Надеюсь, это правильный форум для этого. Я чувствовал, что Physics Overflow может быть неправильным местом. Ко мне подошел студент и спросил, какие виды математики используются при изучении червоточин. Она специально спросила, есть ли какое-либо количество топологии, но я был бы признателен, если бы мог дать ей более полный ответ. Таким образом, ответы по топологии являются лучшими, но другие области математики были бы хороши. Я кандидат топологии. студент, но почти не знаю физику, на всякий случай, если мой опыт поможет с вашим ответом. Я не знал, какие теги добавить. Спасибо.
Ответ на ваш первоначальный вопрос: «в основном дифференциальная геометрия с небольшим количеством топологии».
Рассмотрим диаграмму Крускала для пространства-времени Шварцшильда:
http://members.arstechnica.com/x/zeotherm/rindler1.png
Это представляет собой наибольшее возможное многообразие, охватываемое системой координат. в котором обычно отображается метрика пространства-времени Шварцшильда (эти координаты покрывают только участок этого пространства-времени). Гипербола с надписью область, в которой кривизна пространства-времени бесконечна.
Диагональные направления на диаграмме представляют пути, пройденные световыми лучами, а направления, более вертикальные, чем это, представляют возможные пути наблюдателей. Таким образом, диагональная область, обозначенная II, вынуждена пересекать поверхность в какой-то момент — это внутренняя часть черной дыры. (обратите внимание, что все истории в области III имеют поверхность r=0 в своем прошлом, и все они должны выходить из диагональных лучей — это внутренняя часть белой дыры).
Однако это не относится к регионам I и IV. Наблюдатели на этих поверхностях никогда не должны пересекать поверхность, либо в их прошлом, либо в их будущем (см. строку, помеченную $r=const. - это может представлять круговую орбиту, счастливо вращающуюся по кругу навсегда).
На самом деле области I и IV достаточно похожи, чтобы можно было представить, что в какой-то точке далеко справа поверхность в области I отождествляется (в смысле топологии) с поверхностью в области IV. Наблюдатели в этом районе сказали бы, что они «рядом», но путешествие таким образом заняло бы много времени, так как нужно было бы уйти далеко вправо, а потом на поверхность, и обратно вокруг. Более быстрый маршрут может состоять в том, чтобы пройти через точку, где пересекаются области I и области IV. Однако должно быть ясно, что это не возможный путь для этой диаграммы — вам придется двигаться под более крутым углом, чем для того, чтобы совершить эту поездку. Эта червоточина не является проходной.
Однако оказывается, что для возмущений геометрии Шварцшильда вы действительно получаете трансверсивные червоточины, которые вы можете изобразить, просто имея две линии, идущие от черной дыры, пересекающиеся где-то выше, чем начало (T, X), и две линии, исходящие из белой дыры, делают симметричную вещь. Затем вам разрешается двигаться в любом направлении, чтобы добраться до области, где идентифицированы две сферы.
Дэвид З.