КТП на уровне дерева и классические поля/частицы

Меня это тоже какое-то время сбивало с толку, пока я не нашел этот замечательный набор заметок: homepages.physik.uni-muenchen.de/~helling/classical_fields.pdf

Позвольте мне кратко суммировать то, что там.

Свободное поле Клейна-Гордона удовлетворяет уравнению поля

$$(\partial_{\mu} \partial^{\mu} +m^2) \phi(x) = 0$$ наиболее общее решение этого уравнения $$\phi(t, \vec{x}) = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{d^3k}{(2\pi)^3} \; \frac{1}{2E_{\vec{k}}} \left( a(\vec{k}) e^{- i( E_{\vec{k}} t -\vec{k} \cdot \vec{x})} + a^{*}(\vec{k}) e^{ i (E_{\vec{k}} t- \vec{k} \cdot \vec{x})} \right)$$ куда $$\frac{a(\vec{k}) + a^{*}(-\vec{k})}{2E_{\vec{k}}} = \int_{-\infty}^{\infty} d^3x \; \phi(0,\vec{x}) e^{-i \vec{k} \cdot \vec{x}}$$ а также $$\frac{a(\vec{k}) - a^{*}(-\vec{k})}{2i} = \int_{-\infty}^{\infty} d^3x \; \dot{\phi}(0,\vec{x}) e^{-i \vec{k} \cdot \vec{x}}$$

Введение потенциала взаимодействия в лагранжиан приводит к уравнению поля

$$(\partial^{\mu} \partial_{\mu} + m^2) \phi = -V'(\phi)$$

выбор теории фи-4$V(\phi) = \frac{g}{4} \phi^4$это приводит к

$$(\partial^{\mu} \partial_{\mu} + m^2) \phi = -g \phi^3$$

Введем функцию Грина для оператора

$$(\partial^{\mu} \partial_{\mu} + m^2) G(x) = -\delta(x)$$

который дается

$$G(x) = \int \frac{d^4k}{(2\pi)^4} \; \frac{-e^{-i k \cdot x}}{-k^2 + m^2}$$

теперь решим полную теорию пертуративно, заменив

$$\phi(x) = \sum_{n} g^n \phi_{n}(x)$$

в дифференциальное уравнение и определение степени$g$чтобы получить следующие уравнения

$$(\partial^{\mu} \partial_{\mu} + m^2) \phi_0 (x) = 0$$

$$(\partial^{\mu} \partial_{\mu} + m^2) \phi_1(x) = -\phi_0(x)^3$$

$$(\partial^{\mu} \partial_{\mu} + m^2) \phi_2 (x) = -3 \phi_0(x)^2 \phi_1(x)$$

первое уравнение - это просто уравнение свободного поля, которое имеет общее решение, указанное выше. Остальные затем решаются рекурсивно, используя$\phi_0(x)$. Итак, решение для$\phi_1$является

$$\phi_1(x) = \int d^4y\; \phi_0(y)^3 \, G(x-y)$$

и так далее. Как показано в примечаниях, это пертурбативное расширение порождает все беспетлевые диаграммы Фейнмана, и это является источником утверждения, что диаграммы древовидного уровня являются классическими вкладами...

Есть очень простой способ увидеть это, и это через$\hbar$серии. Это утверждение можно проследить до Сиднея Коулмана, и в нем говорится, что в ультрафиолете происходит расширение с$\hbar$стремится к нулю. В предыдущем ответе цитировались эти лекции по классическим полям, но я хотел бы начать с производящего функционала скалярной теории поля и попытаться понять классический предел:

$$Z[j]=\int[d\phi]e^{\frac{i}{\hbar}\int d^4x\left[\frac{1}{2}(\partial\phi)^2-\frac{1}{2\hbar^2}m^2\phi^2-\frac{\lambda}{4\hbar}\phi^4+j\phi\right]}.$$

Наша цель — восстановить теорию возмущений для классических полей на уровне дерева, поскольку это докажет утверждение Коулмана. Действительно, приведенный выше производящий функционал можно переписать в другом виде:

$$Z[j]=e^{-i\hbar^2\frac{\lambda}{4}\int d^4x\frac{\delta^4}{\delta j(x)^4}}e^{\frac{i}{2\hbar}\int d^4xd^4yj(x)\Delta(x-y)j(y)}.$$

Теперь давайте сосредоточимся на двухточечной функции, которая является тем же аргументом для других функций корреляции. Мы получим

$$\left.(-i\hbar)^2\frac{1}{Z}\frac{\delta^2Z}{\delta j(x)\delta j(y)}\right|_{j=0}=i\hbar\Delta(x-y).$$

