Как определить порядок диаграммы Фейнмана?

Используя элементарные тождества теории графов, можно показать, что количество петель в связной диаграмме связано с количеством внешних линий и количеством вершин типа$i$каждый из которых имеет$n_i$линии, прикрепленные к нему, связаны

$$\sum \left(\frac{n_i}{2}-1\right) V_i -\tfrac{1}{2}E +1= L$$ Итак, вы можете видеть, что для фиксированного процесса (фиксированный $E$), знание количества вершин каждого типа эквивалентно знанию количества петель (которые могут соответствовать множеству диаграмм в одном и том же «порядке»).

В стандартной модели у нас есть два класса вершин; с тремя или четырьмя линиями. Итак, как вы можете видеть, указание общего количества вершин (эквивалентно порядку относительно суммы степеней всех коэффициентов связи) не будет однозначно фиксировать количество циклов, однако указание количества вершин каждого класса, вы можете получить однозначное соответствие между порядком петли и порядком постоянной мощности связи, и в этом случае оба эквивалентны квантово-механическому разложению по степеням$\hbar$.

Вывод:

Чтобы вывести эту формулу, вы можете рассматривать каждую внешнюю линию как тип вершины, к которой прикреплена только одна линия. То есть$E\equiv V_1$и соответствующий ему$n_1=1$. Тогда мы можем переписать

$$\sum \left(\frac{n_i}{2}-1\right) V_i +1= L$$ Эту формулу можно понять с помощью рекурсии, сначала мы докажем, что она верна для нулевых вершин, но это очевидно, поскольку для нулевых вершин мы действительно имеем $L=1$, просто нарисуйте круг!

Теперь, чтобы доказать рекурсией, предположим, что формула верна, и докажем, что если мы добавим одну вершину типа$i$, мы должны ввести$(n_i/2-1)$новые петли. Это легко увидеть, если взять вашу диаграмму и поместить вершину в любом месте на внутренней линии (обратите внимание, что мы больше не различаем внутренние и внешние линии, потому что$E$теперь просто другой тип вершины).

Когда вы вставляете эту вершину, две ее ноги уже съедены автоматически, поэтому нам нужно соединить оставшиеся$n_i-2$стороны, обратите внимание, что мы должны соединить их друг с другом, потому что все остальные вершины уже насыщены, а оставить ветвь висящей эквивалентно введению внешней вершины, чего мы не делаем по предположению. Теперь это возможно только в том случае, если$n_i$четно, и в этом случае мы получаем$(n_i-2)/2$новые петли, что доказывает рекурсию для четных вершин. Если вершина нечетная, мы должны вводить их парами, и получается такое же обсуждение.

Порядок количества в целом относится к показателю степени количества в выражении, т.е.

$$x^3y^2$$ будет 3-й порядок в $x$и 2-й порядок в $y$. Согласно правилам Фейнмана, каждая вершина на диаграмме Фейнмана вносит свой вклад в константу связи, поэтому порядок каждой константы связи — это просто количество вершин этого взаимодействия. Например, первая диаграмма второго порядка в $\alpha$.

В QFT обычно используются натуральные единицы, где$\hbar = c = 1$. Однако, если вы не следуете этому соглашению, то количество петель на вашей диаграмме равно степени$\hbar$в вашем конечном количестве. Древовидные диаграммы не зависят от$\hbar$вообще и в некотором смысле может считаться чисто «классическим» результатом, с более высокими петлевыми диаграммами, дающими квантовые поправки. Когда люди говорят о порядке диаграммы, не упоминая константу связи, это часто, но не всегда то, что они имеют в виду; это действительно зависит от контекста.