Строгие обоснования бесконечно малых величин в физике

Когда я спросил своего старшекурсника, профессора аналитической механики, «что значит, что вращение бесконечно мало?» после того, как он волнообразно представил эту тему в классе, он ответил: «Это значит, что она действительно маленькая». В этот момент я просто ушел. Позже в тот же день я написал своему ассистенту по электронной почте, и тот поставил меня в нужное русло, указав на книгу по теории лжи.

К счастью, я не собираюсь писать ответ, как мой профессор.

В общем, всякий раз, когда вы встречаете термин «бесконечно малая ПУСТО» в физике, вы можете быть относительно уверены, что это просто заполнитель для «приближения первого порядка (или линейного) к ПУСТО».

Давайте рассмотрим один из наиболее важных примеров.

Инфинитезимальные преобразования.

Чтобы быть более строгим в этом, давайте рассмотрим частный случай «бесконечно малых преобразований». Если мое общее терминологическое предписание, приведенное выше, должно быть точным, мы должны продемонстрировать, что можем сделать концепцию «первого приближения к преобразованию» строгой, и действительно можем.

Для конкретности ограничим обсуждение преобразованиями в нормированных векторных пространствах. Пусть открытый интервал$I=(a,b)$содержащий$0$дано, и предположим, что$T_\epsilon$является преобразованием в некотором нормированном векторном пространстве$X$такой, что$T_0(x)$является личностью. Позволять$T_\epsilon$плавно зависеть от$\epsilon$, то определим бесконечно малую версию$\widehat T$из$T_\epsilon$следующим образом. Для каждой точки$x\in X$, у нас есть

$$\widehat T_\epsilon(x) = x + \epsilon\frac{\partial}{\partial\epsilon}T_{\epsilon}(x)\bigg|_{\epsilon=0}$$ Интуиция здесь такова, что мы можем представить расширение $T_\epsilon(x)$как степенной ряд в $\epsilon$; $$T_\epsilon(x) = x + \epsilon T_1(x) + \mathcal O(\epsilon^2)$$ в этом случае приведенное выше выражение для бесконечно малой версии $T_\epsilon$дает $$\widehat {T}_\epsilon(x) = x+\epsilon T_1(x)$$ так что преобразование $\widehat T$кодирует поведение преобразования $T_\epsilon$на первый заказ в $\epsilon$. Физики часто называют преобразование $T_1$бесконечно малый генератор $T_\epsilon$.

Пример. Бесконечно малые вращения в 2D

Рассмотрим следующий поворот двумерной евклидовой плоскости:

$$T_\epsilon = \begin{pmatrix} \cos\epsilon& -\sin\epsilon\\ \sin\epsilon& \cos\epsilon\\ \end{pmatrix}$$ Это преобразование обладает всеми изложенными выше желаемыми свойствами, и его бесконечно малая версия $$\widehat T_\epsilon = \begin{pmatrix} 1& 0\\ 0& 1\\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0& -\epsilon\\ \epsilon& 0\\ \end{pmatrix}$$ Если мы воздействуем на точку в 2D с помощью этого бесконечно малого преобразования, то мы получаем хорошее приближение к тому, что делает полное вращение для малых значений $\epsilon$потому что мы сделали линейное приближение. Но независимо от этого утверждения обратите внимание, что бесконечно малая версия преобразования строго определена.

Связь с группами Ли и алгебрами Ли.

Рассмотрим группу Ли$G$. по сути это группа$G$это также можно рассматривать как гладкое многообразие таким образом, что групповое умножение и обратные отображения также являются гладкими. Каждый элемент этой группы можно рассматривать как преобразование, и мы можем рассмотреть гладкое однопараметрическое семейство элементов группы.$g_\epsilon$со свойством, которое$g_0 = \mathrm{id}$, личность в группе. Тогда, как и выше, мы можем определить бесконечно малую версию этого однопараметрического семейства преобразований;

$$\widehat g_\epsilon = \mathrm{id} + \epsilon v$$ Коэффициент $v$из $\epsilon$в этом приближении первого порядка является в основном (это в точности верно для матричных групп Ли) элементом алгебры Ли этой группы Ли. Другими словами, элементы алгебры Ли представляют собой бесконечно малые генераторы гладких однопараметрических семейств элементов группы Ли, которые начинаются с единицы группы. Для приведенного выше примера вращения матрица $$\begin{pmatrix} 0& -1\\ 1& 0\\ \end{pmatrix}$$ поэтому является элементом алгебры Ли $\mathfrak{so}(2)$группы Ли $\mathrm{SO}(2)$вращения евклидовой плоскости. Как оказалось, преобразования, связанные с группами Ли, широко распространены в физике (особенно в физике элементарных частиц и теории поля), поэтому изучение этих объектов становится очень важным.

Инвариантность лагранжиана.