Из этих уравнений нетрудно восстановить первую квантовую поправку в одной петле, которая определяется выражением

$$-i\hbar^4\frac{\lambda}{4}\int d^4\tilde x \frac{\delta^4}{\delta j^4(\tilde x)}\frac{\delta^2}{\delta j(x)\delta j(y)}\left(-\frac{1}{3!8\hbar^3}\int d^4x_1d^4y_1d^4x_2d^4y_2d^4x_3d^4y_3\right.$$ $$\left.j(x_1)\Delta(x_1-y_1)j(y_1)j(x_2)\Delta(x_2-y_2)j(y_2)j(x_3)\Delta(x_3-y_3)j(y_3)\right)$$

и это будет пропорционально$\hbar$. Это вывод, к которому мы стремились, подтверждает утверждение Коулмана. Аналогичный анализ можно провести с использованием эффективного потенциала. Это доказательство завершает предыдущий ответ, но начинается с квантовой теории поля.

Классический аналог квантового$\Phi^4$теория классическая$\Phi^4$теория, с тем же действием. Частиц нет, а рассеяние волн есть! Соответствие между КТП на уровне дерева и классическими полями находится только на уровне полей. (Частицы появляются в классической теории поля только в пределе, где справедлива геометрическая оптика. Даже в квантовой теории поля картина частиц не совсем уместна, кроме как в режиме геометрической оптики.)

Диаграммы Фейнмана возникают при любой пертурбативной трактовке корреляций полей, даже классической. Действительно, диаграммы Фейнмана - это просто графическое обозначение для записи произведений тензоров со многими индексами, суммированными с помощью соглашения о суммировании Эйнштейна. Индексы результатов — это внешние строки, а индексы, суммированные по которым, — это внутренние строки. Поскольку такие суммы произведений возникают при любом многоточечном разложении ожиданий, независимо от классической или квантовой природы системы. Никакая связь с частицами не подразумевается, если ее не навязывают.

Какова точная формулировка соответствия между КТП на уровне дерева и поведением классических полей и частиц?

Далее следуют четыре дискуссии о связи между квантовыми и классическими полями, рассматриваемые с разных точек зрения. Это заинтересует людей в разной степени (надеюсь). Если вас интересует только расширение цикла, перейдите к C.

[Начало: многие люди, включая меня, хотели бы видеть (релятивистскую) взаимодействующую теорию квантовых полей, аппроксимируемую (скорее всего, нерелятивистской) теорией квантовых частиц. Вышеупомянутый вопрос, возможно, был задан с учетом этого приближения. Но я никогда не видел такого приближения.]

О. Единственная известная мне структура, включающая как классическую, так и квантовую физику, состоит в том, чтобы рассматривать теорию как отображение наблюдаемых в то, что известно как C*-алгебра. Состояние отображает элементы (алгебры) в ожидаемые значения. Для заданного состояния можно получить представление элементов алгебры как операторов в гильбертовом пространстве. (Я говорю о реконструкции GNS.)

Теперь давайте рассмотрим свободную скалярную теорию поля.

В квантовом случае будет вакуумное состояние, и реконструкция ОНС из этого состояния даст обычную теорию поля. (Также будут состояния с ненулевой температурой и ненулевой плотностью частиц. Я упоминаю об этом просто как о рекламе алгебраического подхода.)

В классическом случае также будет вакуумное состояние. Но реконструкция из этого состояния даст тривиальное одномерное гильбертово пространство. И скалярное поле будет равномерно равно нулю. [Я опускаю несущественные технические подробности.]

К счастью, в классическом случае также будут состояния для каждого классического решения. Для них представления GNS будут одномерными, и каждый оператор будет иметь то же значение, что и классическое решение.

Так, в формальном $\hbar\to0$В пределе алгебра становится коммутативной, она имеет состояния, соответствующие классическим решениям, и ее наблюдаемые принимают свои классические значения в этих состояниях.

В случае взаимодействующей теории формальная$\hbar\to0$предел не так ясен из-за перенормировки. Однако, если, как я смутно припоминаю, различные контрчлены перенормировки имеют порядок$\hbar^n$за$n > 0$, они не имеют значения в формальном$\hbar\to0$предел. В таком случае формальный$\hbar\to0$предел дает классическую теорию (как и в случае свободного поля).

Другой интересный пример — КЭД. С$\hbar=0$, фермионные поля антикоммутируют, что делает их нулевыми в контексте C*-алгебры. Таким образом, все фермионные поля исчезают, когда$\hbar\to0$, и у нас осталась свободная классическая электродинамика.

