Создание червоточины

Немного сложно точно построить тензор энергии-импульса, подобный червоточине в обычном пространстве, поскольку частью предположения является то, что топология не просто связана, но рассмотрим следующий сценарий:

Возьмем тензор энергии-импульса с тонкой оболочкой такой, что

$$T_{\mu\nu} = \delta(r - a) S_{\mu\nu}$$

с$S_{\mu\nu}$тензор поверхностной энергии Ланцоша, где тензор Ланцоша подобен червоточине с тонкой оболочкой. Для статической сферической червоточины это будет

$$\begin{eqnarray} S_{tt} &=& 0\\ S_{rr} &=& - \frac{2}{a}\\ S_{\theta\theta} = S_{\varphi\varphi} &=& - \frac{1}{a}\\ \end{eqnarray}$$

Если бы мы сделали это обычным методом вырезания и вставки (вырезали шар из пространства-времени перед тем, как поместить его обратно, не внося изменений в пространство), тензор Ланцоша был бы равен нулю из-за того, что векторы нормалей одинаковы (нет разрыва). в производных). Но здесь мы накладываем тензор энергии-импульса вручную. Это статическое сферически-симметричное пространство-время, для которого можно использовать обычную метрику

$$ds^2 = -f(r) dt^2 + h(r) dr^2 + r^2 d\Omega^2$$

с обычными результатами тензора Риччи:

$$\begin{eqnarray} R_{tt} &=& \frac{1}{2 \sqrt{hf}} \frac{d}{dr} \frac{f'}{\sqrt{hf}} + \frac{f'}{rhf}\\ R_{rr} &=& - \frac{1}{2 \sqrt{hf}} \frac{d}{dr} \frac{f'}{\sqrt{hf}} + \frac{h'}{rh^2}\\ R_{\theta\theta} = R_{\varphi\varphi} &=& -\frac{f'}{2rhf} + \frac{h'}{2rh^2} + \frac{1}{r^2} (1 - \frac{1}{h}) \end{eqnarray}$$

С использованием$R_{\mu\nu} = T_{\mu\nu} - \frac 12 T$(это будет менее многословно), мы получаем, что$T = -\delta(r - a) [2(ah)^{-1} + 2 (ar^2)^{-1}]$, а потом

$$\begin{eqnarray} \frac{1}{2 \sqrt{hf}} \frac{d}{dr} \frac{f'}{\sqrt{hf}} + \frac{f'}{rhf} &=& \delta(r - a) \frac{1}{a} (\frac{1}{h} + \frac{1}{r^2}) \\ - \frac{1}{2 \sqrt{hf}} \frac{d}{dr} \frac{f'}{\sqrt{hf}} + \frac{h'}{rh^2} &=& \delta(r - a) \frac{1}{a}[\frac{1}{h} + \frac{1}{r^2} - 1]\\ -\frac{f'}{2rhf} + \frac{h'}{2rh^2} + \frac{1}{r^2} (1 - \frac{1}{h}) &=& \delta(r - a) \frac{1}{a}[\frac{1}{h} + \frac{1}{r^2} - 1] \end{eqnarray}$$

Это довольно сложно, и я не собираюсь решать такую ​​систему, поэтому давайте сделаем одно упрощающее предположение: так же, как и для червоточины Эллиса, мы предположим$f = 1$, что упрощает задачу

$$\begin{eqnarray} 0 &=& \delta(r - a) \frac{1}{a} (\frac{1}{h} + \frac{1}{r^2}) \\ \frac{h'}{rh^2} &=& \delta(r - a) \frac{1}{a}[\frac{1}{h} + \frac{1}{r^2} - 1]\\ \frac{h'}{2rh^2} + \frac{1}{r^2} (1 - \frac{1}{h}) &=& \delta(r - a) \frac{1}{a}[\frac{1}{h} + \frac{1}{r^2} - 1] \end{eqnarray}$$

Единственным решением для первой строки будет$h = - r^2$, но тогда это не будет метрикой правильной подписи. Я не думаю, что здесь есть решение (или, если оно есть, оно должно включать в себя правильный выбор функции красного смещения), которое, как я полагаю, связано со следующей проблемой:

Из уравнения Райчаудхури мы знаем, что в пространстве-времени, где нарушается условие нулевой энергии, происходит расхождение геодезических сравнений. Это важное свойство червоточин: в оптическом приближении червоточина — это просто рассеивающая линза, принимающая сходящиеся геодезические конгруэнтности и превращающая их в расходящиеся. Это нормально, если другая сторона червоточины на самом деле является другой копией пространства-времени, но если она ведет внутрь плоского пространства, это может быть проблемой (после пересечения устья червоточины область должна «расти», а не сжиматься по мере того, как здесь бы сошло).

Лучший пример, который соответствует пространству-времени мешка с золотом, — рассмотреть червоточины с тонкой оболочкой, которые все еще имеют тривиальную топологию. Возьмите два коллектора$\mathbb R^3$а также$\mathbb S^3$. По теореме Гаусса-Бонне сфера должна иметь часть, в которой она имеет положительную кривизну (отсюда фокусирующие геодезические). Затем выполните операцию вырезания и вставки, чтобы у нас было пространство-время.

$$\mathcal M = \mathbb R \times (\mathbb R^3 \# S^3)$$

С помощью какой-то топологической магии это на самом деле просто$\mathbb R^4$. Приближение тонкой оболочки здесь легко сделать, и оно даст вам правильное поведение: геодезические сходятся во рту, расходятся при пересечении рта, затем немного огибают внутреннюю часть сферы, прежде чем, возможно, выйти.

Отсюда можно взять различные другие варианты, такие как сглаживание рта, чтобы сделать его более реалистичным (что действительно даст вам мешок с золотым пространством-временем), а также временную зависимость для получения этого пространства-времени из плоского пространства Минковского.

В этой статье речь пойдет о проходимой червоточине.

http://scitation.aip.org/content/aapt/journal/ajp/56/5/10.1119/1.15620

Червоточина Проходимые свойства Как мы видели, есть несколько возражений против возможности осуществления межзвездных путешествий через черные дыры или червоточины от Шварцшильда. Чтобы сделать червоточину проходимой, она должна обладать следующими свойствами:

1. сферически-симметричная и статическая геометрия. Это условие наложено для упрощения вычислений.
2. Будучи решением уравнений Эйнштейна.
3. содержат горловину (узкий фрагмент пространства-времени, сильно изогнутую), соединяющую две асимптотически плоские области пространства-времени.
4. Отсутствие горизонтов, чтобы позволить поездку в двух направлениях.
5. небольшие приливные силы, чтобы не уничтожить возможных путешественников.
6. Позвольте путешественнику пересечь червоточину в подходящее время и в разумное время. Последняя измеряется наблюдателем, находящимся далеко от источников гравитационного поля.
7. Материя и поля, порождающие искривление пространства-времени, описываются тензором энергии-импульса, имеющим физический смысл.
8. Решение должно быть устойчивым к малым возмущениям при проезде путешественника.
9. Наконец, червоточина должна быть построена из конечного количества материала, заведомо меньшего, чем материальное содержание Вселенной, и за конечный интервал времени, заведомо меньший, чем возраст Вселенной.