ни были шесть лет спустя, я благодарю вас за непреднамеренное создание интересной и довольно забавной возможности исследовать специальную теорию относительности в довольно необычном контексте.

Приложение 2013-01-31

Я думаю, что общность единицы HpD в специальной теории относительности может быть сформулирована еще шире. Итак, вот:

Частота света, геометрические формы и частотно-зависимые показатели преломления изменяются, когда системы подвергаются преобразованию Лоренца, поэтому они не являются индивидуально лоренц-инвариантными. Теорема: Если вместо этого оптические характеристики оптической системы описываются с использованием HpD (герц на диоптрии) и/или ее обратной единицы DpH (диоптрии на герц), результирующее описание ее оптических свойств останется постоянным («эта-инвариантность») независимо от релятивистской системы отсчета или ориентации, с которой анализируется оптическая система.

Это только теорема. Отличное наблюдение @ColinK о том, что доплеровский аргумент, который я сделал, может быть ложным, потому что сдвиг работает по-разному в зависимости от того, движется ли свет со скоростью или против нее, меня все еще беспокоит. Итак, я хочу рассмотреть это более внимательно и посмотреть, смогу ли я опровергнуть свою собственную теорему.

Тем не менее, разве не было бы восхитительно, если бы единица, определенная как шутка, оказалась бы релятивистски инвариантной, в то время как общие единицы для тех же явлений не являются таковыми?

Другой очевидный обобщающий вопрос заключается в следующем: применима ли эта-инвариантность (если она существует) к другим волновым явлениям?

И, наконец, @JoeZeng, я думаю, что неправильно понял ваш вопрос о том, связаны ли эта-факторы (описания оптических компонентов с использованием единиц HpD) со скоростью света. Что ж, HpD имеет размерную эквивалентность скорости ($m/s$), но если есть осмысленный способ переинтерпретировать значение HpD как скорость, я его точно не вижу. Интригующий вопрос, однако...

Это шутка - учить людей размерному анализу

Может иметь определенный смысл заменить секунду на герц (1/с), поскольку существует гораздо больше физических уравнений с величиной, разделенной на секунды, чем умноженной — просто потому, что вы часто изучаете скорость чего-то.

Если вы будете следовать этой логике до конца, вы также можете использовать диоптрии (1/м) и иметь скорость в герцах/диоптриях вместо метров в секунду.