Вы можете получить или не получить какое-либо удовлетворение от этих формальных ограничений C*-алгебр. В любом случае, мы закончили с ними. Ниже мы говорим об обычной КТП.

B. Давайте теперь рассмотрим свободную КТП Клейна-Гордона. Мы выберем «когерентное» состояние и получим предел ħ → 0. Собственно, это будет набросок без пруфов .

Лагранжиан$\frac12(\partial\phi)^2-\frac12\nu^2\phi^2$. Примечание$\nu$вместо$m$.$m$имеет неправильные единицы измерения, поэтому вместо этого вы видите частоту. ($c = 1$.)

У нас есть обычное разложение по свободному полю в терминах операторов рождения и уничтожения. Они удовлетворяют:

$$[a(k),a^\dagger(l)] = \hbar (2\pi)^2(2k^0) \delta^3(k - l)$$

$k$а также$l$не являются импульсами.$\hbar k$а также$\hbar l$являются импульсами. А масса одной частицы$\hbar\nu$.

Оператор числа частиц$N$это с$\not \!dk = d^3k (2\pi)^{-3}(2k^0)^{-1}$):

$$N = \hbar^{-1}\int\not \!dk a^\dagger(k)a(k)$$

И для некоторых приятных функций$f(k)$, определим когерентное состояние$|f\rangle$по:

$$a(k)|f\rangle = f(k)|f\rangle$$

[Я опускаю выражение для$|f\rangle$.] Обратите внимание, что:

$$\langle f| N |f\rangle =\hbar^{-1} \int\not \!dk |f(k)|^2$$

В качестве$\hbar\to0$,$|f\rangle$состоит из огромного количества очень легких частиц.

$|f\rangle$соответствует классическому решению:

$$\Phi(x) = \int\not \!dk [f(k)\exp(ik⋅x) + \text{complex conjugate}]$$

В самом деле, для нормально упорядоченных произведений полей мы имеем такие результаты:

$$\langle f|:φ(x)φ(y):|f\rangle = \Phi(x)\Phi(y)$$

Поскольку разница между$:φ(x)φ(y):$а также$φ(x)φ(y)$исчезает как$\hbar\to0$, имеем в этом пределе:

$$\langle f| φ(x)φ(y) |f\rangle\to\Phi(x)\Phi(y)$$

Если мы восстановим теорию по этим средним значениям, мы получим одномерное гильбертово пространство, на котором$φ(x) = \Phi(x)$.

Итак, с когерентными состояниями мы можем получить все классические состояния в$\hbar\to0$предел.

C. Рассмотрим диаграмму Фейнмана в x-пространстве в некоторой традиционной теории возмущений КТП. Позволять:$n =$количество перемножаемых полей.$P =$количество дуг (т. е. пропагаторов).$V =$количество вершин.$L =$количество независимых петель.$C =$количество подключаемых компонентов. Наконец, пусть$H$быть числом факторов$\hbar$на диаграмме. Тогда, используя стандартные результаты, мы имеем:

$$H = P - V = n + L - C > 0$$

Итак, если вы установите$\hbar\to0$, все диаграммы Фейнмана равны нулю. Все поля тождественно равны нулю.

Это разумно. Диаграммы Фейнмана вносят вклад в значения вакуумного ожидания. А классический вакуум соответствует полям, исчезающим повсюду.

D. Предположим, что мы не хотим брать$\hbar\to0$, но мы хотим рассмотреть теорию, скажем, до$O(\hbar^2)$. Но что такое «теория»? Пусть ответ будет: функции Грина. Но все связанные диаграммы Фейнмана с$n > 3$имеют$H > 2$. Чтобы сохранить эти диаграммы и связанные с ними функции Грина, нам нужно игнорировать фактор$\hbar^n$это часть каждой n-точечной функции.

И это то, что люди делают. Когда люди определяют, скажем, производящий функционал для связанных функций Грина, они вводят коэффициент$1/\hbar^{n-1}$умножение n-точечных функций. С этими вставками приведенное выше уравнение как бы становится:

$$``H" = L$$

В частности, все (связанные) древовидные диаграммы появляются в$O(1)$в производящем функционале.

Но вспомните, что все эти диаграммы исчезают, когда$\hbar\to0$. Я не вижу никакого способа интерпретировать их как классические.

Это отличный и очень глубокий вопрос.