Предположим, у нас есть лагранжиан$L(q,\dot q)$определенное на пространстве (касательном расслоении конфигурационного многообразия классической системы) обобщенных положений$q$и скорости$\dot q$. Предположим далее, что у нас есть преобразование$T_\epsilon$определено на этом пространстве, то говорят, что лагранжиан инвариантен относительно этого преобразования, если

$$L(T_\epsilon(q,\dot q)) = L(q, \dot q)$$ Говорят, что лагранжиан инфинитезимально инвариантен относительно $T_\epsilon$при условии $$L(T_\epsilon(q,\dot q)) = L(q, \dot q) + \mathcal O(\epsilon^2)$$ Другими словами, он инвариантен к первому порядку в $\epsilon$. Как легко заметить, бесконечно малая инвариантность слабее инвариантности.

Интересно, что для выполнения некоторых результатов (в первую очередь теоремы Нётер) требуется лишь бесконечно малая инвариантность лагранжиана . Это одна из причин, почему инфинитезимальные преобразования и, следовательно, группы Ли и алгебры Ли полезны в физике.

Применение: теорема Нётер.

Пусть лагранжиан$L:\mathscr C\times\mathbb R$дать где$\mathscr C$есть некоторое достаточно корректное пространство путей на конфигурационном пространстве$Q$. Для заданного однопараметрического семейства преобразований$T_\epsilon:\mathscr C\to\mathscr C$начиная с личности. Изменение первого порядка в лагранжиане при этом преобразовании равно

$$\delta L(q,t) = \frac{\partial}{\partial\epsilon}L(T_\epsilon(q),t)\Big |_{\epsilon=0}$$ Одна (не самая сильная) версия теоремы Нётер гласит, что если $L$является локальным в $c$и ее первых производных, а именно, если существует функция $\ell$такое, что (в локальных координатах на $Q$) $L(q,t) = \ell(q(t), \dot q(t), t)$и если $$\delta L(q,t) = 0$$ для всех $c\in\mathscr C$которые удовлетворяют уравнению движения, а именно, если лагранжиан проявляет инфинитезимальную инвариантность, то величина $$G = \frac{\partial \ell}{\partial \dot q^i}\delta q^i, \qquad \delta q^i(t) = \frac{\partial}{\partial\epsilon}T_\epsilon(q)^i(t)\bigg|_{\epsilon=0}$$ сохраняется вдоль решений уравнений движения. Доказательство — пара строк; просто дифференцируй $G$оценивается на решении относительно времени и использует цепное правило и уравнения Эйлера-Лагранжа, чтобы показать, что это ноль.

- На что похожа бесконечно малая величина$\delta$к физику?

Для большинства физиков это означает то же, что и для Ньютона, Лейбница и Эйлера. Это означает что-то достаточно маленькое, чтобы мы могли применить к нему определенный неформально определенный набор методов и получить правильные ответы.

Для физиков, которые больше знают о математике после 1960 года, это означает то же самое, за исключением того, что они осознают, что совокупность методов в конечном итоге была формально определена и доказала свою непротиворечивость. На самом деле есть несколько способов сделать это, и для целей физика не имеет значения, какая формализация используется. Некоторыми примерами формализации являются нестандартный анализ и гладкий бесконечно малый анализ.

Здесь важно понять, что результаты, полученные такими людьми, как Эйлер, были правильными . В неформальных версиях техник нет ничего плохого.

-Почему физики спорят, используя бесконечно малые, а не «стандартное» исчисление?

Бесконечно малые числа были стандартным исчислением на протяжении сотен лет. Причина, по которой предмет изначально разрабатывался в терминах бесконечно малых, заключается в том, что это наиболее естественный и удобный способ рассуждения о предмете. Часто обнаруживается, что, когда конкретный аргумент может быть выражен либо с помощью бесконечно малых, либо с использованием методов эпсилон-дельта, глубина кванторов в первом случае меньше на единицу.

-Каков физический смысл бесконечно малого преобразования? Как это связано с алгебрами Ли?

В приведенном вами физическом примере это означает то, что написано: бесконечно малое вращение. Группа Ли вращений — это непрерывная группа, связанная с единицей. Вы можете использовать бесконечно малые числа в качестве генераторов.

- Существует ли строгий теоретический аппарат для обоснования приведенных выше расчетов?

Да, на самом деле их больше одного, как объяснялось выше.

Стоит отметить, что строгое математическое развитие анализа благодаря Weierstrass et al. не вызывает понятия бесконечно малого и даже не допускает такого понятия. Вместо этого он формализует представление о чем-то «действительно маленьком» в$\epsilon$-$\delta$определение лимита.

Что касается физики$\epsilon$обычно относится к экспериментальной точности или допустимой погрешности. Это означает, что$\delta$это достаточно маленькое число, и его уменьшение не имеет практического значения для прогнозов.