Рассмотрим в качестве примера КЭД: классическая электромагнитная плоская волна имеет плотность энергии$\frac{1}{2} |{\bf E}|^2$, а газ фотонов с частотой$\omega$и числовая плотность$n$имеет плотность энергии$n \hbar \omega$. (Строго говоря, плотность фотонов не является четко определенной, потому что число фотонов не сохраняется, поскольку фотоны постоянно расщепляются на виртуальные электрон-позитронные пары и рекомбинируют. Но для больших количеств фотонов эти флуктуации плотности становятся крошечными, и плотность становится фактически постоянной.) Приравнивая эти две величины, мы находим, что набор большого количества коллинеарных фотонов с одним и тем же импульсом соответствует электромагнитной волне с амплитудой$|{\bf E}| = \sqrt{2 n \hbar \omega}$.

Итак, если мы сохраним числовую плотность постоянной и возьмем$\hbar \to 0$, соответствующая классическая волна полностью исчезает. Классический предел любого конечного числа квантовых частиц исчезает; чтобы получить вполне определенный классический предел, нужно взять$n \to \infty$а также$\hbar \to 0$таким образом, чтобы их произведение оставалось постоянным. Это соответствует включению диаграмм Фейнмана со все большим количеством внешних ветвей. Это согласуется с примечаниями в ответе Кайла: решения классического уравнения движения лагранжиана представляют собой сумму диаграмм Фейнмана на древовидном уровне со всеми возможными числами внешних ветвей, потому что полностью классический волновой пакет соответствует бесконечному числу квантовых частиц.

В разложении Фейнмана КТП каждая вершина вносит множитель константы связи$g$и каждая петля вносит множитель$\hbar$. Очевидно, что число петель должно быть меньше числа вершин, поэтому разложение по слабой связи, в котором мы рассматриваем только диаграммы с малым числом вершин, также оказывается квазиклассическим разложением, в котором мы рассматриваем только диаграммы с малым числом петель. (хотя порядок двух расширений не всегда точно совпадает). Обратное неверно, потому что у вас могут быть диаграммы только с одной петлей, но со многими вершинами и внешними ответвлениями. Такие диаграммы соответствуют процессам рассеяния, которые являются «достаточно классическими» и поэтому важны в квазиклассическом разложении, но чрезвычайно слабо связаны и поэтому не важны в разложении со слабой связью. Но КТП обычно полезна в тех случаях, когда мы имеем дело с процессами рассеяния для небольшого числа частиц ., поэтому естественно оставить число внешних ножек фиксированным. В этом случае, хотя расширение Фейнмана КТП явно является только расширением со слабой связью, на практике оно оказывается одновременным расширением со слабой связью и квазиклассическим расширением.

В классической теории поля нам не нужно беспокоиться о петлях, что упрощает задачу. Но, с другой стороны, в классическом контексте неестественно зафиксировать количество внешних ветвей по причине, описанной выше (любой процесс рассеяния волны получает вклад от диаграмм Фейнмана со всеми числами внешних ветвей), что делает вещи Сильнее. Конечно, на практике в пертурбативном расширении вы в конце концов остановитесь после сложения всех диаграмм Фейнмана с некоторым максимальным числом вершин, которые обязательно также имеют некоторое максимальное количество внешних ветвей. В полуклассическом контексте, где$\hbar$мала, но положительна, это соответствует волнам с малой амплитудой. Таким образом, в отличие от КТП, где разложение со слабой связью автоматически также становится квазиклассическим разложением, в классическом контексте разложение со слабой связью также автоматически становится разложением с малой амплитудой волны . Рассеяние между большими волнами получило бы вклад от диаграмм Фейнмана со многими внешними ветвями и, следовательно, с огромным количеством вершин, которые было бы непрактично вычислять в разложении со слабой связью.

Вот еще один способ подумать об этом последнем пункте. В линейной теории амплитуда исходящих волн пропорциональна амплитуде входящих волн. Итак, если вы посылаете маленькие волны внутрь, маленькие волны выходят. Но во взаимодействующей теории классические уравнения движения нелинейны, и вы можете получить петли обратной связи. Поэтому возможно, что вы можете посылать небольшие волны, но они комбинируются нелинейно и большие .выходят волны. Слабосвязанная теория должна быть «достаточно линейной», так что это маловероятно. Таким образом, диаграммы Фейнмана с небольшим количеством как входящих, так и исходящих внешних ветвей должны быть наиболее важными. Но в сильно нелинейном режиме тот факт, что небольшие входящие волны могут производить большие исходящие волны, означает, что диаграммы Фейнмана с небольшим количеством входящих, но большим количеством исходящих внешних участков могут быть важны, что ограничивает полезность расширения.

TLDR: расширение Фейнмана классической теории поля полезно только тогда, когда связь поля слабая, а волны рассеяния имеют малые амплитуды.